Гармонические колебания

1.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ
КОЛЕБАНИЯ

2.

3.

• Вынужденные колебания –под
воздействием внешнего периодически
меняющегося воздействия на систему.
• Свободные (или собственные) колебания
происходят под действием внутренних сил.
• Автоколебания – это колебания, при
которых система имеет некоторый
собственный запас потенциальной энергии,
который расходуется на совершение
колебаний (например, механические часы).

4.

• Колебания- движения или процессы,
которые характеризуются
определенной повторяемостью во
времени
• Природа колебаний может быть
различна, однако все они описываются
одинаковыми уравнениями

5.

• Колебания называются
гармоническими, если они происходят
по закону синуса(косинуса)

6.

s A cos( 0t 0 )
Максимальное значение
A -колеблющейся
величины –
0
амплитуда колебаний
- Круговая (циклическая) частота
0t 0
0
- Фаза колебаний
- Начальная
фаза колебаний

7.

• Период колебаний – это время , за
которое фаза колебаний изменяется на 2π
0T 2
T
2
0

8.

Частота колебаний
1
n
T
-число полных колебаний,
совершаемых в единицу времени
0 2 n

9.

s A cos( 0t 0 )
ds d
A cos( 0t 0 )
dt dt
A 0 sin( 0t 0 )

10.

2
d s d
A
sin(
t
)
0
0
0
2
dt
dt
A 0 cos( 0t 0 )
2
0 s
2
2
d s
2
s
0
0
2
dt

11.

s
T
А
t
-А
T

12.

2
d s
2
s
0
0
2
dt
Дифференциальное
уравнение
гармонических
колебаний
s 0 s 0
2
s A cos( 0t 0 )
Решение
уравнения

13.

• Гармонические колебания можно
изображать с помощью векторных
диаграмм
• Откладывается вектор, длина которого
равна АМПЛИТУДЕ колебаний
• Угол, под которым он расположен к оси
х – начальная фаза колебаний

14.

0
А
0
х
Проекция вектора на ось х
меняется по гармоническому закону
x A cos( 0t 0 )

15.

Механические гармонические
колебания

16.

• Пусть мат. точка совершает
гармонические колебания вокруг
положения равновесия вдоль оси Х
x(t ) A cos( 0t 0 )
dx (t )
V (t )
dt
A 0 sin( 0t 0 )

17.

x
A
π
2π
3π
4π
5π
ω0 t
-A
V
Aw
ω0t
-Aw

18.

2
dV (t )
d V (t )
a(t )
2
dt
dt
A 0 cos( 0t 0 )
2
0 x
2
F m 0 x
2

19.

Кинетическая энергия
mV
T
2
2
mA 0 sin ( 0t 0 )
2
2
2
2

20.

Потенциальная энергия
x
x
0
0
П Fdx madx
m x
m xdx
2
0
x
2
0
2
0
2
m A cos ( 0t 0 )
2
2
0
2
2

21.

Полная энергия
E T П
mA 0 sin ( 0t 0 )
2
2 2
2
mA 0 cos ( 0t 0 )
2
2
2
mA 0
const
2
2
2
2

22.

Гармонический осциллятор
• Гармоническим осциллятором наз.
система, совершающая колебания,
описываемые уравнением
2
d s
2
s
0
0
2
dt
s 0 s 0
2

23.

Пружинный маятник
k
F kx
k
m
x
m
X- смещение маятника от положения
равновесия
F ma m x
m x kx m x kx 0

24.

m x kx 0
k
x x 0
m
x 0 x 0
k
0
m
2
2

25.

Колебательный контур
2
+
q0
Wэл
2C
-
t=0
I
T
0 t
4
+
I

26.

I0
LI 0
Wмагн
2
T
t
4
I0
2

27.

T
T
t
4
2
-
+
I

28.

+
T
t
2

29.

Колебательный контур
UC S
dI
q
S L
UC
dt
C
2
q
dI
d dq
L
L ( ) L d q
2
C
dt
dt dt
dt

30.

q
q
Lq Lq 0
C
C
1
2
0
LC
q
q
0
LC
q q0 cos( 0t 0 )
q0
U C cos( 0t 0 )
C
dq
I
q0 0 sin( 0t 0 )
dt

31.

dq
I
q0 0 sin( 0t 0 )
dt
q0 0 cos( 0t 0 )
2
Колебания тока опережают
колебания напряжения по фазе на π/2

32.

Сложение гармонических
колебаний одного направления
+
x1 A1 cos( 0t 10 )
x2 A2 cos( 0t 20 )
x A cos( 0t 0 )

33.

А
20 A2 sin 20
А2
0
20
10
A1 cos 10
А1
A1 sin 10
A2 cos 20
х

34.

tg 0
A1 sin 10 A2 sin 20
A1 cos 10 A2 cos 20
A A A2 2 A1 A2 cos( ( 20 10 ))
2
2
1
2
A A2 2 A1 A2 cos( 20 10 )
2
1
2

35.

А
20 10
А2
20
10
0
20
10
А1
х

36.

20 10 2k
A A1 A2 2 A1 A2
2
2
2
A A1 A2
20 10 (2k 1)
A A1 A2 2 A1 A2
2
2
2
A A1 A2

37.

Биения
• Рассмотрим 2 гармонических колебания
с одинаковыми амплитудами мало
отличающиеся по частоте
• Начало отсчета выберем так, что
10 0
20 0

38.

+
x1 A cos 0t
x2 A cos( 0 )t
x 2 A cos
0t 0t t
2
0t t 0t
cos
2

39.

t
x 2 A cos
cos 0t
2
Результирующее колебание – это
колебание с медленно меняющейся
амплитудой
t
AБ 2 A cos
2

40.

41.

Б
2
TБ

42.

Сложение взаимно
перпендикулярных колебаний
+
x A cos 0t
y B cos( 0t 0 )
x
cos 0t
A

43.

y
cos( 0t 0 )
B
cos 0t cos 0 sin 0t sin 0
2
x
x
cos 0 1 2 sin 0
A
A
2
x
y
x
cos 0
1
sin
0
2
A
B
A

44.

2
x
y
x
y
2
2
cos
cos
0
0
2
2
A
B
A
B
2
x
2
(1 2 ) sin 0
A
2
2
x
x y
2
y
sin
2
cos
0
0
2
2
A
AB
B
2
Уравнение эллипса

45.

0 m
B
y x
A