Свойства степенных рядов. (Лекция 2.18)

1. Лекция 2-18. 13.3.2. Свойства степенных рядов.

Рассмотрим степенной ряд
¥
n
a
x
å n ,
(*)
имеющий радиус сходимости R ( R £ ¥ ) . Сумма ряда
S ( x ) есть функция определенная внутри интервала
сходимости, а также на тех концах интервала, где ряд
сходится.
n =0

2. Лемма 1.

Степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке
[ -b , b ] Ì ( - R , R ) .
Доказательство. Выберем
¥
По теореме Абеля ряд
å
n =0
x0 : b < x0 < R.
an x0n
сходится.
"x Î [ -b, b ] имеем x < x0 Þ an x <
n
n
an x0
.
Последнее неравенство означает, что ряд (*) равномерно
-b, b .
сходится в
[
]

3. Лемма 2.

Степенной ряд, составленный из производных ряда
(*) имеет тот же радиус сходимости, что и ряд (*).
Доказательство. Допустим, что существует
an
lim
.
n®¥ an +1
an
. Ряд производных имеет вид
Тогда R* = lim
n®¥ an +1
¥
n -1
na
x
å n .
n =1
(**)
nan
an
an
n
R** = lim
= lim
lim
= lim
.
n®¥ ( n + 1) an +1
n®¥ ( n + 1) n®¥ an +1
n®¥ an +1

4.

Если составить ряд из производных ряда (**), то у
него тоже радиус сходимости равен R.
Т. е. все степенные ряды, полученные
последовательным дифференцированием ряда (*)
имеют одинаковый радиус сходимости и равномерно
сходятся в любом интервале, принадлежащим области
сходимости.

5. Свойства степенных рядов.

1) Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в
интервале сходимости ряда.
¥
1
x =
= S ( x) .
Пример. å
Функция S ( x ) непрерывна
1
x
n =0
всюду, за исключением точки x = 1. Но она является
суммой ряда только при x < 1.
2) Степенной ряд можно почленно интегрировать в
x
n +1
¥ x
¥
a
x
интервале сходимости
n
n
S
x
dx
=
a
x
dx
=
.
(
)
å
å
ò
ò n
n =0
n =0 n + 1
n
a
a
3) Степенной ряд можно почленно дифференцировать
любое число раз в интервале сходимости.

6. 13.4. Разложение функций в степенные ряды. 13.4.1 Ряд Тейлора.

Сумма степенного ряда непрерывна и бесконечное
число раз дифференцируема в интервале сходимости.
Рассмотрим обратный вопрос. Когда можно утверждать,
что функция f ( x ) является суммой некоторого ряда?

7.

Пусть f ( x ) =
¥
å an ( x - x0 )
n
,где
n =0
an - коэффициенты,
которые нужно определить.
f ( x0 ) = a0 ,
¥
f ¢ ( x ) = å nan ( x - x0 )
n =1
n
f ( ) ( x ) = n !an + ...,
n -1
, f ¢ ( x0 ) = 1!a1 ,.....,
n
f ( ) ( x0 ) = n !an .
n)
(
f ( x0 )
a0 = f ( x0 ) , a1 = f ¢ ( x0 ) ,..., an =
,...
n!
n
(
)
¥ f
x
Тогда
Следовательно
f ( x) =
å
n =0
( 0)
n!
( x - x0 ) .
n
(**)

8. Определение.

Рядом Тейлора функции f ( x ) в окрестности точки x0
называется степенной ряд (**) относительно разности
( x - x0 ) , коэффициенты которого an выражаются через
значения функции f ( x ) и ее производных в точке x0 .
n
f ( ) ( x0 )
an =
- коэффициенты Тейлора функции f ( x )
n!
в точке x0 .

9. 13.4.2. Условие разложимости функций в ряд Тейлора.

При каких условиях ряд Тейлора для функции f ( x )
¥ f ( n) x
( 0) x- x n
å n! ( 0 ) сходится и его сумма равна f ( x ) ?
n =0
Обозначим Tn ( x ) - многочлен n -й степени (частичная
n f ( k) x
сумма ряда Тейлора)
(
k
0)
Tn ( x ) = å
( x - x0 ) .
k!
k =0
Остаточный член ряда Rn ( x ) = f ( x ) - Tn ( x ) . Сходимость
lim Tn ( x ) = f ( x )
f
x
(
)
ряда к функции
означает, что n®¥
или lim ( f ( x ) - Tn ( x ) ) = lim Rn ( x ) = 0.
n®¥
n®¥

10.

Rn ( x ) - ошибка аппроксимации функции f ( x )
многочленом Tn ( x ) .
Пусть f ( x ) - многочлен n -й степени.
Продифференцируем n раз. Последующие
производные равны нулю. Получим формулу Тейлора
для многочленов
n
f ( ) ( x0 )
n
¢
f ( x ) = f ( x0 ) + f ( x0 ) ( x - x0 ) + ... +
( x - x0 ) .
n!

11. Пример.

Разложить функцию f ( x ) = -3 + x - x 2 + 2 x3
по степеням ( x - 1) x0 = 1.
(
f ( 1) = -1, f ¢ ( 1) = 1 - 2 x + 6 x 2
) x=1 = 5,
f ¢¢ ( 1) = ( -2 + 12 x )
x =1
f ¢¢¢ ( 1) = 12.
2
3
-3 + x - x + 2 x = -1 + 5 ( x - 1) + 5 ( x - 1) + 2 ( x - 1) .
2
3
= 10,

12. 13.4.3. Остаточный член ряда Тейлора. Формула Тейлора.

Запишем функцию f ( x ) в виде
f ( x ) = Tn ( x ) + Rn ( x ) =
n
f ( ) ( x0 )
n
= f ( x0 ) + f ¢ ( x0 ) ( x - x0 ) + ... +
x
x
(
0 ) + Rn ( x ) .
n!
Докажем теорему о структуре Rn ( x ) , которая
позволит устанавливать, стремится ли Rn ( x ) к нулю
при n ® ¥ , т. е. разлагается f ( x ) в ряд Тейлора или
нет.

13. Теорема.

Если f ( x ) во всех точках некоторого интервала,
( n+1) x ,
содержащего точку x0 , имеет производную f
( )
то для всякой точки, принадлежащей интервалу,
остаточный член равен
n +1
x - x0 )
(
n +1)
(
Rn ( x ) = f
,
( x)
( n + 1) !
где x Î ( x0 , x ) .

14. Доказательство.

Запишем остаточный член в виде R ( x ) = D
n
n +1
D
( x - x0 )
n +1
( n + 1) !
.
Найдем n +1такое, чтобы для всякого x ,
принадлежащего интервалу, выполнялось
n
f ( ) ( x0 )
n
f ( x ) = f ( x0 ) + f ¢ ( x0 ) ( x - x0 ) + ... +
x
x
(
0) +
n!
n +1
x - x0 )
(
+ Dn+1
.
k)
(
n
n
+
1
!
(
)
f ( x0 )
k
f
x
x
x
(
)
(
)
å k!
1
1
0
Зафиксируем x = x1.
k =0
Dn+1 =
.
n +1
( x1 - x0 )
Тогда
( n + 1) !

15. Докажем, что это выражение равно При из теоремы Лагранжа

Докажем, что это выражение равно f ( n+1) ( x ) , x Î ( x0 , x1 ) .
При n = 0 из теоремы Лагранжа
f ( x1 ) - f ( x0 )
D1 =
= f ¢ ( x ) , x Î ( x0 , x1 ) .
x1 - x0
Для других n построим вспомогательную функцию F ( x ) ,
удовлетворяющую теореме Ролля. Пусть ( n )
f ( x)
n
F ( x ) = f ( x1 ) - f ( x ) - f ¢ ( x ) ( x1 - x ) - ... x
x
( 1 ) +
n!
n+1
x1 - x )
(
+ Dn+1
.
F ( x1 ) = 0.
( n + 1) !
x = x0
Dn+1
F ( x0 ) = 0.
• При
значением, получим
¢ ( x ) . F ¢ ( x ) =его
Fзаменив
- f ¢ ( x ) - f ¢¢ ( x ) ( x1 - x ) + f ¢ ( x ) • Найдем
f ¢¢¢ ( x )
2
x
x
( 1 ) + f ¢¢ ( x ) ( x1 - x ) - ... 2!
n
n +1
( n) x
f ( ) ( x)
f
x
x
(
)
(
)
n
n-1
1
.
( x1 - x ) +
( x1 - x ) + Dn+1
n!
n!
( n - 1) !

16.

• Только подчеркнутые члены не сокращаются.
Производная F ¢ ( x ) . существует во всех точках
интервала. Вынося общий
множитель за скобки, получим
n
x1 - x ) é ( n+1)
(
F¢( x) =
-f
x ) + Dn+1 ù .
(
úû
n! êë
x
Тогда
x1
x
Подставим вместо n значение при котором
x1 - x ) é ( n+1`)
(
F ¢( x) =
-f
x ) + Dn+1 ù = 0.
(
úû
n ! êë
Т. к.
n +1
Dn+1 = f ( ) ( x ) ,
n +1)
(
Rn ( x1 ) = f
( x)
т. -е.x n+1
x
( 1 0)
( n + 1) !
, x Î ( x0 , x1 ) .
- любая точка интервала, то теорема доказана.

17. Формула Тейлора для функции в точке

Формула Тейлора для функции
точке x0 .
f ( x) =
n
å
k =0
f ( x)
в
k)
n +1)
(
(
f ( x0 )
f
x)
(
k
n +1
( x - x0 ) +
( x - x0 ) .
k!
( n + 1) !
При выводе формулы предполагалось, что f ( x )
имеет производные до ( n + 1) -й, где n какое-то число.
Другие производные нас не интересовали.

18. Частные случаи

1) n = 0 Þ f ( x ) = f ( x0 ) + f ¢ ( x ) ( x - x0 ) .
Это формула Лагранжа.
2)
n = 1 Þ f ( x ) = f ( x0 ) + f ¢ ( x0 ) ( x - x0 ) +
или f ( x ) » f ( x0 ) + f ¢ ( x0 ) ( x - x0 ) .
Это линейная аппроксимация.
f ¢¢ ( x )
2!
( x - x0 ) 2

19.

Т. к. x - неизвестна, то Rn ( x ) нужно только оценить.
Пусть в интервале, где формула Тейлора справедлива,
n +1
f ( ) ( x ) £ M n+1.
Тогда для всякого x принадлежащего интервалу
n +1
x - x0
Rn ( x ) < M n+1
.
( n + 1) !
n +1
x - x0 )
(
n +1)
Доказательство.
(
Rn ( x ) = f
=
( x)
( n + 1) !
n +1
x - x0
1
n +1
n+1)
(
=
f
.
( x ) x - x0 < M n+1
( n + 1) !
( n + 1) !