Арифметические операции в разных системах счисления

1. Арифметические операции в разных системах счисления

2.

Сложение в десятичной системе.
4 710
+ 9 610
1 4 310

3.

Таблица сложения в восьмеричной
системе:

4.

Таблица сложения в 16-ричной системе:

5.

Правило сложения
Aq+Bq=S
Чтобы в системе счисления с снованием q получить сумму S двух
чисел A и B, надо просуммировать образующие их цифры по
разрядам i справа налево:
1.
если ai + bi < q, то si = ai + bi,
старший (i + 1)-й разряд не изменяется
2. если ai + bi ≥ q, то si = ai + bi – q,
старший (i + 1)-й разряд увеличивается на 1
+
Aq
Bq
Sq
1
+
an … ai+1 ai … a1 a0 q
bn … bi+1 bi … b1 b0 q
sn … si+1 si … s1 s0
ai + bi ≥ q
s i = a i + bi - q
q
ai + b i < q
s i = a i + bi

6. Сложение чисел в системе счисления с основанием q

а)
1 1 1
1 1
b)
1 2 1 1 0 13
+
2 2 23
1 2 2 1 0 03
1
c)
1 2 3 4 5 68
+
1 2 3 48
112+14+17+21=2 2=3 8≥4 3≥ 3
+
D 2 1 B 1 16
CA F E16
DECA F16
1+
+1
2=
=2
3<
≥3
1
32-м
записываем
записываем
3
4
–
–
3
3
=
=
0
1
под
под
3-м
разрядом,
разрядом,
записываем
3 - 32=под
0 под
1-м
разрядом,
записываем
4-м
разрядом
а
3-й
а 4-й
2-й разряд
разряд увеличиваем
увеличиваем на
на 1
1
1
+
an … ai+1 ai … a1 a0 q
bn … bi+1 bi … b1 b0 q
sn … si+1 si … s1 s0
ai + bi ≥ q
s i = ai + bi - q
q
ai + bi < q
s i = ai + b i

7.

Сложение чисел с разным основанием
Для того, чтобы сложить два числа с
разными основаниями систем счисления,
их надо перевести в одну (удобную для
вас) систему счисления и выполнить
сложение.
Результат представить в требуемой в
задании системе счисления.

8.

Сложить AD16 и 2518.
Результат представить
в шестнадцатеричной системе счисления.
A16
B16
C16
D16
E16
F16
=1010
=1110
=1210
=1310
=1410
=1510

9.

Сложить AD16 и 2518.
Результат представить в
шестнадцатеричной системе счисления.
0 1 0 1 0 1 0 0 1
2
5
1
A16
B16
C16
D16
E16
F16
=1010
=1110
=1210
=1310
=1410
=1510

10.

Сложить AD16 и 2518.
Результат представить в
шестнадцатеричной системе счисления.
0 1 0 1 0 1 0 0 1
2
5
1
0 1 0 1 0 1 0 0 1
A16
B16
C16
D16
E16
F16
=1010
=1110
=1210
=1310
=1410
=1510

11.

Сложить AD16 и 2518.
Результат представить
в шестнадцатеричной системе счисления.
0 1 0 1 0 1 0 0 1
2
5
1
0 1 0 1 0 1 0 0 1
А
916
A16
B16
C16
D16
E16
F16
=1010
=1110
=1210
=1310
=1410
=1510

12.

Сложить AD16 и 2518.
Результат представить
в шестнадцатеричной системе счисления.
0 1 0 1 0 1 0 0 1
2
5
1
0 1 0 1 0 1 0 0 1
А
+ A
916
D16
A16
B16
C16
D16
E16
F16
=1010
=1110
=1210
=1310
=1410
=1510

13.

Сложить AD16 и 2518.
Результат представить
в шестнадцатеричной системе счисления.
0 1 0 1 0 1 0 0 1
2
5
1
0 1 0 1 0 1 0 0 1
А
+ A
1
5
916
D16
616
A16
B16
C16
D16
E16
F16
=1010
=1110
=1210
=1310
=1410
=1510

14.

Сложить AD16 и 2518.
Результат представить
в двоичной системе счисления.
0 1 0 1 0 1 0 0 1
2
5
1
1 0 1 0 1 1 0 1
A
D
1 0 1 0 1 0 1 1 02
A16
B16
C16
D16
E16
F16
=1010
=1110
=1210
=1310
=1410
=1510

15.

Правило вычитания
Чтобы в системе счисления с основанием q получить
разность R двух чисел A и B, надо вычислить разности образующих
их цифр по разрядам i справа налево:
1. если ai ≥ bi, то ri = ai – bi,
старший (i + 1)-й разряд не изменяется
2. если a i < b i , то ri = q + ai – bi ,
старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1
–
Aq
Bq
Rq
–
an … ai+1 ai … a1 a0 q
bn … bi+1 bi … b1 b0 q
rn … ri+1 ri … r1 r0
ai < bi
ri = q + a i – b i
q
ai ≥ bi
ri = a i – b i

16. Вычитание чисел в системе счисления с основанием q

а)
●
b)
1 0 1 1 0 13
–
1 0 2 1 03
2 0 1 2 13
c)
6 5 4 3 2 18
–
5 6 3 4 1 28
7 0 7 00 7
< 81
2
DECA F 16
–
CA F E16
D 2 1 B 116
1
01
≥
===02
записываем
записываем
3
3
+
+
0
0
–
2
1
12
под
под
5-м
3-м
2-м
разрядом,
разрядом,
записываем
записываем
1
0
0
=
под
1
под
4-м
1-м
разрядом
разрядом
делая
делая заем
заем вв 6-м
4-м
3-м разряде
разряде
–
an … ai+1 ai … a1 a0 q
bn … bi+1 bi … b1 b0 q
rn … ri+1 ri … r1 r0
ai < bi
ri = q + a i – b i
q
a i ≥ bi
ri = a i – b i

17. Правило вычитания чисел в системе счисления с основанием p

• Записать цифры числа друг под другом, соблюдая
разрядность чисел.
• Начиная с младшего разряда вычитать значения цифр,
предварительно переведя их в десятичную систему.
• Если в каком-то разряде уменьшаемое число меньше
вычитаемого, то необходимо занять единицу из
следующего разряда. При этом нужно помнить, что
значение этой единицы равно основанию системы
счисления P.

18.

Найти разность чисел 110112 и 11012.
1
-
1
1
0
1
1 12
0 12

19.

Найти разность чисел 110112 и 11012.
1
-
1
1
0
1
1 12
0 12
02

20.

Найти разность чисел 110112 и 11012.
1
-
1
1
0
1
1 12
0 12
1 02

21.

Найти разность чисел 110112 и 11012.
1
-
.
1
1
0
1
1
1 12
0 12
1 02

22.

Найти разность чисел 110112 и 11012.
.
1
-
.
1
1
1
0
1
1
1 12
0 12
1 02

23.

Найти разность чисел
ADC2716 и 25EF116.
-
A
2
D
5
C
E
2 716
F 116
A16
B16
C16
D16
E16
F16
=1010
=1110
=1210
=1310
=1410
=1510

24.

Найти разность чисел
ADC2716 и 25EF116.
-
A
2
D
5
C
E
2 716
F 116
616
A16
B16
C16
D16
E16
F16
=1010
=1110
=1210
=1310
=1410
=1510

25.

Найти разность чисел
ADC2716 и 25EF116.
-
A
2
D
5
.
C
E
2 716
F 116
3 616
A16
B16
C16
D16
E16
F16
=1010
=1110
=1210
=1310
=1410
=1510

26.

Найти разность чисел
ADC2716 и 25EF116.
-
A
2
.
D
5
.
C
E
D
2 716
F 116
3 616
A16
B16
C16
D16
E16
F16
=1010
=1110
=1210
=1310
=1410
=1510

27.

Найти разность чисел
ADC2716 и 25EF116.
-
A
2
.
D
5
7
.
C
E
D
2 716
F 116
3 616
A16
B16
C16
D16
E16
F16
=1010
=1110
=1210
=1310
=1410
=1510

28.

Найти разность чисел
ADC2716 и 25EF116.
-
A
2
8
.
D
5
7
.
C
E
D
2 716
F 116
3 616
A16
B16
C16
D16
E16
F16
=1010
=1110
=1210
=1310
=1410
=1510

29.

Правило умножения
Чтобы в системе счисления q получить произведение M многозначного
числа A и однозначного числа b, надо вычислить произведения b и
цифр числа A по разрядам i:
1.
если ai · b <q, то mi = ai · b,
старший (i + 1)-й разряд не изменяется
2. если ai · b ≥ q, то mi = ai · b mod q,
старший (i + 1)-й разряд увеличивается на
ai · b div q
ai · b div q
х
Aq
Bq
Mq
an … ai+1 ai … a1 a0 q
x
b q
mn …mi+1 mi …m1 m0 q
ai · b ≥ q
ai · b < q
mi = ai · b mod q
mi = ai · b

30.

Div – деление нацело (остаток
отбрасывается).
Mod – остаток от деления.
Примеры:
45 div 10 = 4
45 mod 10 = 5
13 div 2 = 6
13 mod 2 = 1

31. Умножение чисел в системе счисления с основанием q

2 1
1 2 1 23
х
23
1 0 2 0 13
b)
1 0 3 28
х
78
7 2 6 68
с)
2 1
х
1 2 3 4 16
А 16
В 6 0 8 16
2 ·2 1
1
2=
1=
4≥
33
≥3
2· +
записываем
записываем 4
33 mod
mod 33 == 1
00 под
под 1-м
2-м
4-м разрядом,
разрядом
5
2
3-м
и2-й
3-й
в 5-й
разряд
разряд
записываем
на 34
3 div
div 33 == 11
4-й
увеличиваем
5
ai · b div q
an … ai+1 ai … a1 a0 q
x
b q
mn …mi+1 mi …m1 m0 q
ai · b ≥ q
ai · b < q
mi = ai · b mod q
mi = ai · b
Реши
сам
а)
1 1 1
?

32. Деление чисел в системе счисления с основанием q

Деление чисел в системе
счисления
с
основанием
q
Деление нельзя свести к поразрядным операциям над
цифрами, составляющими число.
• Деление чисел в системе счисления с произвольным
основанием q выполняется так же, как и в десятичной системе
счисления.
• А значит нам понадобятся правила умножения и вычитания
чисел в системе счисления с основанием q.

33. Деление чисел в системе счисления с основанием q

Деление
чисел в
Решите
самостоятельно
системе
счисления с основанием q
№ 7.
2001 12
12 102
10 1
–
101
0
–
b) 45458 : 58 = 7418
с) 2В5С16 : А16 = 45616
Реши
сам
а) 20013 : 123 = 1023
ОТВЕТ
?

34. Задание

1. Чему равна сумма чисел X= 438 и Y=568?
2. Чему равна сумма чисел X= 4316 и Y=5616?
3. Чему равна сумма чисел X= 438 и Y=5616?
Результат выразить последовательно в двоичной,
восьмеричной и шестнадцатеричной системах
счисления.
4. Чему равна сумма чисел X= 11100112 и
Y=10010012?
5. Чему равна сумма чисел X= 558 и Y=AE116?
Результат выразить в шестнадцатеричной системе
счисления.
6. Чему равно значение выражения 1016 + 108 • 102 в
двоичной системе счисления?

35.

7. Чему равна разность чисел X= 1101112 и Y=1012?
8. Чему равна разность чисел X= 1248 и Y=568?
9. Чему равна разность чисел X= 1248 и Y=5216?
Результат выразить последовательно в двоичной,
восьмеричной и шестнадцатеричной системах
счисления.
10. Чему равна разность чисел X= 11100112 и
Y=10010012?
11. Чему равна разность чисел X=AE116 и Y= 558 ?
Результат выразить в шестнадцатеричной системе
счисления.
12. Чему равно значение выражения 1016 - 102 • 105 в
двоичной системе счисления?