Интеграл. Что называют криволинейной

1.

ИНТЕГРАЛ. ФОРМУЛА НЬЮТОНАЛЕЙБНИЦА

2.

3. Вопросы для повторения

. Что называют криволинейной
1трапецией?
2. Являются ли фигуры, изображённые на
графиках криволинейными трапециями?
3. Запишите формулу для вычисления
площади криволинейной трапеции

4. Рассмотрим другой подход к вычислению площади криволинейной трапеции

Будем считать функцию f
неотрицательной и непрерывной
на отрезке [а; в], тогда площадь S
соответствующей криволинейной
трапеции можно приближённо
подсчитать следующим образом

5.

6. Разобьём отрезок [а; в] на n отрезков одинаковой длины точками

х0 а х1 х2 ... х n 1 х в
n
в а
х
n
Рассмотрим
сумму
S n f ( x0 ) х f ( x1 ) х f ( x2 ) х ... f ( xn 1 ) х
( f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ... f ( xn 1 )) х

7. При n → ∞ Sn→ к некоторому числу

Это число называют интегралом функции f
от а до в и обозначают:
в
∫ f(х)dх
а

8.

Числа а и в - называются пределами
интегрирования, а – нижним пределом,
в – верхним.
Знак ∫ - называют знаком интеграла
Функцию f называют подынтегральной
функцией, а переменная х – переменной
интегрирования
df- знак дифференциала

9.

Итак, если f( х ) ≥0 на отрезке [а; в], то
Площадь соответствующей
криволинейной трапеции выражается
формулой:
в
S = ∫ f(х)dх
а

10.

Сравнивая формулы
криволинейных трапеций :
в
S = ∫ f(х)dх и S = F(в) – F(а)
а
Делаем вывод:

11.

Формула Ньютона-Лейбница

12.

Иссак Ньютон
(1643-1716)
Готфрид
Лейбниц(1646-1716).

13.

Функ
ция f
K–
пос
тоян
ная
Общи
й
вид
первообр
аз
ных
кх
+С
F
хn
sin x
cos x
(n-целое
n≠1)
хn+1
n+ 1
+C
-cosx
+C
sin x
+C
1
1
сos2x
sin2x
tgx
+C
-ctgx
+C
1
х
2 х

14.

15. Пример:

3
3
3
3
х
3
2
8 1
3
2
2 х dx 3 3 3 9 3 6 3
2
2
х2
2
2
2
(
2
х
4
)
dx
(
2
4
х
)
(
2
8
)
(
1
4) 12 5 7
1
2
1

16.

2
2
х dx
2
х dx
3
1
0
4
(5х 3)dx
1
3
2
0
sin 5 xdx
П
dx
2
x