Степенные ряды. (Лекции12-14)

1. Степенные ряды

Лекции12, 13, 14

2. Функциональные ряды

Ряд, члены которого являются функциями,
называется функциональным и обозначается
u1 ( x) u 2 ( x) ... u n ( x). ...
Если при x x 0 ряд сходится, то x 0
называется точкой сходимости
функционального ряда.
Определение. Множество значений х, для
которых функциональный ряд сходится,
называется областью сходимости этого ряда.

3. Пример функционального ряда

Рассмотрим геометрическую
прогрессию со знаменателем х:
2
3
n
1 x x x ... x ....
Геометрическая прогрессия сходится,
x 1 . Тогда она
если ее знаменатель
1
имеет сумму S
, которая
1 x
очевидно является функцией от х.

4. Степенные ряды

Определение. Ряд
a x
n 0
n
n
a0 a1 x a2 x ... an x ...
2
n
называется степенным по степеням х .
Ряд
n
2
n
a
x
x
a
a
x
x
a
x
x
...
a
x
x
n
0
0
1
0
2
0
n
0 ...
n 0
является степенным по степеням x x0 .

5. Интервал сходимости степенного ряда

Для любого степенного ряда существует
конечное неотрицательное число R - радиус
сходимости - такое, что если R 0 , то при
x R ряд сходится, а при x R
расходится.
Интервал R, R называется интервалом
сходимости степенного ряда. Если R ,
то интервал сходимости представляет собой
всю числовую прямую. Если же R 0 , то
степенной ряд сходится лишь в точке х=0.

6. Нахождение интервала сходимости по признаку Даламбера

Составим ряд из абсолютных величин членов
степенного ряда и найдем интервал, в
котором он будет сходиться, Тогда в этом
интервале данный степенной ряд будет
сходиться абсолютно. Согласно признаку
Даламбера , если
n 1
u n 1
an 1 x
lim
lim
1
n
n u
n
,то
an x
n
степенной ряд абсолютно сходится для всех
х, удовлетворяющих этому условию.

7. Продолжение

В этом случае ряд будет сходиться внутри
интервала (-R,R),где R-это радиус сходимости
ряда:
a
R lim
n
n
a n 1
.
За пределами этого интервала ряд будет
расходиться, а на концах интервала, где
lim
n
an 1 x
an x
n 1
n
1 , требуется
дополнительное исследование.

8. Примеры

Найти интервал сходимости ряда
xn
n 0 2n 1 .
lim
n
x n 1 2n 1
2 n 3 x
n
2n
2n 1 x
x 1
lim x
lim
n 2n
2n 3
n
Следовательно, ряд сходится
абсолютно в интервале (-1,1).

9. Примеры

Положим x .1Тогда получим числовой
1 . Этот ряд расходится
ряд
n 0
2n 1
(сравните его с гармоническим рядом).
Полагая x = -1, имеем знакочередующийся
1 n
ряд
,
1
n 0 2nтеоремы
который сходится условно в силу
Лейбница.
Итак, степенной ряд сходится в промежутке
[-1,1).

10. Примеры

Найти интервал сходимости степенного
xn
xn
xn
ряда
. Здесь un
,
n ! 1 2 3 ... n
n 1 n!
x n 1
x n 1 =
.Тогда
un 1
n 1 ! 1 2 3 ... n n 1
=
n 1
1 2 3 ... n =
un 1 =
x
lim
lim
lim
n
n n 1
n 1 2 3 ... n n 1 x
n un
x

11. Продолжение

1
x lim
x 0 0
= n n 1
.
Но 0<1 всегда, т.е. независимо от x. Это
означает, что степенной ряд сходится
независимо от x, т.е. на всей числовой
прямой.
Итак, интервал сходимости ряда - это
промежуток , .

12. Пример

n. ! x
Найти интервал сходимости ряда
lim
n
n 1 ! x
n! x
n
n 1
= nlim
n 1 x =
= nlim
1 2 3 ... n n 1 x
1 2 3 ... n
n
n 1
=
x lim n 1.
n
Этот предел может быть меньше единицы,
если только x=0 (иначе он будет равен
бесконечности). Это означает, что степенной
ряд сходится лишь в точке x=0.

13. Свойства степенных рядов. Непрерывность суммы ряда

1. Сумма степенного ряда
S ( x) a 0 a1 x a 2 x 2 ... a n x n ...
является непрерывной функцией в
каждой точке интервала сходимости
этого ряда.
Например,
1
2
3
n
S ( x)
1 x x x ... x ...
1 x
непрерывна , если x 1 .

14. Почленное дифференцирование

2. Ряд, полученный почленным
дифференцированием степенного ряда,
является степенным рядом с тем же
интервалом сходимости, что и данный
ряд, причем :если
2
n
S ( x) a 0 a1 x a 2 x ... a n x ... ,
то
2
n 1
S ( x) a1 2a 2 x 3a3 x ... na n x ...

15. Почленное интегрирование

3. Степенной ряд можно почленно
интегрировать на любом промежутке,
целиком входящем в интервал
сходимости степенного ряда, при этом
S ( x)dx a dx a xdx ... a
0
где ( , ) ( R, R) .
1
x dx ...
n
n

16. Разложение функций в степенные ряды

17. Определения

Определение. Если бесконечно
дифференцируемая функция является
суммой степенного ряда, то говорят, что она
разлагается в степенной ряд .
Опр. Рядом Тейлора функции f(x) называется
ряд, коэффициенты которого определяются
f ( n ) ( x0 )
an
по
формулам
,
т.е.
ряд
(
n
)
n ! f ( n ) ( 0)
f ( x0 )
n
( x x 0 ) n или
.
x
n 0
n!
n 0
n!

18. Степенной ряд как ряд Тейлора

Теорема. Если в некоторой окрестности
точки x 0
f ( x ) a 0 a1 ( x x 0 ) ... a n ( x x 0 ) n ..,
то ряд справа есть ее ряд Тейлора.
Короче: если функция представлена в
виде степенного ряда, то этот ряд
является ее рядом Тейлора.
Представление функции ее рядом
Тейлора единственно.

19. Формула Тейлора

Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда
Тейлора:
(n)
f ( x0 )
f ( x0 )
S n ( x) f ( x0 )
( x x0 ) ...
( x x0 ) n
1!
n!
Этот многочлен называется
многочленом Тейлора функции f (x) .
Разность Rn ( x) f ( x) S n ( x) называется
остаточным членом ряда Тейлора.

20. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Остаточный член в форме Лагранжа
имеет вид:
( n 1)
f
(c )
Rn ( x )
( x x0 ) n 1 , где c ( x0 , x)
(n 1)!
Тогда
( n 1)
f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
f
(c )
f ( x ) f ( x0 )
( x x0 ) ...
( x x0 ) n
( x x0 ) n 1
1!
n!
(n 1)!
называется формулой Тейлора с
остаточным членом в форме Лагранжа.

21. Условия сходимости ряда Тейлора к функции у=f(x)

Для того чтобы функцию можно было
разложить в ряд Тейлора на
интервале(-R,R),необходимо и
достаточно, чтобы функция на этом
интервале имела производные всех
порядков и чтобы остаточный член
формулы Тейлора стремился к нулю
при всех x ( R, R ) при n

22. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора

Если функция f(x) на интервале (-R,R)
бесконечно дифференцируема и ее
производные равномерно ограничены в
совокупности, т. е. существует
такая константа М, что для всех
x ( R, R ) выполняется условие
(n)
f ( x) M при п=0,1,2,…, то
функцию можно разложить в ряд
Тейлора на этом интервале.

23. Разложение

f ( x) e x
Все производные этой функции совпадают с
самой функцией, а в точке х=0 они равны 1.
Составим для функции формально ряд
2
n
Маклорена:
x x
x
1
1
2!
...
n!
...
Этот ряд, очевидно, сходится на всей
числовой оси. Но все производные функции
равномерно ограничены, т. к.f ( n 1) (c ) e c
, где R-любое число из интервала
сходимости. Поэтому этот ряд сходится
x
именно к функции e .
e
R

24. Разложение в ряд синуса.

Вычислим производные синуса:
f ( x) cos x sin( x
)
2
f ( x) cos( x ) sin( x 2 )
2
2
f ( x) cos( x 2 ) sin( x 3 )
2
2
.......................................................
f ( n ) ( x) sin( x n ).
2
f (0) 0,
f (0) 1,
f (0) 0
f (0) 1
f ( 4 ) (0) 0
..................
f ( 2 n 1) (0) ( 1) n 1
........................

25. Продолжение

Ясно, что все производные синуса не
превосходят по модулю единицу. Так
что запишем ряд, который будет
разложением синуса:
2 n 1
2 n 1
x3 x5
x
x
sin x x
... ( 1) n
.. ( 1) n
,
3! 5 !
( 2n 1)!
( 2n 1)!
n 0
при этом видно, что этот ряд сходится
на всей числовой оси.

26. Разложения некоторых функций в ряд Тейлора

При решении задач удобно пользоваться
разложениями:
2
n
n
x
x
x
x
1. e 1 x ... .. , x ( , )
2!
n!
n 0
n!
2 n 1
2 n 1
x3 x5
x
x
n
n
sin
x
x
...
(
1
)
..
(
1
)
,
2.
3! 5 !
( 2n 1)!
( 2n 1)!
n 0
2
4
2n
2n
x
x
n x
n x
( 1)
3.cos x 1 2 ! 4 ! ... ( 1) ( 2n )! ..
( 2 n )!
n 0

27. Продолжение

Геометрическую прогрессию мы
получили выше:
1
4.
1 x x 2 ... ( 1) n x n .. ( 1) n x n ,/ x / 1
1 x
n 0
Интегрируя по х обе части равенства,
получим логарифмический
ряд:
n
n
x2 x3
x
x
5. ln(1 x ) x ... ( 1) n 1 .. ( 1) n 1 ,
2
3
n
n 1
n

28. Биномиальный ряд

6.
7.
2 n 1
2 n 1
x3 x5
x
x
arctgx x ... ( 1) n
... ( 1) n
,
3 5
2n 1 n 0
2n 1
m( m 1) 2
m
(1 x ) 1 mx
x ...
2!
m( m 1)( m 2)...( m n 1) n
x ...
n!
m( m 1)...( m n 1) n
1
x
n!
n 1
Биномиальный, логарифмический ряды и ряд
для арктангенса сходятся в интервале (-1,1).

29. Пример

Разложить в ряд Тейлора по степеням x функцию
f ( x ) 3 27 x
Решение. Зная разложение функции в биномиальный ряд,
сходящийся на интервале (-1,1), преобразуем данную
функцию так, чтобы воспользоваться биномиальным рядом.
3
1
x
x
x
27 x 3 27(1 ) 33 1
3(1 ) 3
27
27
27
1 1
( 1)
x
1
x
x 2
3
3
3(1 ) 3 1 ( )
( ) ...
27
3 27
2!
27
1 1
1
1
( 1)( 2)...( n 1)
x n , где
3 3
3
3
( ) ...
n!
27
1
3
x
1
27

30. Применение степенных рядов

31. Приближенное вычисление интегралов

Разложения 1–7 позволяют, используя
соответствующее разложение, вычислять
приближенно значения функций, интегралы,
приближенно интегрировать
дифференциальные уравнения.
Пример . С помощью степенного ряда
вычислить с точностью до 0,0001
1
e
0
x2
dx

32. Решение

Разложим подынтегральную функцию в
степенной ряд:
e x
1
2
2 2
2 3
2 4
(
x
)
(
x
)
(
x
)
2
1 x
...
2!
3!
4!
1
4
6
8
x
x
x
x
2
e
dx
(
1
x
... )dx
0
0
2 ! 3! 4 !
1
1
1
1
1
4
6
8
x
x
x
dx x 2 dx
dx
dx
dx ...
2!
3!
4!
0
0
0
0
0
2
3
x
x 10
3
1
0
x5
2 5
1
0
x7
6 7
1
0
x9 1
0 ..
24 9

33. Продолжение

3
5
7
x
x
x
1
1
x 10
0
0
3
2 5
6 7
1 1
1
1
1
..
3 10 42 216
1
0
x9 1
0 ..
24 9
Так как получившийся ряд является знакочередующимся, то
сумма знакочередующегося ряда не превосходит первого члена
такого ряда. Ясно, что часть ряда, которую в задаче следует
отбросить, также является знакочередующимся рядом и его
сумма не превзойдет модуля первого отброшенного члена ряда.
Таким образом, первый отброшенный член ряда должен быть
меньше заданной погрешности, т.е. 0,0001.

34. Продолжение

Вычислив еще несколько членов ряда
1
1
1
,
,
1320 9360 75600
видим, что
1
0,0001
75600
Отбросив этот и следующие за ним члены ряда,
1 получим:
2
1 1
1
1
1
1
x
e
0 dx 1 3 10 42 216 1320 9360 0,7468

35. Приближенное вычисление значений функций

Вычислить 3 10 с точностью до
0,001.Преобразуем
1
10
2
3
3
3
10 8 2 1 23 1 0,25 2(1 0.25) 3
8
8
Воспользуемся биномиальным
рядом
1
при х=0,25 и m 3 .

36. Продолжение

Получим
1 1
1 1
1
( 1)
( 1)( 2)
1
3
3
10 2(1 0,25 3 3
0,25 2 3 3
0,25 3 )
3
2!
3!
2(1 0,0833 0,0069 0,0009) 2(1 0,0833 0,0069)
2,1528 2,153.