Введение в математический анализ и дифференциальное исчисление

1. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ПРОИЗВОДНАЯ

2.

1. Понятие производной
Рассмотрим задачу о производительности труда, как пример
необходимости введения понятия производной функции.
Пусть функция u=u(t) выражает количество произведенной
продукции u за время t и необходимо найти производительность
труда в момент времени t0.
Очевидно, за период времени от t0 до t+ t количество
произведенной продукции изменится от значения u0=u(t0) до
значения u0+ u=u(t0+ t); тогда средняя производительность труда
за этот период времени z ср u
t
Производительность труда в момент t0 можно определить как
предельное значение средней производительности за период
времени от t0 до t+ t при t 0, т.е.
u
z lim z ср lim
t 0
t 0
t
Этот предел играет чрезвычайно важную роль в математическом
анализе, являясь основным понятием дифференциального
исчисления.
Дадим общее определение производной.

3.

Пусть функция y=f(x) определена на промежутке Х. Возьмем
любую точку х Х. Дадим значению х приращение х 0, тогда
функция получит приращение y=f(x+ x)-f(x).
Производной функции y=f(x) называется предел отношения
приращения функции к приращению независимой переменной при
стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):
y
f ( x x) f ( x)
lim
x 0 x
x 0
x
y lim
Производная функции имеет несколько обозначений:
y , f ( x),
dy df ( x)
,
dx
dx
Нахождение
производной
функции
называется
дифференцированием этой функции.
Если функция в точке х имеет конечную производную, то
функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция,
дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется
дифференцируемой на этом промежутке.

4.

Установим геометрический смысл производной.
Для этого
рассмотрим график функции y=f(x), определенной и непрерывной
на некотором интервале (a,b).
Координаты точек: M0(x0, f(x0)) и M(x0+ x,
f(x0+ x)). Прямая, проходящая через точки М0
и М называется секущей. Обозначим через
угол, который образует секущая М0М с
положительным направлением оси Ох. Под
f (x)
касательной к кривой y=f(x) в точке М0 будем
понимать предельное положение секущей М0М
при приближении точки М к М0, т.е. при х 0.
(тангенс угла ) секущей М0М может быть
y f ( x ) f ( x ) x x
.
найден из треугольника М0МN:
y
k M 0 M tg
x
.
Тогда
угловой коэффициент касательной 0
0
0
k lim k M 0 M
x 0
f ( x0 x) f ( x0 )
y
lim
lim
x 0 x
x 0
x
Таким образом из задачи о касательной вытекает геометрический
смысл производной: производная есть угловой коэффициент
(тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в
точке х0, т.е.
k f (x)

5.

2. Дифференцируемость функции
Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a,b), х –
некоторое фиксированное значение аргумента х (a,b), х – любое
приращение аргумента такое, что х+ х (a,b). Тогда:
Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке х, если
приращение y этой функции в точке х, соответствующее
приращению аргумента х, может быть представлено в виде
y=A x+ ( x) x, где А – некоторая константа, не зависящая от x,
( x ) 0
а ( x) – бесконечно малая функция, такая что lim
x 0

6.

3. Основные правила дифференцирования
Производная функции y=f(x) может быть найдена по следующей
схеме:
1.Дадим аргументу х приращение х 0 и найдем наращение
функции y+ y=f(x+ x).
2. Находим приращение функции y=f(x+ x)-f(x).
3. Составляем отношение y
x
4. Находим предел этого отношения при х 0, т.е. y lim
x 0
(если он существует).
y
x
Пример. Найти производную функции y=x3.
Решение. 1. Дадим аргументу х приращение х 0 и найдем наращенное
значение функции y+ y=(x+ x)3.
2. Находим приращение функции y=(x+ x)3-x3=x3+3x2 x+3x x2+ x3x3= x(3x2+3x x+ x2).
3. Составляем соотношение y 3 x 2 3 x x x 2
x
y
4. Находим предел y lim
lim (3x 2 3x x x 2 ) 3x 2
x 0 x
x 0
x
n
nx n 1

7.

Правила дифференцирования:
1.Производная постоянной функции равна нулю, т.е. с =0.
2.Производная аргумента равна 1, т.е. х =1.
3.Производная
алгебраической
суммы
конечного
числа
дифференцируемых функций равна такой же сумме производных
этих функций, т.е. u v u v
4. Производная произведения двух дифференцируемых функций
равна произведению производной первого сомножителя на второй
плюс произведение первого сомножителя на производную второго,
т.е. uv u v uv
Следствие: постоянный множитель можно выносить за знак производной
cu cu
5. Производная частного двух дифференцируемых функций может
быть найдена по формуле u u v uv
v
v2

8.

Пример. Найти производную функции y x 3 4 x 1
и вычислить ее значение в точке х=1.
Решение. Функцию y можно представить как произведение двух функций
1
4
u x3 , v x 1
Тогда производна произведения будет равна
3
3
y x x 1 x x 1
1
4
1
4
9
9
14 3 1 34
1
2
2 13 4
4
4
3x x 1 x x 0 3x 3x x x
x 1
4
4
4
Значение производной в точке х=1 вычисляется как y ( x 1) 4.25.
x3 1
Пример. Найти производную функции y
x
и вычислить ее значение в точке х=1.
2
Решение. Воспользуемся формулой для производной частного и производной от
суммы двух функций:
1
x
y
3
1
x
x x 1
3
x
2
3x 2 x x 3 1
x
2 x
5x 3 1
2x x
y ( x 1) 3

9.

4. Производная сложной и обратной функций
Пусть переменная y есть функция от переменной u (y=f(u)), а
переменная u в свою очередь есть функция от переменной х, т.е.
задана сложная функция y=f[ (x)]. Тогда можно сформулировать
теорему:
Если y=f(u) и u= (x) – дифференцируемые функции от своих
аргументов, то производная сложной функции существует и равна
производной данной функции по промежуточному аргументу u и
умноженной на производную самого промежуточного аргумента по
независимой переменной х, т.е. y f (u ) u
Пусть y=f(x) – дифференцируемая и строго монотонная функция
на некотором промежутке Х. Если переменную y рассматривать как
аргумент, а переменную х как функцию, то новая функция x= (y)
является обратной к данной и непрерывной на соответствующем
промежутке Y. Докажем теорему:
Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю,
производная обратной функции равна обратной величине
производной данной функции, т.е. dx 1
dy
dy
dx

10.

Пример. Найти производную функции
Решение. Представим y 3 u, где
Имеем
2
3
y 3
x2 1
x2 1
x2 1
u 2
x 1
2
1 3
1 x2 1 x2 1 1 x2 1
2
2
y u u 2
3
3 x 1 x 1 3 x 1
4x
3( x 2 1)3 ( x 2 1)( x 2 1) 2
2
3
2 x( x 2 1) ( x 2 1)2 x
2
2
( x 1)

11.

7. Дифференциал функции
Пусть функция y=f(x) определена на промежутке Х и
дифференцируема в некоторой окрестности точки х Х. Тогда
существует конечная производная lim y f ( x)
x 0
x
На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с
пределами функций можно записать y f ( x) ( x)
x
где x - бесконечно малая величина при х 0.
Таким образом, приращение функции y состоит из двух
слагаемых:
- линейного относительно х;
- нелинейного, представляющего бесконечно малую более высокого
порядка, чем х.
Дифференциалом функции называется главная, линейная
относительно х часть приращения функции, равная произведению
производной на приращение независимой переменной
dy f ( x) x

12.

Под дифференциалом dx независимой х понимают любое, не
зависящее от х число, поэтому, по определению, дифференциалом
независимой переменной х называют ее приращение х, т.е.
полагают dx= х.
Свойства дифференциала в основном аналогичны свойствам
производной:
dc=0.
d(cu)=0.
d(u v)=du dv.
d(uv)=vdu+udv.
u vdu udv
d
v2
v
Найдем дифференциал сложной функции. Рассмотрим функцию
y=f(u), где аргумент u= (x) сам является функцией от х.
dy f (u )du
Последнее равенство означает, что формула дифференциала не
изменяется, если вместо функции от независимой переменной х
рассматривать функцию от зависимой переменной u. Это свойство
дифференциала получило название инвариантности формы
дифференциала.

13.

8. Производные и дифференциалы высших порядков
Пусть функция y=f(x) определена на отрезке (a,b). Ее производная
f (x) называется производной первого порядка. Но производная f (x)
сама является функцией, которая сама может иметь производную.
Производная функции f (x) в точке х0 (a,b) называется второй
производной функции f(x) и обозначается f (x0) или f(2)(x0), т.е.
y y
Аналогично: производной n-го порядка называется производная от
производной (n-1) –го порядка.
Дифференциалом второго порядка d2y функции y=f(x) называется
дифференциал от дифференциала
первого порядка этой функции,
.
т.е. d2y=d(dy).
Аналогично: дифференциалом n-го порядка dny называется
дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка этой функции,
т.е. dny=d(dn-1y).
n
(n)
n
В общем случае d y f dx

14.

Пример. Найти производные до n-го порядка включительно от функции
y ln x
1
Решение. Первая производная - y
x
1
1
y
вторая производная
x2
x
2
1
y 2 3
третья x
x
2
2 3
(n)
y 3 4
четвертая x
x
Очевидно, что производная n-го порядка
y
( n)
( 1) n 1 n 1 !
xn

15.

9. Дифференцирование неявной функции и функции,
заданной параметрически
Рассмотрим дифференцирование неявной функции, заданной
уравнением F(x,y)=0.
Для нахождения производной неявной функции y, нужно
продифференцировать обе части уравнения, рассматривая y как
функцию от х, а затем из полученного уравнения, найти
производную y .
Пример. Найти производную функции y, заданную уравнением
x 2 xy ln y 0
и вычислить ее значение в точке (2, 1).
Решение. Дифференцируем обе части равенства и, учитывая, что y есть
функция от х, получим
откуда
2 xy y 2
y
xy 1
2 x y xy
Значение производной при х=2, y=1
y
0
y
y (2,1)
2 2 1 1 1
3
2 1 1

16.

Иногда оказывается удобным задавать кривую не уравнением
вида F(x,y)=0, а вводя третью переменную t. Совокупность двух
уравнений
x= (t), y= (t)
может служить для построения и исследования кривой, так как
при каждом значении t она определяет положение соответствующей
точки кривой. Такой способ задания кривой называется
параметрическим, а функция y 1 ( x)
называется заданной параметрически.
закон
дифференцирования
Формула dy (t ) выражает
dx (t ) функции, заданной параметрически.
d 2 y (t ) (t ) (t ) (t )
Для второй производной y 2
dx
(t ) 3

17.

dy d 2 y
Пример. Найти
и
2 для функции заданной параметрически:
dx
dx
x cos t
y sin t
Решение. Для нахождения производной воспользуемся формулами
d 2 y (t ) (t ) (t ) (t )
dy (t )
2
dx
(t ) 3
dx (t )
где x (t ) cos t , x (t ) sin t ; y (t ) sin t , y (t ) cos t
dy
cos t
Тогда
ctgt
dx sin t
(t ) sin t , (t ) cos t
и
d 2 y ( sin t )(( sin t ) ( cos t )(cos t )
1
y 2
dx
sin 3 t
sin 3 t