Линейное пространство. N-мерные векторы и действия над ними. Тема 1

1. Тема 1. Введение в курс. Линейное пространство. N-мерные векторы и действия над ними.

Тема 1. Введение в курс.
Линейное пространство. Nмерные векторы и действия
над ними.
Лекция 1

2. Элементы векторной алгебры (матричного анализа).

Векторы

3.

Математика— точная наука в экономике
и менеджменте, исследовавшая
количественные
отношения и экономические формы;
более современное понимание: это
наука об отношениях между объектами,
о которых ничего не известно, кроме
описывающих их некоторых свойств, —
именно тех, которые в качестве аксиом
положены в основание той или иной
математической теории.

4. Основные понятия

Определение. Вектором
называется направленный
отрезок с начальной
точкой А и конечной точкой
В (который можно
перемещать параллельно
самому себе).
Векторы могут обозначаться как
двумя прописными буквами,
так и одной строчной с чертой
или стрелкой либо
выделяться жирным
шрифтом, например
а

5.

Определение. Длиной
(нормой или модулем )
вектора
называется число, равное
длине отрезка АВ,
изображающего вектор.
Определение. Векторы,
лежащие на одной прямой
или параллельных прямых,
называются
коллинеарными.

6.

Определение.
Определение. Если
начало и конец вектораПроизведение вектора
на число λ называется
совпадают, например
вектор
, имеющий
, то такой вектор
длину
,
называют нулевым и
направление которого
обозначают
,
Длина нулевого вектора совпадает с
если λ > 0, и
равна нулю:
противоположно ему,
.Поскольку
если λ < 0.
направление нулевого
вектора произвольно, то
он коллинеарен любому
вектору.

7.

Определение.
Противоположным
вектором называется
произведение вектора
на число (–1), т.е.
Определение. Суммой двух
векторов
и
называется вектор
направленный из начала
вектора в конец
вектора
(правило
Очевидно, что вектор
в этом
треугольника)
случае представляет диагональ
параллелограмма,
построенного на векторах
, как на сторонах
(правило параллелограмма)

8.

Аналогично определяется сумма нескольких векторов.
Так, например, сумма четырех векторов
есть вектор
, начало которого совпадает с
началом вектора
,а конец – с концом вектора
(правило многоугольника)

9.

Определение.
Векторы,
лежащие в одной
плоскости или
параллельных
плоскостях,
называются
компланарными

10.

Вектор
, определенный таким образом,
представляет диагональ параллелепипеда, построенного
на векторах
, не лежащих в одной
плоскости или в параллельных плоскостях (правило
параллелепипеда)

11.

Определение. Разностью
двух
b
векторов а и называется
сумма
а
b
вектора
и вектора
,
противоположного .b

12.

В параллелограмме,
построенном
на
векторах
a AB –и вектор
b AD
, одна диагональ
– представляет
c AC
сумму векторов,
– их разность.
а другая диагональ
– вектор
d DB

13.

Если перенести вектор параллельно
самому себе и поместить его
начало с началом координат, то
можно сформулировать
Определение. Координатами
вектора
называются
координаты его конца.
Например, координаты вектора
на плоскости Oxy являются два
числа x и y (
),
а в пространстве Oxyz – три
числа x, y, z (
)

14.

Обозначим через
, единичные
векторы , или орты, совпадающие с
положительным направлением осей
соответственно Ох, Оу, Оz;
Тогда вектор
может быть представлен в виде
или

15.

Определение. Формула
разложением вектора
по векторам
называется
Векторы
, сумма которых равна вектору
, называются компонентами вектора
Отметим, что сумма и разность векторов
являются соответственно векторы
А произведением вектора
и
на число λ есть вектор

16.

Длина вектора равна корню квадратному из
суммы квадратов его координат:

17.

Определение. Скалярным произведением двух
векторов
и
называется число, равное
произведению длин этих векторов на косинус
угла φ между ними:
Определение. Скалярным произведением двух
векторов
и
равно сумме произведений
соответствующих координат этих векторов

18.

Если
и угол φ = 0, т.е. cosφ = 1,
то скалярный квадрат вектора равен
квадрату его длины.
Расстояние d между двумя точками
плоскости
и
есть длина
вектора
Угол между векторами
формулой
и
определяется

19.

Условие перпендикулярности или
ортогональности двух векторов
и
является равенство нулю их скалярного
произведения
или
Условие коллинеарности или
параллельности двух векторов
и
является

20. Пример

Даны векторы = (3; –7; 2)и = (9;–3; –5)
Найти:
• Вектор
;
• Длины векторов
и
;
• Скалярный квадрат вектора ;
• Скалярное произведение векторов
• Угол между векторами

21. Найти векторы

c 2 a
и
d b a
Пусть даны векторы
а 3; 7; 2 и b 9; 3; 5 .
Тогда
с 2 а 2 3; 2 7 ; 2 2 6; 14; 4 ;
d b а 9 3;
Ответ :
3 7 ; 5 2 6; 4; 7 .
с 6; 14; 4 ; d 6; 4; 7 .

22. Найти длины векторов

Пусть даны векторы
Найти
длины
6
;
4
;
7
и
6
;
14
;
4
.
d
с
векторов
Тогда
с
d
6 14 4 2 62 ;
2
2
2
6 4 7 101.
2
Ответ :
2
2
с 2
62 ;
d
101.
и
c d

23. Найти скалярный квадрат вектора

Заметим, что
2
2
d d
101
2
2
Ответ : d 101.
101.
d

24. Найти скалярное произведение векторов

Пусть даны векторы
сd
d 6; 4; 7 и с 6; 14; 4 .
Тогда
с d 6 6 14 4 4 7
36 56 28 48
Ответ : с d 48.

25. Найти угол между векторами

Пусть даны векторы
d
Найти
угол
между
векторами
6; 4; 7 и с 6; 14; 4 .
и
Тогда
cos
d ; с
с d
с d
c d
48
24
2 62 101
6262
24
24
arccos
arccos
d;с
6262
6262
24
Ответ :
arccos
.
d ; с
6262

26.

Определение. Проекцией
вектора
на ось l называется величина направленного отрезка
( где
), т.е. число, равное длине отрезка
, взятое со знаком «+», если
направление
совпадает с направлением оси l, и со
знаком «-», если эти направления
противоположны.

27.

Определение. Направляющими косинусами вектора
называются косинусы углов α, β, γ, образуемых
вектором
с осями
координат. Угол α – угол
между вектором
и единичным вектором
(ортом)
. По формуле
(аналогично определяются соsβ и соs γ)
или
При этом

28. Понятие n-мерного пространства

Определение. n-мерным вектором называется
упорядоченная совокупность n
действительных чисел, записанных в виде
x=(x1,x2,…,xn), где xi – i-я компонента
вектора.
Понятие n-мерного вектора широко
используется в экономике.
Пример. Некоторый набор товаров можно
охарактеризовать вектором x = (x1,x2,…,xn) , а
соответствующие им цены – вектором
y = (y1,y2,…,yn).

29.

Замечание. Компоненты n-мерного вектора
обозначают одной буквой, но с разными
индексами (в отличие от 2-хмерных или 3хмерных векторов), а сам вектор – той же
буквой (без номеров и стрелки),
выделенной жирным шрифтом.
Определение. Два n-мерных вектора равны
тогда и только тогда, когда равны их
соответствующие компоненты, т.е. x = y,
если xi = yi (i=1,2,…,n)

30.

Определение. Суммой двух n-мерных
векторов называется вектор z = x + y,
компоненты которого равны суммам
соответствующих компонент слагаемых
векторов, т.е. zi = xi + yi (i=1,2,…,n).
Определение. Произведением вектора x на
действительное число λ называется вектор
и = λ·x компоненты, которого равны
произведению λ на соответствующие
компоненты вектора х.

31.

Линейные операции над любыми векторами
удовлетворяют свойствам:
1. x + y = y + x – коммутативный закон;
2. (x + y) +z = x +(y + z) – ассоциативный закон;
3. (α·β)·х = α·(β·х) – ассоциативный закон относительно
числового множителя;
4. α· (x + y) = α·х + α·у – дистрибутивный закон
относительно суммы векторов;
5. (α + β) ·х = α·х + β·х – дистрибутивный закон
относительно числовых множителей;
6. существует нулевой вектор Θ =(0, 0, …, 0) такой, что х
+ Θ= х для любого вектора (закон нулевого вектора);
7. для любого вектора х существует противоположный
вектор (– х) такой, что х + (– х) = Θ;
8. 1·х = х для любого вектора х (особая роль числового
множителя 1)

32.

Определение. Множество векторов с
действительными компонентами, в
котором определены операции
сложения векторов и умножения
вектора на число, удовлетворяющее
приведенным восьми законам
(аксиомам), называется векторным
(линейным) пространством.

33. Вопросы для самопроверки:

1.
2.
3.
4.
5.
Дайте определение математики как науки. Ее
предмет и метод. Как используется математические
методы в экономике и менеджменте.
Что такое линейное векторное пространство.
Какими свойствами оно обладает?
Дайте определение n- мерного вектора.
Определение действий над векторами и свойства
этих операций.
Дайте определение скалярного произведения
векторов. Сформулируйте его свойства.

34. Задания для самостоятельной работы:

Найти единичный вектор е, совпадающий
по направлению с вектором а = (3, –4, 12).
Решить уравнение 3x – 7a + 2b = 0, где
a = (5, 3, 7), b = (4, 3, 20).
Найти скалярное произведение векторов
а =(2, 3, 1, 5, 0), b=(3, 4, 5, 2, 6).