Интеграл. Формула Ньютона - Лейбница

1.

•ИНТЕГРАЛ. ФОРМУЛА
НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА

2.

Здравствуйте!
1.Выполнить рисунок слайд №7
2.Внимательно изучите тему, слайд
6, 8
3.Записать,слайд №9
4. Записать, слайд №9,10,13
5. Рассмотрите пример нахождения
интеграла, слайд №17

3.

4.

Вопросы для повторения
•1. Что называют криволинейной трапецией?
•2. Являются ли фигуры, изображённые на
рисунках криволинейными трапециями?

5.

3. Запишите формулу для
вычисления площади
криволинейной трапеции

6.

Рассмотрим другой подход к вычислению
площади криволинейной трапеции
•Будем считать функцию f
неотрицательной и непрерывной на
отрезке [а; в], тогда площадь S
соответствующей криволинейной
трапеции можно приближённо
подсчитать следующим образом

7.

8.

Разобьём отрезок [а; в] на n отрезков
одинаковой длины точками
х 0 а х1 х 2 ... х n 1 х в
n
в а
х
n
Рассмотрим
сумму
S n f ( x 0 ) х f ( x1 ) х f ( x 2 ) х ... f ( x n 1 ) х
( f ( x 0 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) ... f ( x n 1 )) х

9.

При n → ∞
Sn→ к некоторому числу
Это число называют интегралом функции f
от а до в и обозначают:
в
∫ f(х)dх
а

10.

Числа а и в - называются пределами
интегрирования, а – нижним пределом,
в – верхним.
Знак ∫ - называют знаком интеграла
Функцию f называют подынтегральной
функцией, а переменная х – переменной
интегрирования
dх- знак дифференциала

11.

Итак, если f( х ) ≥0 на отрезке [а; в], то
площадь соответствующей
криволинейной трапеции выражается
формулой:
в
S = ∫ f(х)dх
а

12.

•Сравнивая формулы
криволинейных трапеций :
в
S = ∫ f(х)dх и S = F(в) – F(а)
а
Делаем вывод:

13.

•Формула Ньютона-Лейбница

14.

Иссак Ньютон
(1643-1716)
Готфрид
Лейбниц(1646-1716).

15.

16.

17.

Пример:
3
3
3
3
х
3
2
8
1
3
2
2 х dx 3 3 3 9 3 6 3
2
2
х2
2
2
2
(
2
х
4
)
dx
(
2
4
х
)
(
2
8
)
(
1
4 ) 12 5 7
1
2
1

18.

2
х dx
2
0
2
х
3
dx
1
4
( 5 х 3 ) dx
1
3
0
sin 5 x dx
П
2
dx
2
x