Показательные уравнения

1.

*

2.

*
Определение
Простейшие
уравнения
Способы решения
сложных уравнений

3.

*
Уравнение, в котором
переменная содержится в
показателе степени,
называется показательным.
Примеры:
2 8; 9 5 3 6 0
х
х
х

4.

Простейшее показательное
уравнение – это уравнение вида
a a , где a 0, a 1.
x
b
Простейшее показательное
уравнение решается с
использованием свойств степени.
a a x b
x
b

5.

Способы решения сложных
показательных уравнений.
Замена
переменной
Деление на
показательную
функцию
Вынесение
за скобки
степени с
меньшим
показателем

6.

Вынесение за скобки степени с
меньшим показателем
Данный способ используется,
если соблюдаются два условия:
1) основания степеней
одинаковы;
2) коэффициенты перед
переменной одинаковы
Например:
2
x 1
4 2
x 2
32

7.

Вынесение за скобки степени с
меньшим показателем
2
x 1
4 2
x 2
32
2 х 2 ( 23 4 1) 32
2 х 2 (8 4) 32
2 х 2 4 32 | : 4
2 х 2 8
2 х 2 23
х 2 3
х 5
Ответ: 5
x + 1 - (x - 2) =
=x+1–x+2=3

8.

Замена переменной
При данном способе показательное
уравнение сводится к квадратному.
Способ замены переменной используют, если
а) основания степеней одинаковы;
б) показатель одной из коэффициенты перед
степеней в 2 раза
переменной
больше, чем
противоположны.
у другой.
Например:
Например:
х
2x
2-х
х–1
3 – 4 · 3 – 45 = 0
2
–2
=1

9.

Замена переменной (1)
основания степеней одинаковы, показатель одной из
степеней в 2 раза больше, чем у другой .
х
2x
3 – 4 · 3 – 45 = 0
t = 3x (t > 0)
t 2 – 4t – 45 = 0
По т. Виета: t1· t 2 = - 45; t1+ t 2 =4
t1 = 9; t 2 = - 5 – не удовлетворяет условию
x
x
2
3 = 9; 3 = 3 ; x = 2.
Ответ: 2

10.

Замена переменной (2)
Основания степеней одинаковы,
коэффициенты перед переменной противоположны.
2
2 х
2
х
х 1
1
1
2 2 2 2 1
t 2 x t 0
2
х
4 t
1
t 2
8 t 2t
2
t 2t 8 0
2
По т. Виета:
t1 t2 8, t1 t2 2
t1 4
- Не удовлетворяет условию
t2 2
x
2 2
х 1
Ответ: 1

11.

Деление на показательную функцию
Данный способ используется, если
основания степеней разные.
x
x
а) в уравнении вида a = b делим на b
Например:
х
х
2 =5 |:5
x
x
б) в уравнении A a + B (ab) + C b = 0
2x
x
2x
2x
делим на b .
Например:
х
х
х
3 25 - 8 15 + 5 9 = 0 | : 9
x

12.

Деление
на показательную функцию
а) 2 5 |: 5
х
х
х
2
1
5
х
2 2
5 5
х 0
Ответ: 0
0
x

13.

Деление
на показательную функцию
3 25 х 8 15 х 5 9 х 0 : 9 х
3 52 х 8 5 x 3 x
5 0
2х
2x
3
3
2x
x
5
5
3 8 5 0
3
3
5
t
3
х
(t 0)
3t 8t 5 0
2
D 64 4 3 5 4 2 2
8 2 10 5
t1
;
6
6 3
х
5
5
3
3
х 1
8 2
t2
1.
6
х
5
1
3
х
5 5
3 3
х 0
3t 8t 5 0
2
Ответ: 0; 1.
0