Ряд Маклорена. (Тема 14.3)

1.

Предположим, что функция y=f(x) определена и n
раз дифференцируема в окрестности точки х=0,
и может быть представлена в виде суммы
степенного ряда, т.е. может быть разложена в
степенной ряд:
f ( x) C0 C1 x C2 x ... Cn x ...
2
n
Выразим коэффициенты ряда через f(x). Найдем
производные
функции
f(x),
почленно
дифференцируя n раз:

2.

2
3
n 1
f ( x) C1 2C2 x 3C3 x 4C4 x ... nCn x ...
2
n 2
f ( x) 2C2 2 3C3 x 4 3C4 x ... n(n 1)Cn x ...
n 3
f ( x) 2 3C3 4 3 2C4 x ... n(n 1)( n 2)Cn x ...
.....
f
(n)
( x) n(n 1)( n 2)...3 2 Cn ...
Если в полученных выражениях положить х=0, то
получим:

3.

ff ( (00)) C
C00
f (0) C1
f (0) 2C2 2 1 C2 2!C2
f (0) 2 3C3 3!C3
.....
f ( n ) (0) n!Cn
Отсюда находим коэффициенты ряда:

4.

C0 f (0)
C1 f (0)
f (0)
C2
2!
f (0)
C3
3!
.....
Cn
f
(n)
(0)
n!
Подставляем
найденные
коэффициенты
разложение функции в ряд:
в

5.

f (0) 2
f ( x) f (0) f (0) x
x
2!
f (0) 3
f ( n ) (0) n
x ...
x ...
3!
n!

6.

Так же, как и для числовых рядов, сумму f(x) ряда
Маклорена можно представить в виде
f ( x) Sn ( x) rn ( x)
где
S n (x)
- n–ая частичная сумма ряда;
rn (x)
- n–ый остаток ряда.

7.

Для того, чтобы ряд Маклорена
сходился к функции f(x), необходимо
и достаточно, чтобы при n
остаток ряда стремился к нулю, т.е.
lim rn ( x) 0
n
для всех х из области сходимости
ряда.

8.

Можно доказать, что если функция f(x) разложима
в ряд Маклорена, то это разложение
единственно.
Ряд Маклорена является частным случаем ряда
Тейлора при х0=0

9.

f (0)
2
f ( x) f (0) f (0) ( x x0 )
( x x0 )
2!
(n)
f (0)
f
(0)
3
( x x0 ) ...
( x x0 ) n ...
3!
n!

10.

Ряд Тейлора связан с формулой Тейлора:
f (0)
2
f ( x) f (0) f (0) ( x x0 )
( x x0 )
2!
(n)
f (0)
f
(0)
3
( x x0 ) ...
( x x0 ) n Rn ( x)
3!
n!

11.

f
( )
n 1
Rn ( x)
( x x0 )
(n 1)!
( n 1)

12.

Если
lim rn ( x) 0
n
То остаток ряда Тейлора равен остаточному
члену формулы Тейлора:
rn ( x) Rn ( x)