Similar presentations:
Обыкновенные дифференциальные уравнения. (Лекция 4)
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Лекция 42. Уравнение первого порядка
Функциональное уравнениеF(x,y,y ) = 0 или y = f(x,y), связывающее
между собой независимую
переменную, искомую функцию y(x) и
ее производную y (x), называется
дифференциальным уравнением
первого порядка.
3. Решение дифференциального уравнения
Решением уравнения первого порядканазывается всякая функция y= (x),
которая, будучи подставлена в
уравнение вместе со своей
производной y = (x), обращает его в
тождество относительно x.
4. Общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка
Общим решением дифференциальногоуравнения первого порядка называется
такая функция y = (x,C), которая при
любом значении параметра C является
решением этого дифференциального
уравнения.
5.
Уравнение Ф(x,y,C) =0, определяющееобщее решение как неявную функцию,
называется общим интегралом
дифференциального уравнения первого
порядка.
6. Уравнение, разрешенное относительно производной
Если уравнение 1-го порядка разрешитьотносительно производной, то оно
может быть представлено в виде
y f ( x, y )
Его общее решение геометрически
представляет собой семейство
интегральных кривых, т. е. совокупность
линий, соответствующих различным
значениям постоянной C.
7. Постановка задачи Коши
Задача отыскания решениядифференциального уравнения
,
y f ( x, y )
удовлетворяющего начальному условию
y y0 при x x0 , называется
задачей Коши для уравнения 1-го
порядка.
8.
Геометрически это означает: найтиинтегральную кривую
дифференциального уравнения
y f ( x, y ) ,
проходящую через данную точку
M 0 ( x0 , y 0 ) .
9. Уравнение с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнениеf ( x)dx g ( y )dy
называется уравнением с
разделенными переменными.
10.
Дифференциальное уравнение 1-го порядканазывается уравнением с разделяющимися
переменными, если оно имеет вид:
M1 ( x ) N1 ( y )dx M 2 ( x ) N 2 ( y )dy 0
.
Для решения уравнения делят обе его части
на произведение функций
N1 ( y)M 2 ( x)
,
а затем интегрируют.
11. Пример
Разделим переменные в уравнении(1 y )xdx (1 x )dy 0
2
2
xdx
dy
2
1 x
1 y2
1 d ( x 2 1)
dy
Интегрируем: 2
2
x 1
1 y2
1
2
Имеем: ln( x 1) arctgy C.
2
.
12. Понятие однородной функции
Функция z=f(x,y) называется однороднойпорядка k, если при умножении ее
аргументов на t получаем:
k
tx, ty) функцию
t f ( x, y)нулевого
Если k=0, тоf (имеем
порядка. Например, функция
x y
f ( x, y)
нулевого порядка.
x y
13. Однородные уравнения
Дифференциальное уравнение первогопорядка называется однородным, если
y
его можно привести к виду y = f ( )
x
или к виду M ( x , y )dx N ( x , y )dy 0
где M ( x , y ) и N ( x , y ) – однородные
функции одного порядка .
14. Пример
Решить уравнениеxy 3 x y y.
2
2
15. Линейные уравнения 1-го порядка
Дифференциальное уравнение первогопорядка называется линейным, если оно
содержит y и y в первой степени, т.е.
имеет вид
y P( x ) y Q( x ) .
Решают такое уравнение с помощью
подстановки y=uv, где u и vвспомогательные неизвестные функции,
которые находят, подставляя в уравнение
вспомогательные функции и на одну из
функций налагают определенные условия.
16. Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называетсяуравнение 1-го порядка, имеющее вид
m
y P( x ) y Q( x ) y,
где m 0 и m 1
Его, как и линейное уравнение решают
с помощью подстановки
y uv
17. Пример
Решить уравненияy
x
e ( x 1)
1) y
x 1
2) y y x
x
2
y