Теоретическая механика

1.

Национальный
исследовательский
Томский политехнический
университет
Комплект слайд-лекций для технических
специальностей университета

2.

доктор физико-математических наук,
профессор Отделения общетехнических дисциплин
Школы базовой инженерной подготовки
Томского политехнического университета

3.

Ускорение точки

4. УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ 1. Векторный способ

y
O
M0
V0
x

5.

УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ
1. Векторный способ
y
M0
V0
M1
V1
O
x

6.

УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ
1. Векторный способ
y
V0
M0
V1
M1
V1
O
x

7.

УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ
1. Векторный способ
M0
y
ΔV
V0
M1
V1
O
x

8.

r r t - закон движения точки
V0 V t0 -скорость точки в положении М0
V1 V t0 t -скорость точки в положении М1

9.

r r t - закон движения точки
V0 V t0 -скорость точки в положении М0
V1 V t0 t -скорость точки в положении М1
V V1 V0 ; t t1 t0
aср
V
t
-среднее ускорение точки на отрезке
пути М0 М1

10.

V
dV
a lim
t 0 t
dt
Мгновенное ускорение точки:
2
d r
dV
a
2
dt
dt
(1)

11. 2. Координатный способ

r xi yj zk
2
2
2
d y
d z
d r d x
a 2 2 i 2 j 2 k
dt
dt
dt
dt
2

12.

2
d x
dVx
;
a x 2 x
dt
dt
2
dVy
d y
;
a y 2 y
dt
dt
2
d z
dVz
.
a z 2 z
dt
dt
(2)

13.

Модуль вектора ускорения:
a
2
ax
2
ay
2
az
Направление вектора ускорения:
ax
cos a , i ;
a
ay
cos a , j ;
a
az
cos a , k
a
(3)

14. 3. Естественный способ

М

15.

3. Естественный способ
М
n

16.

3. Естественный способ
b
М
n
b n

17.

b
Нормальная плоскость
М
n
Спрямляющая плоскость
Соприкасающаяся плоскость

18.

Лекционная видеодемонстрация
(дважды кликнуть по значку)
или выделить гиперссылку, кликнуть правой
кнопкой мыши, выбрать «Открыть
гиперссылку» и нажать левую кнопку мыши
Естественный трехгранник – YouTube
www.youtube.com/watch?v=GLs2ZtPqsVA

19.

М0
V0
М1
M 0 M1 s
V1
- дуговая координата
- угол смежности

20.

d
k
ds
1
ds
k
d
- кривизна кривой
- радиус кривизны в данной точке

21.

V V
d
dV dV
a
V
dt dt
dt
(4)

22.

Выясним смысл производной
1
2
d
dt

23.

Выясним смысл производной
2
1
2
d
dt

24.

Выясним смысл производной
1
d
2
d
2
d
dt

25.

Выясним смысл производной
d
1
2
d
dt
2
d
d d d
d d n

26.

Выясним смысл производной
d d
n
dt dt
d
dt

27.

d d d ds V
n
n n
dt dt
ds dt

28.

d d d ds V
n
n n
dt dt
ds dt
Формула (4) принимает вид:
2
dV V
a
n
dt
(5)

29.

Тангенциальное (касательное) ускорение:
dV
a
dt
(6)
Нормальное ускорение:
an
V
2
(7)
Бинормальное ускорение:
ab 0

30.

a
an
a
dV V
dt
2
a a
2
2
an
2
2
(8)

31. 4. Сложное движение точки. Теорема Кориолиса

Теорема о сложении скоростей:
Vабс Vотн Vпер
(9)

32.

x
M
x1
z1
O
y
z
y1

33.

x
M
x1
r
z1
O
y
z
y1
- мгновенная угловая скорость подвижной системы
Ox1 y1z1 относительно неподвижной Ox yz

34.

dr -приращение радиус-вектора в системе Oxyz
~ -приращение радиус-вектора в системе Ox y z
1 1 1
dr

35.

dr -приращение радиус-вектора в системе Oxyz
~ -приращение радиус-вектора в системе Ox y z
1 1 1
dr
dr
-абсолютная производная
dt
~
dr
-локальная (относительная) производная
dt

36.

Vабс
dr
dt
(10)
Vотн
~
dr
dt
(11)
Vпер r
(12)

37.

Vабс Vотн Vпер
~
dr d r
r
dt
dt
(13)

38.

Vабс Vотн Vпер
~
dr d r
r
dt
dt
Аналогично для любого вектора
~
dc d c
c
dt
dt
(13)
с:
(14)

39.

z
z
y
О
x
О1
y
x

40.

Vот н
z
М
аот н
z
y
О
x
О1
y
x

41.

Vот н
z
М
аот н
z
О
x
Vпер
y
аО1
О1
y
x

42.

Vот н
z
М
z
О
x
аот н
Vпер
y
аО1
О1
y
x

43. Теорема Кориолиса

aабс aотн апер акор
(15)

44.

Теорема Кориолиса
aабс aотн апер акор
~
~2
d Vот н d r
aот н
2
dt
dt
aпер a01 r r
aкор 2 Vотн
(15)
(16)
(17)
(18)

45.

Теорема Кориолиса
Абсолютное ускорение
точки при сложном
движении
складывается из
относительного,
переносного и
кориолисова
ускорений.
Гаспар-Гюстав Кориолис
(1792-1843)

46.

Пример
Определить направления всех компонент ускорения
точки.
О
r
Vот н
аот н

47.

aпер a01 r r
а01 0
aвр r
2
aос r r
(19)
(20)

48.

О
r
авр
Vот н
аот н

49.

аос
О
r
авр
Vот н
аот н

50.

аос
О
r
авр
акор
Vот н
аот н

51. Контрольные вопросы:

1. Возникает ли ускорение при равномерном
движении точки по окружности?
2. Чем удобен естественный способ задания
движения?
3. Куда направлено ускорение Кориолиса в
случае вертикального падения точки в
северном полушарии?

52. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Для самоконтроля знаний рекомендуется
выполнить тестовые задания из
Сборника коротких задач по теоретической
механике. Под ред. Кепе О.Э.
С. 104, 112, 114

53.

После просмотра и конспектирования слайдлекции необходимо прочитать указанные
страницы учебников и дополнить конспект
наиболее важными сведениями
1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики:
Учеб. для втузов.- 10-е изд. – М: ВШ, 1986. С.
100-103.