Квазиклассическая теория динамики электрона. Кинетическая теория Больцмана

1. Квазиклассическая теория динамики электрона. Кинетическая теория Больцмана

2.

Огибающая слабо меняется на характерных макроскопических размерах и
длина волны деБройля меньше характерного размера. Тогда из функций Блоха
можно сформировать волновой пакет с хорошо определенным
квазиимпульсом, локализованный на длинах, существенно меньших
характерных размеров, и который не успевает размываться на характерных
длинах. Тогда динамику электронов можно рассматривать как динамику
центров этих волновых пакетов. Центры волновых пакетов движутся также как
и классические частицы с функцией Гамильтона, которая получается заменой
оператора импульса на импульс.
Таким образом, мы можем рассматривать электроны как классические частицы
с функцией Гамильтона
H (r, p) E (p) Vext (r ) Hˆ E (pˆ ) Vext (r )
pˆ p
Уравнения Гамильтона
dr H E (p)
dt p
p
dp
H
Vext (r ) Fext
dt
r
v (p)

3.

Электрон в постоянном однородном электрическом поле. Осцилляции Блоха.
dp
eF p p 0 eFt
dt
E (p) E (p G ) энергия осциллирует
dE E dp
1 dE
v eF v
dt p dt
eF dt
dx
dx
1 dE
v
dt
dt
eF dt
E (p 0 eFt )
-Электрон осциллирует в реальном пространстве
x(t ) x0
eF
=> в идеальном кристалле нет тока
Амплитуда осцилляций
xmax
x
max
1
eF
a
eFa
Период осцилляций
eF Lз. Б .
рел
Lз. Б . / a
eFa
- В реальных кристаллах осцилляции не
наблюдаются

4.

Fтр v, 0
m v eF v
1
eF
1
v v ;
m
m
v0, 0 C exp( t / )
1
eF
eF
vч , н const v v
m
m
eF
v(t ) C exp( t / )
m
eF
v(0) 0 v(t ) 1 exp( t / )
m
e
v (t ) F - Сопротивление (рассеяние) приводит к установлению
m направленного движения
e 2 n
j evn F - Формула Друде
m

5.

Огибающая медленно изменяется на характерных размерах => можно перейти к
квазиклассическому описанию => электроны рассматриваем как классические
частицы с функцией Гамильтона
H (r, p) E (p) Vext (r )
E (p) - блоховский закон дисперсии
Vext (r ) - потенциальная энергия во внешнем поле
dr H E (p)
v (p)
- Скорость движения в реальном пространстве
dt p
p
dp
H
Vext (r ) Fext - уравнение движения (определяет закон
изменения квазиимпульса)
dt
r
Соотношение неопределенности Гейзенберга => механическое состояние
определено с точностью до ячейки фазового пространства 2 3
Принцип Паули => в ячейке может находиться только один электрон с данной
проекцией спина

6.

f (r, p, s z )
- Одноэлектронная функция распределения – вероятность
нахождения электрона с проекцией спина sz в ячейке (r,p) фазового
пространства (среднее число электронов с данной проекцией спина
в данной ячейке фазового пространства)
Концентрация электронов
Разбиваем фазовое пространство на физически бесконечно малые объемы drdp
(с одной стороны попадает много ячеек и можно пользоваться статистическими
метолами, с другой стороны – все характеристики внутри объема можно считать
постоянными)
drdp
2 3
- Число ячеек в объеме drdp
dN (r, p)
s z 1 / 2
f (r, p, s z )
N dN (r, p) dr
V
n(r )
V
зоне Б . s z 1 / 2
drdp
2 3
зоне Б . s z 1 / 2
- число частиц в элементарном объеме (r,p)
f (r, p, s z )
dp
f (r, p, s z )
2 3
dp
2 3
- концентрация
- Число частиц в объеме
V реального
пространства

7.

Плотность электрического тока
dN (r, p)
dV
dp
f (r, p, s z )
2 3
dj(r, p) ev(p)
ev (p)
s z 1 / 2
j(r )
dj(r, p) e
зоне Б .
v(p)
зоне Б .
- Вклад в плотность тока электронов из
элементарного объема (r,p) фазового пространства
s z 1 / 2
f (r, p, s z )
Плотность потока энергии
e H (r, p)
I (r )
зоне Б .
H (r, p) v(p)
s z 1 / 2
f (r, p, s z )
dp
2 3
dp
- Плотность электрического тока
2 3

8.

Кинетическое уравнение Больцмана
Определяет одночастичную функцию распределения
По сути – уравнение непрерывности в одночастичном фазовом пространстве.
Каждый электрон в каждый момент времени изображается точкой фазового
пространства. Движение электронов в реальном пространстве описывается
уравнениями Гамильтона
H
H
; p
r
r
p
- Также описывают движение изображающих точек
в фазовом пространстве
Вместо реальных электронов в реальном пространстве можно рассмотреть
движение изображающих точек в фазовом пространстве – эффективных 6D
электронов
( x, y , z , p x , p y , p z )
( x, y , z , p x , p y , p z )
f (r, p)
- координаты 6D электронов
- Скорости 6D электронов
- плотность 6D электронов в фазовом пространстве

9.

Число электронов сохраняется => можно написать уравнение непрерывности
(математическая запись закона сохранения числа электронов)
3
f
t i 1 xi
f xi
f pi 0
p
i
p
f
f
f
x
i
i
0
xi
pi f
xi
t i 1 xi
pi
xi
3
xi
H
xi
H
pi
xi xi pi
pi
pi
H
H
xi
pi
pi xi
p
xi
i
xi
pi
3
f
f f
df
xi
pi 0
0
t i 1 xi
pi
dt
f f f
r p 0
t r
p
E
f
f
f
r v(p)
v (p) Fext
0
p
t
r
p
p Fext

10.

f
f
f
df
v (p) Fext
0
0
t
r
p
dt
f
t
- Обусловлен временной неоднородностью в системе (изменением внешних
условий, перераспределением зарядов и энергии и т.п. )
f
v (p)
r
f
Fext
p
- Дрейфовый член (отвечает за дрейф, вызваный пространственной
неоднородностью в системе – градиентом концентрации,
температуры и т.п.)
- полевой член (отвечает за ускорение электронов во внешних полях)

11.

Учет рассеяния
df
J ст (r, p)
dt
dN прих dN уход - Интеграл столкновений – обусловленное
J ст (r, p)
рассеянием изменение среднего числа частиц
dt
dt
в ячейке (r,p)
Нужно ли учитывать изменение координаты при рассеянии?
Квант. мех-ка. – Не имеет смысла. Рассеяние – скачкообразных переход из одного
состояния в другое
Класс.мех-ка.- Нет смысла. Силы быстро убывают при удалении от рассеивателя
=> Рассеяние происходит в столь малом объеме, что нет смысла говорить об
изменении координат.
При рассеянии изменяется квазиимпульс, но не изменяется координата.
Рассеяние – скачок между ячейками (r,p) и (r,p’) c одним и тем же r

12.

W (p, p )
- Вероятность в единицу времени рассеяния p→p’
W (p, p ) f (p) 1 f (p )
- Среднее число в единицу времени актов рассеяния
p→p’
Среднее число электр., рассеивающихся в ед. времени из ячейки (r,p)
dN уход
dt
dp
W (p, p ) f (p) 1 f (p )
3
зоне Б . 2
Среднее число электр., рассеивающихся в ед. времени в ячейку (r,p)
dN приход
dt
J cт
dp
W (p , p) f (p ) 1 f (p)
3
зоне Б . 2
dp
2 W (p , p) f (p ) 1 f (p) W (p , p) f (p ) 1 f (p)
3
зоне Б .

13.

Принцип детального равновесия
f
f
f
v (p) Fext
J ст (r, p)
t
r
p
В равновесии
f (r, p)
1
1
H (r, p)
E (p) V (r )
exp
1 exp
1
T
T
f
0
t
E (p) V (r )
exp
f
T
V (r )
r E (p) V (r ) 2
r
1
exp
T
E (p) V (r )
exp
T
F
2 ext
E (p) V (r )
1
exp
T
E (p) V (r )
E (p) V (r )
exp
exp
E (p)
f
T
T
v (p)
2
2
p
E (p) V (r ) p
E (p) V (r )
1
1
exp
exp
T
T
f
f
v (p) Fext
0 J ст (r, p) 0
r
p

14.

dp
dp
W
(
p
,
p
)
f
(
p
)
1
f
(
p
)
W (p , p) f (p ) 1 f (p)
3
3
зоне Б . 2
зоне Б . 2
W (p, p ) f (p) 1 f (p ) W (p , p) f (p ) 1 f (p)
Поток из ячейки (r,p) в ячейку (r,p’) уравновешивается обратным потоком
f (r, p)
1
W (p, p ) f (p) 1 f (p ) W (p , p) f (p ) 1 f (p)
E (p) V (r )
exp
1
T
W (p , p)
E (p ) E (p)
exp
W (p, p )
T
1) упругое рассеяние E (p ) E (p) W (p , p) W (p, p )
2) неупругое рассеяние E (p ) E (p) W (p , p) W (p, p )
Более вероятен процесс с уменьшением энергии => релаксация

15.

Двухчастичное рассеяние
J cт
dp1 dp 2 dp1
W (p1 , p 2 ; p1 , p) f (p1 ) f (p 2 ) 1 f (p1 ) 1 f (p)
9
2
зоне Б .
dp1 dp 2 dp1
W (p1 , p; p1 , p 2 ) f (p1 ) f (p) 1 f (p1 ) f (p1 ) 1 f (p 2 )
9
2
зоне Б .
Условия применимости уравнения Больцмана
1) Используется концепция ферми-газа: пренебрегается корреляциями между
электронами и вводится одноэлектронная функция распределения.
Электрон-электронное взаимодействие трактуется как рассеяние.
2) Уравнение Больцмана – продукт квазиклассической теории.

16.

Малые отклонения от равновесия
Приложив внешний потенциал, создав градиент температуры или концентрации
мы выводим систему из равновесия. При этом уровень Ферми (химический
потенциал) и температура становятся зависящими от координаты. Запишем
функцию распределения в виде
f (r, p) f 0 (r, p) f1 (r, p)
1
f 0 (r, p)
- Функция Ферми с зависящими от
(p) e (r ) F (r )
1 координат хим. потенциалом F(r) и
exp
T (r )
температурой T(r)
f1 - Новая функция, которую нужно определять из кинетического уравнения
dp
dp
dp
j 2e
v
(
p
)
f
(
p
)
2
e
v
(
p
)
f
(
p
)
2
e
v (p) f1 (p)
0
3
3
3
2
2
2
(p)
p v ( p) v (p)
( p) (p)
v (p)
v ( p) v (p)
f 0 ( p) f 0 (p)
dp
v (p) f 0 (p) 0
3
2

17.

dp
v(p) f1 (p)
3
2
dp
dp
dp
I 2
v
(
p
)
H
(
p
)
f
(
p
)
2
v
(
p
)
H
(
p
)
f
(
p
)
2
v(p) H (p) f1 (p)
0
3
3
3
2
2
2
j 2e
(p)
v( p) v(p)
dp
p
v (p) H (p) f 0 (p) 0
3
H ( p, r ) H (p, r )
2
E ( p) E (p)
v (p)
I
dp
v (p) H (p) f1 (p)
3
2
Кинетические характеристики опредляются поправкой f1

18.

j 2e
dp
dp
v
(
p
)
f
(
p
)
;
I
1
2 3 v(p) H (p) f1 (p)
2 3
Во многих важных для практики случаях кинетические характеристики j,I имеют
локальный пространственно-временной характер – их значения в данный
момент времени и в данной точке пространства определяются значениями
внешних полей, ▼T и ▼n в данный момент времени в данной точке
пространства. Кроме того, характер зависимости j,I от внешних полей, ▼T и
▼n оказывается линейным. В этом случае можно считать, что добавка f1(r,t)
линейно зависит от внешних полей, ▼T и ▼n в момент времени t в точке r –
локально-линейное приближение.
Для того, чтобы локально-линейное приближение было справедливо нужно:
1) На длине свободного пробега и за время свободного пробега внешних полей,
▼T и ▼n менялись слабо (изменение было существенно меньше самих
значений)
2) Длина и время, на котором электрон приобретает существенную энергию
(порядка Т)>> длины и времени свободного пробега

19.

f
f
e
f
v eE v, H
J [ f ];
t
r
c
p
1
f f 0 f1 ; f 0
(p) e (r ) F (r )
1
exp
T
(
r
)
v
f 0
e
f
e
f f
f
eE v, H 0 1 v 1 eE v, H 1 J [ f ]
r
c
r
c
p t
p
(p) e (r ) F (r ) f 0
f 0 f 0
T
r
T (r )
(p) e F
e
F
T
T
f 0 f 0
f
(p) v 0
p
f 0
f
f
(p) e F
eE 0 0 e v Fv
Tv eEv
r
p
T
f
(p) e F
0 v F
v T
- линеен по градиентам
T
v
Отбрасываем
f1
f
e
f
v 1 eE v, H 1 - более высокий порядок
t
r
c
p малости

20.

f 0
f
f
e
e f 0
v 0 v, H 0
v v, H 0
p
c
p c
Магнитное поле само по себе не нарушает равновесие. Чтобы сохранить
информацию о магнитном поле нужно в магнитном члене оставлять поправку f1
f1 f 0
(p) e F
f1 e
f1
v
F
v
T
v
v
,
H
J[ f ]
t
T
r
c
p
1
E F
- играет роль электрического поля (учитывает как внешнее
e
электрическое поле, так и электрическое поле, обусловленное
перераспределением носителей заряда)
T 0 j F
F 0
T 0
j 0
- равновесие
Условие равновесия

21.

Интеграл столкновений для упругого рассеяния. Время релаксации
импульса (транспортное время релаксации)
Кин. ур. Больцмана остается интегро-дифференциальное уравнением даже в
локально-линейном приближении. «Точное» решение сопряжено с
математическими трудностями. => Нужно искать приближения
1) Часто можно пренебречь вероятностью изменения спина при рассеянии, а
также различием в вероятностях рассеяния электронов с разными
значениями проекции спина. В такой ситуации можно рассматривать только
частицы с одной проекцией спина. Учет двух возможных направлений спина
сводится к умножению соответствующих величин на 2.
2) Часто рассеяние носит практически упругий характер. Масса структурных
дефектов (примесей, дислокаций и т.п.)>>массы электонов => при рассеянии
на структурных дефектах может сильно измениться импульс, а изменение
энергии – мало (для большинства электронов существенно меньше самой
энергии). При рассеянии на LA-фононах изменение энергии электрона
порядка (m/M)1/2 . Поэтому при вычислении вероятности рассеяние на
длиноволновых акустических фононах можно рассматривать как упругое.

22.

Часто при вычислении вероятностей все процессы рассеяния можно считать
упругими. Это приближение – изменение энергии при рассеянии должно
происходить существенно медленнее изменения импульса. В этом случае при
вычислении интеграла столкновений можно рассматривать только упругие
процессы рассеяния. Релаксация энергии будет проявляться в том, что f1 - малая
поправка к f0
W (p , p)
E (p ) E (p)
exp
T
W (p, p )
упругое рассеяние E (p ) E (p) W (p , p) W (p, p )
dp
W (p , p) f (p ) 1 f (p) W (p, p ) f (p) 1 f (p )
J
3
2
Принцип детального равновесия
dp
W (p , p) f (p ) f (p ) f (p ) f (p) f (p) f (p) f (p )
3
2
Упругость рассеяния J
dp
W (p , p) f (p ) f (p)
3
2
Линеен по функции распределения (как если бы не было принципа Паули)

23.

1) Носители заряда в постоянном и однородном электрическом поле
p, E векторы
f1 p E ( (p))
f1 скаляр
( (p)) - неизвестная функция, подлежащая определению
2) Носители заряда в постоянном и однородном температурном поле
p, T , E векторы
f1 p T 1 ( (p)) p E 2 ( (p))
f1 скаляр
1 ( (p)), 2 ( (p)) - неизвестные функции, подлежащие определению
3) Носители заряда в постоянных и однородных электрическом и магнитном полях
p, E, E, H , EH H векторы
f1 p E 2 ( (p)) p E, H 2 ( (p)) p H EH 3 ( (p))
f1 скаляр
1 ( (p)), 2 ( (p)), 3 ( (p)) - неизвестные функции, подлежащие определению
В общем случае (когда есть и электрическое, и магнитное поле и градиент
температуры)
f1 p ξ ( (p))
ξ ( (p)) - Линейная комбинация векторов, характеризующих внешнее воздействие

24.

dp
J
W (p , p) f (p ) f (p)
3
2
f f 0 (p) f1 ;
1
; f1 pξ ( (p))
(p) e F
exp
1
T
(p) (p ) f 0 (p ) f 0 (p) 0
f 0 (p ) f 0 (p) p ξ( (p)) pξ( (p)) ξ ( (p)) p p
f0
p
p
ξ ( (p)) p 1 f1 (p) 1 ;
p
p
p - проекция p на ξ
dp
p
J
W (p , p) 1 f1 (p)
3
2
p
p - время релаксации импульса
f1 (p)
1
dp
J
;
W (p , p) 1
3
p p
2
p (транспортное время
релаксации)

25.

Пример. Электропроводность в однородном образце при наличии только
постоянного и однородного электрического поля
поле стационарное
образец однородный
f
0и
t
f
0
r
f 0
f
f (p)
1
f1 (p) e (p)E 0
p
(p)
p
f 0
f
f
v 0 f1 (p) e (p)Ev (p) 0
p
eE
f 0
2e
2e 2
j
d
pv
(
p
)
f
(
p
)
d
p
(
p
)
v Ev
1
3
3
2
2
2e 2
f 0
f 0
2e 2
j
d
p
(
p
)
v
Ev
d
p
(
p
)
v
v
E
3
3
2
2
f 0
2e 2
j , E ; ,
d
p
(
p
)
v v - тензор электропроводности
3
2
Нет рассеяния 0 j 0
определяет направленный перенос электронов => транспортное время

26.

Почему время релаксации?
Однородный образец вывели из равновесия электрическим полем, и в момент
t=0 поле выключили. За какое время установится равновесие равновесие?
f1
f
t
1 f1 (t ) f1 (0) exp
t
p (t )
- время релаксации
Vdp
t
p
f
exp
- время релаксации импульса
1
3
2

27.

Изотропные невырожденные изоэнергетические поверхности (полезно для
качественных оценок и оценок по порядку величины)
( p) p p( )
Рассеяние упругое W (p, p ) S (p, p ) ( p ) ( p)
S (p, p ) скаляр
S может зависеть только от скалярных комбинаций
p и p’
p, p векторы
p, p , p p pp cos , ( p), ( p ) - независимые скалярные
комбинаций p и p’
Рассеяние происходит в пределах одной изоэнергетической поверхности =>
p=p’=>остается только две независимые скалярные комбинации.
S (p, p ) S ( p), cos
p
dp
S ( p), cos ( p ) ( p) 1
3
2
p
1

28.

Будем сначала интегрировать по изоэнергетическим поверхностям, а потом по Е
dp dSd ,
d n p (p) d , n
n p (p) p (p) d
v p ( p )
d
d
v
p E (p)
p
( p )
d ( p ) p
d ( p )
e
e
e
p
dp
p
dp
p
d ( p ) p
d ( p )
v v ( p )
dp p
dp
p 2 sin d d d
dS p sin d d dp dSd
v( )
2
p
p cos p , ξ
dp
1
p 2
W
(
p
,
p
)
1
sin
d
d
d
S
(
,
cos
)
1 p cos p, ξ
3
v( )
2 3
p 2
p cos p , ξ
1
p 2
sin
d
d
S
(
,
cos
)
1 p cos p, ξ
v( )
2 3
1

29.

cos p , ξ
1 p 2
S ( , cos ) sin d d 1
3
2 v( )
cos
p
,
ξ
1
образующая ось ССК по p
, угловые координаты p
, угловые координаты p
cos p, ξ сos ; cos p , ξ cos cos sin sin cos
2
2
cos p , ξ
0 d cos 0 0 d 1 cos p, ξ 2 1 cos
1
1 p 2
S ( , cos ) d sin 1 cos
3
2 v( )

30.

Потоки, создаваемые электронами вблизи потолка валентной зоны.Концепция
дырок.
j(r ) e
v (p)
зоне Б .
2e
v (p)
зоне Б .
s z 1 / 2
f (r, p, s z )
dp
dp
e
v
(
p
)
1
1
f
(
r
,
p
,
s
)
z
3
3
2
2
s z 1 / 2
зоне Б .
dp
dp
e
v
(
p
)
1
f
(
r
,
p
,
s
)
z
2 3 зоне Б . sz
2 3
1 / 2
E (p)
dp
p v ( p) v (p) e v (p)
0
3
2
зоне Б .
E ( p) E (p)
v (p)
j(r ) e
v (p)
зоне Б .
I (r )
зоне Б .
z
H (r, p)
зоне Б .
2e
dp
1
f
(
r
,
p
,
s
)
z
2 3
s 1 / 2
H (r, p)
s z 1 / 2
f (r, p, s z )
dp
dp
H
(
r
,
p
)
1
1
f
(
r
,
p
,
s
)
z
3
3
2 зоне Б .
2
s z 1 / 2
dp
dp
H
(
r
,
p
)
1
f
(
r
,
p
,
s
)
z
2 3 зоне Б .
2 3
s z 1 / 2
H (r, p) H (r, p) 2e
зоне Б .
H (r, p)
dp
0
3
2

31.

dp
j(r ) e v (p) 1 f (r, p, s z )
3
2
s z 1 / 2
зоне Б .
dp
I (r ) H (r, p) 1 f (r, p, s z )
3
2
s z 1 / 2
зоне Б .
- вероятность того, что в ячейке (r,p) нет электрона с
1 f (r, p, sz ) проекцией
спина s
z
Поток заряда и энергии такой, как если бы он создавался положительными
частицами с зарядом е и энергией – Н(r,p), которые движутся в реальном
пространстве со скоростью v(p), и которые распределены в пространстве также
как и пустые места, незанятые электронами. Эти квазичастицы – дырки.
Вместо газа электронов можно рассматривать газ дырок. С точки зрения явлений
переноса электронный и дырочный языки полностью эквивалентны – приводят к
одним и тем же значениям потоков

32.

Диффузионный и дрейфовый токи. Соотношения Эйнштейна
На однородный образец наложили электрическое поле – возник направленный
поток электронов – дрейфовый ток
jn ,др env др
где , подвижности
В локально линейном приближении vдр, , E -,тензор
j
n ,др
en , E
Если распределение электронов неоднородно, то возникает дрейфовый ток
jn ,диф env диф
n
1
, где D ,
В локально линейном приближении vдиф, D ,
x
n
j
n ,дрейф
e D ,
n
x
Частицы дифундируют туда,где их меньше v диф n

33.

Полный ток в неоднородном образце
а ) электронов
jn , jn ,др jn ,диф en n , E e Dn ,
n
x
б )дырок
j p , j p ,др j p ,диф ep p , E e D p ,
p
x
Тензор диффузии и дрейфа – оба определяются рассеянием => между ними
существует связь Надо ее найти.

34.

В равновесии
jn 0
en n E eDn n 0 Для простоты рассматриваем изотропную среду с
кубической симметрией. μ – абсолютная величина
подвижности
1
2
1
2
;
dp
dp
n(r )
3
3
F
)
p
(
F
)
r
(
e
)
p
(
2
2
1
exp
exp
1
T
T
e (r )
T
e dn
dn e
dn
E
(r )
n
T d
d T
d
e d ln n
e dn
e dn
E 0 n n Dn
n n Dn
0 n
Dn T d
T d
T d

35.

jp 0
en p E eD p p 0
2
1
p(r )
dp 1
3
2
exp (p) e (r ) F
T
2
1
e (r )
dp
;
3
T
(p) F
2
exp
T
dp
dp e
e dp
p
(r )
E
d
d T
T d
p
e dn
e dn
e d ln p
n p D p
E 0 n p D p
0
T d
T d
Dp
T dp

36.

В произвольном случае
n ,
Dn ,
e d ln n
;
T d
D
p ,
p ,
e d ln n
T d
Нет равновесия, и по системе течет ток. Пренебрегаем f1, и в качестве функции
распределения берем функцию Ферми с химическим потенциалом зависящим от
координат
2
1
2
1
d
p
d
p
;
2 3 exp (p) e (r ) F (r) 1 2 3 exp (p) 1
T
T
e (r ) F (r )
T
n(r )
Зависимость концентрации от ξ такая же как и в равновесии
d ln n Т n
d
e Dn
n
dn
d ln n eE F
1
n
n n eE F
d
d
T
eDn
jn en n E eDn n n n eE eE F n n F
j p p p F