Розв'язування дробово - раціональних рівнянь (8 клас)

1.

2. Означення дробового раціонального рівняння

Рівняння, у якому ліва або права частина є
раціональним дробовим виразом, називають
раціональним дробовим рівнянням.
Приклади:

3. Способи розв'язання дробово-раціональних рівнянь

Способи розв'язання дробовораціональних рівнянь
Використання умови рівності нулю.
Використання основної властивості
пропорції.
Використання умови рівності дробу одиниці.
Множення обох частин рівняння на спільний
знаменник.

4. 1. Розв’язування дробово-раціональних рівнянь, викорстовуючи умову рівності дробу нулю

х x 2
0
x 3
2
1) ОДЗ: х + 3 ≠ 0, х ≠ -3.
2) х2-х-2=0,
х1=-1 х2 = 2
задовольняють ОДЗ.
Відповідь. -1 ; 2
1) Знайти область
допустимих значень
(ОДЗ) змінної в рівнянні;
2) прирівняти чисельник до
нуля і розв’язати
утворене ціле рівняння;
3) виключити з його коренів
ті, при яких знаменник
дробу дорівнює нулю.

5. Зверніть увагу

Умова рівності дробу нулю складається з двох
частин :
1. Чисельник дробу дорівнює нулю;
2. Знаменник відмінний від нуля.
Кожна з цих частин умови
важлива.

6.

2. Розв’язування рівнянь використовуючи
умову рівності дробу одиниці
1) за допомогою тотожних
2 х 1 х 1
1
перетворень звести рівняння до
х 2 х 2
виду а/в=1
2) розкласти на множники
(2 х 1)( х 2) ( х 1)( х 2)
1
знаменники дробів, якщо це
( х 2)( х 2)
можливо;
3) Знайти ОДЗ;
ОДЗ:х 2, х 2
4) знайти найменший спільний
(2 х 1)( х 2) ( х 1)( х 2)
знаменник дробів, що входять у
( х 2)( х 2)
рівняння;
5) помножити обидві частини
2
2
2 х 4 х х 2 х
рівняння на цей спільний
знаменник;
2 х х 2 х 2 4;
6) розв’язати утворене ціле
4 х 4
рівняння;
7) виключити з його коренів ті,
х 1
при яких спільний знаменник
Відповідь:1.
дробів перетворюється на нуль.

7. 3. Розв’язування дробово-раціональних рівнянь, викорстовуючи основну властивість пропорції

х 3
8
0
х
х 3
х 3
8
х
х 3
ОДЗ :х 3, х 0
( х 3)( х 3) 8 х
( х 2 9) 8 х
х 2 8 х 9 0
За теоремою Вієта
х1= -1 , х2=9 – задовільняють ОДЗ.
Відповідь:
х1= -1 , х2=9
1) За допомогою тотожних
перетворень звести рівняння
до виду
;
2) знайти область допустимих
значень (ОДЗ) змінної в
рівнянні;
2) використовуючи основну
властивість пропорції,
дістати ціле рівняння ad=bc
та розв’язати його.
3) виключити з його коренів ті, при
яких знаменники дробів b або d
дорівнюють нулю.

8. 4. Розв’язування дробово- раціональних рівнянь методом множення обох частин рівняння на спільний знаменник

1) Знайти область допустимих
1)ОДЗ: х-5≠0, х≠5 та х≠0
2)Спільний знаменник х(х-5)
3)
|*х(х-5);
4) х(х-3)+х-5=х+5;
х2- 3х+ х- 5- х- 5 =0;
х2- 3х- 10 =0; за теоремою Вієта
х1= -2, х2=5- не задовольняє ОДЗ.
Відповідь : -2.
значень (ОДЗ) змінної в
рівнянні;
2)Знайдіть спільний знаменник
дробів, що входять до
рівняння.
3)Помножити обидві части
рівняння на спільний
знаменник.
4)Розв’язати здобуте рівняння.
5)Виключити з його коренів
ті, за яких спільний
знаменник дорівнює нулю.

9.

Прокоментуйте (використовуючи алгоритм)
розв’язання рівняння
2
1
= .
x 1
x
1) ОДЗ: x≠0 та x+1≠0; x≠0 та x≠−1;
2( x 1( x
2x x 1
x 1
2)
= 0,
= 0,
= 0;
x 1 x
x x 1
x x 1
3) x−1=0,
x=1 — входить до ОДЗ.
Відповідь. 1.

10.

х
3
1) за допомогою тотожних
х 2
перетворень звести рівняння
х
3 0
х 2
до виду
;
х 3х 6
0 2) прирівняти чисельник до
х 2
нуля і розв’язати утворене
6 2 х
0
х 2
ціле рівняння;
6 2 х 0
х 2 0
х 3
х 2
Відповідь: 3.
3) виключити з його коренів ті,
при яких знаменник дробу
дорівнює нулю.

11.

5х 2 х 4
0
х 4 х 8
5х 2 х 4
х 4 х 8
ОДЗ :х 4, х 8
(5х 2)( х 8) ( х 4)( х 4)
1). за допомогою
тотожних перетворень
звести рівняння до виду
а/b=c/d;
2). використовуючи
основну властивість
пропорції, дістати ціле
5х 2 40 х 2 х 16 х 2 8х 16
рівняння ad=bc та
2
розв’язати його.
4 х 50 х 0
3). виключити з його
2 х(2 х 25) 0
коренів ті, при яких
х 0абох 12,5
знаменники дробів b або
Відповідь:0;12.5.
d дорівнюють нулю.

12.

1. Встановіть відповідність між раціональними
дробами та ОДЗ змінної а
1)
3а
2)
а 16
3 а
а 1
А) а 5
4)
в 4
Б) а 4; а 4
2) 7 в
5 в
3) 5в
7 в
4) 2в
В) а 1
2
а 3
4
5 а
Г) а 3
в 4
2
Д) а 4
5
А) у= - 2;
Б) у= 8
В) у= -7;
Г) у= 3;
1) х 3 0;
Б) в 2; в 2;
В) в 5;
;
Г) в 5
2.Встановіть відповідність між значенням
дробу х 3 та значення змінної х
4
1) 1;
А) х=3;
1) 1;
2) -1;
Б) х=11;
2) -1;
3) 0;
В) х=-1;
3) 0;
4) 2;
Г) х=7;
4) 2;
5) 3.
5) 0,5.
3. Встановіть відповідність між рівняннями та їх розв’язками 1 1 1
;
3) 8 х 3 5
1) у 4 0;
3)
х 11 х 5
0;
2)
х 3
х
А) 15;
;
Д) в 4;
2. Встановіть відповідність між значенням
дробу у 2 та значенням змінної у.
х 5
А) в 7;
1) 5 ;
2
3)
1. Встановіть відповідність між раціональними
дробами та ОДЗ змінної в.
х
4) 160 : 160 2
х х 2
Б) 3; В) 5; Г) -1;
Д) 2.
5 у 4
у 2
120 120
2)у 3 у 7 0; 4)
:
2
х
2
х
у
у 1
А) 4; Б) 1;
В) 0; Г) 20; Д) -4.

13.

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
1) Розв’яжіть рівняння:
x 8
x 1
2x 8
= 0; б)
= 0; в) 2
= 0.
а)
x 1
x 8
x 16
2) Розв’яжіть рівняння:
2x
x 6
3x 1 2x 2
x 5
2x
= 0; б)
=
; в)
=
.
а)
x 3 x 3
x 1
x 1
x 6
x 6
3) Розв’яжіть рівняння:
2
3
x 3
2x
2x 4x
= 0; в)
=
.
= 0; б)
а)
x 2 x 2
x 1
2x 3
x 2
2