Similar presentations:
Показательная функция. Показательные уравнения
1. Показательная функция. Показательные уравнения
2. Определение
Показательная функция – этоx
функция вида
,
y a
где x – переменная,
a - заданное число, a >0, a 1.
Примеры:
у 3 ;
х
х
1
у ;
2
у 0,4
х
3. Свойства показательной функции
Свойства показательнойх
функции у а
1. Область определения:
все действительные числа
D(y) = R;
2. Множество значений:
все положительные числа
E(y) = (0; + ∞);
3. При a > 1 функция возрастающая;
при 0 < a < 1 функция убывающая.
4. График показательной функции
Т.к. а 1 , то график любой показательнойфункции проходит через точку (0; 1)
0
0 а 1
а 1
у
у
1
0
х
1
0
х
5. Показательные уравнения
ОпределениеПростейшие
уравнения
Способы решения
сложных уравнений
6. Определение
Уравнение, в которомпеременная содержится в
показателе степени, называется
показательным.
Примеры:
2 8; 9 5 3 6 0
х
х
х
7. Простейшее показательное уравнение – это уравнение вида
a a , где a 0, a 1.x
b
Простейшее показательное
уравнение решается с
использованием свойств степени.
a a x b
x
b
8.
Способы решения сложныхпоказательных уравнений.
Замена
переменной
Деление на
показательную
функцию
Вынесение
за скобки
степени с
меньшим
показателем
9. Вынесение за скобки степени с меньшим показателем
Данный способ используется,если соблюдаются два условия:
1) основания степеней
одинаковы;
2) коэффициенты перед
переменной одинаковы
Например:
2
x 1
4 2
x 2
32
10. Замена переменной
При данном способе показательноеуравнение сводится к квадратному.
Способ замены переменной используют, если
а) основания степеней одинаковы;
б) показатель одной из коэффициенты перед
степеней в 2 раза
переменной
больше, чем
противоположны.
у другой.
Например:
Например:
х
2x
2-х
х–1
3 – 4 · 3 – 45 = 0
2
–2
=1
11. Деление на показательную функцию
Данный способ используется, еслиоснования степеней разные.
x
x
а) в уравнении вида a = b делим на b
Например:
х
х
2 =5 |:5
x
x
б) в уравнении A a + B (ab) + C b = 0
2x
x
2x
2x
делим на b .
Например:
х
х
х
3 25 - 8 15 + 5 9 = 0 | : 9
x
12.
Показательные неравенстваОпределение
Простейшие
неравенства
Решение неравенств
13. Определение
Показательные неравенства –это неравенства, в которых
неизвестное содержится в
показателе степени.
Примеры:
3 9;
х
2 5 2
х
х 1
11
14. Простейшие показательные неравенства – это неравенства вида:
a ab
a a
b
x
x
a a
x
b
a a
x
b
где a > 0, a 1, b – любое число.
15.
При решении простейшихнеравенств используют свойства
возрастания или убывания
показательной функции.
a a
x b
a 1
x
b
a
x b
0 a 1
a
x
b
Для решения более сложных
показательных неравенств используются те
же способы, что и при решении
показательных уравнений.
16.
• Построение графика• Сравнение чисел с использованием свойств
показательной функции
• Сравнение числа с 1
а) аналитический способ;
б) графический способ.
17. Задача 1 Построить график функции y = 2x
Задача 1x
Построить график функции y = 2
у
x
y
8
-1
1
2
7
0
1
6
1
2
2
4
3
8
5
4
3
2
1
х
-3 -2
-1
0
1
2
3
18. Задача 2 Сравнить числа
Задача 21
Сравнить числа 3
2
1, 4
1
и
3
Решение
1
3
2 1,41... 1,4
0
1
1
3
Ответ:
1
3
2
1, 4
1
3
2
1, 4
1
3
19. Задача 3 Сравнить число с 1.
Задача 35
Сравнить число 3 с 1.
Решение
1 3
0
-5 < 0
5
3 3
3 1
Ответ: 3 5 1
0
5
3 1
20. Задача 4 Cравнить число р с 1
р=2р=
3
2 > 1, то
t
функция у = 2 –
возрастающая.
3
Ответ: 2 > 1.
1
2
4
1
2
0 < < 1, то
функция у =
– убывающая
4
1
Ответ: > 1
2
21.
• Простейшие показательные уравнения• Уравнения, решаемые вынесением за скобки
степени с меньшим показателем
• Уравнения, решаемые заменой переменной
случай 1;
случай 2.
• Уравнения, решаемые делением на
показательную функцию
случай 1;
случай 2.
22. Простейшие показательные уравнения
1). 23 x 4 2 x 7 3х 4 х 73х х 7 4 2х 11 х 5,5.
Ответ: - 5,5.
2). 5
x 2 3 x
1 5
х 2 3 х
2
х
3х 0
5
0
х 0,
х х 3 0
х 3.
Ответ: 0; 3.
23. Вынесение за скобки степени с меньшим показателем
2x 1
4 2
x 2
32
2 х 2 ( 23 4 1) 32
2 х 2 (8 4) 32
2 х 2 4 32 | : 4
2 х 2 8
2 х 2 23
х 2 3
х 5
Ответ: 5
x + 1 - (x - 2) =
=x+1–x+2=3
24. Замена переменной (1)
основания степеней одинаковы, показатель одной изстепеней в 2 раза больше, чем у другой .
х
2x
3 – 4 · 3 – 45 = 0
t = 3x (t > 0)
t 2 – 4t – 45 = 0
По т. Виета: t1· t 2 = - 45; t1+ t 2 =4
t1 = 9; t 2 = - 5 – не удовлетворяет условию
x
x
2
3 = 9; 3 = 3 ; x = 2.
Ответ: 2
25. Замена переменной (2)
Основания степеней одинаковы,коэффициенты перед переменной противоположны.
2
2 х
2
х
х 1
1
1
2 2 2 2 1
t 2 x t 0
2
х
4 t
1
t 2
8 t 2t
2
t 2t 8 0
2
По т. Виета:
t1 t2 8, t1 t2 2
t1 4
- Не удовлетворяет условию
t2 2
x
2 2
х 1
Ответ: 1
26. Деление на показательную функцию
а) 2 5 |: 5х
х
х
2
1
5
х
2 2
5 5
х 0
Ответ: 0
0
x
27. Деление на показательную функцию
3 25 х 8 15 х 5 9 х 0 : 9 х3 52 х 8 5 x 3 x
5 0
2х
2x
3
3
2x
x
5
5
3 8 5 0
3
3
5
t
3
х
(t 0)
3t 8t 5 0
2
D 64 4 3 5 4 2 2
8 2 10 5
t1
;
6
6 3
х
5
5
3
3
х 1
8 2
t2
1.
6
х
5
1
3
х
5 5
3 3
х 0
3t 8t 5 0
2
Ответ: 0; 1.
0