6.05M

Category: $mathematics$ mathematics

Показательные и логарифмические функции

1.

ОРГАНИЗАЦИЯ ОБОБЩАЮЩЕГО ПОВТОРЕНИЯ ТЕМЫ
«ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ»
(при использовании УМК «Лаборатория А.Г.Мордковича»)
Все права защищены. Никакая часть презентации не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, включая размещение в Интернете и в
корпоративных сетях, а также запись в память ЭВМ, для частного или публичного использования, без письменного разрешения владельца авторских прав. © АО «Издательство «Просвещение», 2021 г.

2.

Виды повторения
Вид повторения
Цель повторения
Вводное
Актуализация элементов ранее изученного содержания для
облегчения изучения нового материала.
Поддерживающее
В ходе работы над темой актуализация ранее изученного
материала этой же темы.
Систематизирующее
Укрупнение логической структуры изученного материала
путём объединения его элементов в группы по тем или иным
признакам, выявленным в ходе работы и выстраивание
системы взаимосвязи между этими группами.
Обобщающее
Выделение основных содержательных и функциональных
линий материала изученной темы, ключевых фактов,
алгоритмов и ценностных установок.
Итоговое
В завершении работы над темой (или определённого
временного периода) актуализация материала изученной (-ых)
темы.

3.

Общие идеи

4.

Авторы:
Мордкович А.Г., Семенов П.В.,
Александрова Л.А., Мардахаева Е.Л.
Алгебра, 7-9 классы
Математика – это язык, на котором
говорят все точные науки.
Н.И.Лобачевский
Класс
Алгебра и начала математического анализа, 10-11 классы
Функция
Реальные и физические процессы
7 класс
Линейная функция.
Равномерные процессы.
8 класс
Квадратичная функция. k
y x, y
Функции
x
Равноускоренные процессы.
9 класс
и
y x.
3
3
Функции y x и y x .
Обобщение изученного в основной школе, формализация некоторых определений и
понятий.
10 класс Тригонометрические функции.
Периодические
процессы,
гармонические колебания.
Степенные, показательные и логарифмические Процессы органического роста.
функции.
11 класс Элементы теории пределов, дифференциального
и интегрального исчисления; обобщение
изученного.
Мгновенная скорость, площадь и
объём, оптимальные значения
некоторых величин.

5.

Примерное планирование
10 класс
11 класс
Кол-во
часов
Глава 5. Показательные и логарифмические функции
(20 ч.)
41 Показательные функции.
2
42 Понятие касательной. Число е и
1
пп
43
44
45
46
47
48
49
50
51
Тема
функция y = ex.
Показательные уравнения.
Показательные неравенства.
Контрольная работа № 6.
Понятие логарифма.
Логарифмические функции.
Свойства логарифмов.
Десятичные логарифмы.
Логарифмические уравнения.
Логарифмические неравенства.
Переход к новому основанию
логарифма.
Контрольная работа № 7.
пп
Тема
Кол-во
часов
Глава 1. Элементы теории пределов
(10 ч.)
1
2
2
2
1
1
2
3
2
1
2
2
1
6
7
8
9
10
4
5
Предел числовой последовательности
Арифметические операции над пределами
числовых последовательностей.
Предел функции на бесконечности.
Предел функции в точке.
Приращение функции. Приращение аргумента.
Контрольная работа № 1.
2
2
2
2
1
1
Глава 2. Производная
(20 ч.)
1
Определение производной.
Алгоритм вычисления производной.
Дифференцируемые функции.
Уравнение касательной к графику функции.
Арифметические операции над производными
2
2
1
2
2
Контрольная работа № 2
1
Глава 6. Уравнения и неравенства
(23 ч.)
27
28
29
30
31
Равносильные и неравносильные уравнения.
Решение уравнений с одной переменной.
Решение систем уравнений.
Решение неравенств с одной переменной.
Задачи с параметром.
2
4
4
4
3

6.

Обобщающее повторение. 10 класс
№
Тема
Кол-во
часов
1 Тригонометрические функции.
1
2 Обратные тригонометрические функции. Решение тригонометрических
уравнений.
1
3 Формулы тригонометрии.
1
4 Степенные функции.
1
5 Показательные функции.
1
6 Логарифмические функции.
1

7.

Итоговое повторение. 11 класс
№
Тема
Кол-во
часов
1
Степень с натуральным, целым и действительным показателями.
1
2
Корень степени n > 1 и его свойства. Иррациональные уравнения.
1
3
Тождественные преобразования выражений. Выражения, содержащие
корни n–й степени. Формулы.
1
4
Преобразование тригонометрических выражений.
1
5
Тригонометрические функции.
1
6
Тригонометрические уравнения.
1
7
Логарифм и его свойства. Логарифмические уравнения.
1
8
Логарифмические уравнения и неравенства.
1
9
Показательные уравнения и неравенства.
1
10
Функции и их свойства. Графики функций. Касательная.
1
11
Применение производной к исследованию функций.
1
12
Использование вероятностей и статистики при решении прикладных задач.
1

8.

Повторение и систематизация
теоретического материала

9.

Структурирование теоретического материала
Подробные тексты ориентированы на самостоятельную работу
обучающихся с текстом.

10.

Структурирование теоретического материала
Схема определения понятия
Показательные уравнения:
1. уравнения
и
2. имеют вид a f x a g x
3. a 0
и
4. a 1
и

11.

Структурирование теоретического материала
Схема определения понятия
Логарифм числа b по основанию а:
1) b > 0
2) а > 0
3) a ≠ 1
4) a log a b b
и
и
и

12.

Структурирование теоретического материала
Схема определения понятия
Логарифмические уравнения:
1. уравнения
и
2. имеют вид log a f x log a g x
3. a 0
и
4. a 1
и

13.

Структурирование теоретического материала
Предписание по решению
показательных уравнений вида
k a
2 f x
m a
f x
b
f x
n b
2 f x
2f x
2f x
1. Разделим обе части уравнения на выражение b , b 0.
2 f x
2. Получим уравнение вида
a
a
k
m
b f x
b
f x
n 0.
a
3. Введём новую переменную z , z 0.
b
4. Получим уравнение вида kz 2 mz n 0.
5. Решим квадратное уравнение относительно переменной z.
4. Отберём корни, удовлетворяющие условию z > 0.
5. Вернёмся к прежней переменной и решим полученное показательное уравнение.
0

14.

Структурирование теоретического материала
Информационная схема
log a a 1
log a a c c
log a 1 0
a loga b b
log a bc log a b log a c
b
log a log a b log a c
c
log a b r r log a b
log c b
log a b
log c a
1
log a b
log b a
1
log ar b log a b
r
log a b log ar b r

15.

Применение теоретического
материала на практике

16.

Ориентация на результат. Повышение IT-компетенций.
Упражнения располагаются от простого
к высокому, трёх уровней сложности:
базового,
повышенного,
высокого.
Выделены задания, предназначенные для использования
IT-средств
Ко всем упражнениям, кроме базового
уровня, имеются ответы.
В конце каждого параграфа выделены
упражнения для повторения

17.

Построение индивидуальной образовательной траектории
В конце каждой главы предложен тест для
самопроверки и самоконтроля
В конце каждой главы есть раздел
«Дополнительные задачи»

18.

Уметь решать уравнения и неравенства
(базовый уровень)
Задание 5. КИМ DEMO

19.

Уметь решать уравнения и неравенства
(повышенный уровень)
Задание 9. КИМ DEMO

20.

Уметь решать уравнения и неравенства
(повышенный уровень)
Задание 12. КИМ DEMO

21.

Уметь решать уравнения и неравенства
(повышенный уровень)
Задание 15. КИМ DEMO

22.

Приём саморегуляции при выполнении задания «Решите уравнение»
Последовательность выполнения действий
1. Определите тип уравнения.
Рефлексия
и принятие решения о помощи
Знаю ли я типы уравнений?
2. Определите вид уравнения:
Знаю ли я виды уравнений?
если уравнение стандартное, то перейдите к п.3;
если уравнение нестандартное, то перейдите к п. 4.
3. Решите в соответствии со стандартом:
если решение выполнено, то перейдите к п.6;
если решение не выполнено, то перейдите к п. 1.
Знаю ли я, как решать уравнения
стандартного вида?
4. Выясните, какие преобразования необходимо
выполнить, чтобы свести уравнение к
стандартному виду, выполнив анализ правой и
левой части.
Знаю ли я группы
преобразований?
5. Выполните эти преобразования:
если они выполнены, то перейдите к п. 6;
если они не выполнены, то перейдите к п. 1.
До конца ли выполнено
определённое в предыдущем
пункте преобразование?
6. Сделайте проверку.
Знаю ли я, как делать проверку?
7. Запишите ответ.
Знаю ли я, как записать ответ?

23.

Пример задания типа «Решите уравнение»
Последовательность
выполнения действий
Рефлексия
и принятие решения о
помощи
Ответ
1. Определите тип уравнения.
Знаю ли я типы
уравнений?
Комбинированное уравнение с
одной переменной.
2. Определите вид уравнения:
если уравнение стандартное, то
перейдите к п.3;
если уравнение нестандартное, то
перейдите к п. 4.
Знаю ли я виды
уравнений?
Уравнение нестандартное.
4. Выясните, какие преобразования
необходимо выполнить, чтобы
свести уравнение к стандартному
виду, выполнив анализ правой и
левой части.
Знаю ли я группы
преобразований?
Найду ОДЗ.
Преобразую выражения в правой
и левой частях уравнения по
свойствам степеней и перенесу
слагаемое из правой в левую
часть уравнения.
100 2 x x 2 2 x 0,
x 0.

24.

Пример задания типа «Решите уравнение»
100 2 x x 2 2 x 0,
x 0.
Последовательность
выполнения действий
Рефлексия
и принятие решения о
помощи
Ответ
1. Определите тип уравнения.
Знаю ли я типы
уравнений?
Комбинированное уравнение с
одной переменной.
2. Определите вид уравнения:
если уравнение стандартное, то
перейдите к п.3;
если уравнение нестандартное, то
перейдите к п. 4.
Знаю ли я виды
уравнений?
Уравнение нестандартное.
4. Выясните, какие преобразования
необходимо выполнить, чтобы
свести уравнение к стандартному
виду, выполнив анализ правой и
левой части.
Знаю ли я группы
преобразований?
Вынесу общий множитель за
скобки, разложу выражение в
скобках на множители с
использованием формулы
разности квадратов.
100 x 2
2
x
0
10 x 10 x 2 x 0

25.

100 2 x x 2 2 x 0
100 x 2
2
x
0
10 x 10 x 2 x 0
Последовательность
выполнения действий
Рефлексия
и принятие решения о
помощи
Ответ
1. Определите тип уравнения.
Знаю ли я типы
уравнений?
Комбинированное уравнение с
одной переменной.
2. Определите вид уравнения:
если уравнение стандартное, то
перейдите к п.3;
если уравнение нестандартное, то
перейдите к п. 4.
Знаю ли я виды
уравнений?
Уравнение стандартное.
3. Решите в соответствии со
стандартом:
если решение выполнено, то
перейдите к п.6;
если решение не выполнено, то
перейдите к п. 1.
Знаю ли я, как
решать уравнения
стандартного вида?
В правой части уравнения
произведение. Применю
свойство равенства
произведения нулю.
10 x 0 или 10 x 0 или 2 x 0

26.

Запись в тетради (пример)
100 x 2 2 x 0,
10 x 10 x 2 x 0,
100 2 x x 2 2 x 0,
x 0
x 0
x 0
10 x 0,
x 10,
10 x 0,
x
x 10, x 10.
x 0
2 0,
x 0
Проверка
10 2
4
25 2
10 210
25 4096 100 1024
Ответ. 10.

27.

Решение
1-е неравенство системы x 5 1,
x 4,
1,
x
9
x 8,
x 8,
log x 5 9 x 0
5 x 4,
0 x 5 1,
5 x 4.
x 8
9 x 1
2-е неравенство системы
16
x 2 3 x 20
0, 25
2 x 2 6 x 200
4
2 x 2 3 x 20
4 1 2 x
2
6 x 200
2 x 2 3 x 20 1 2 x 2 6 x 200 4 x 2 12 x 160 0 x 2 3 x 40 0
5 x 8
x 8,
log x 5 9 x 0,
x 8,
5
x
4,
x2 3 x 20
5 x 4.
2 x 2 6 x 200
0, 25
5 x 8
16
Ответ. 5 x 4, x 8.
Другая форма записи ответа
5;
4
8 .

28.

Задание 15 (КИМ). Метод интервалов
Решите неравенство
x 2 log 343 x 3 log 7 x 2 6 x 9

29.

Задание 15 (КИМ). Метод интервалов
Решите неравенство
x 2 log 343 x 3 log 7 x 2 6 x 9
1
3
x log 7 x 3 log 7 x 3 0
2
2

30.

Задание 15 (КИМ). Метод интервалов
Решите неравенство
x 2 log 343 x 3 log 7 x 2 6 x 9
1
3
x log 7 x 3 log 7 x 3 0
2
2
1 2
x log 7 x 3 2 log 7 x 3 0
3

31.

Задание 15 (КИМ). Метод интервалов
Решите неравенство
x 2 log 343 x 3 log 7 x 2 6 x 9
1
3
x log 7 x 3 log 7 x 3 0
2
2
1 2
x log 7 x 3 2 log 7 x 3 0
3
1 2
x
2
log 7 x 3 0
3

32.

Задание 15 (КИМ). Метод интервалов
Решите неравенство
x 2 log 343 x 3 log 7 x 2 6 x 9
1
3
x log 7 x 3 log 7 x 3 0
2
2
1 2
x log 7 x 3 2 log 7 x 3 0
3
1 2
x
2
log 7 x 3 0
3
2
x 6 log 7 x 3 0

33.

34.

35.

Задание 15 (КИМ). Метод интервалов
Пример 1. Решите неравенство
x 2 log 343 x 3 log 7 x 2 6 x 9
1
3
x log 7 x 3 log 7 x 3 0
2
2
1 2
x log 7 x 3 2 log 7 x 3 0
3
1 2
x
2
log 7 x 3 0
3
2
x 6 log 7 x 3 0
2
Рассмотрим функцию f x x 6 log 7 x 3
D f 3;
Найдём нули
x
2
6 log 7 x 3 0

36.

Задание 15 (КИМ). Метод интервалов
Решите неравенство
x 2 log 343 x 3 log 7 x 2 6 x 9
1
3
x log 7 x 3 log 7 x 3 0
2
2
1 2
x log 7 x 3 2 log 7 x 3 0
3
1 2
x
2
log 7 x 3 0
3
2
x 6 log 7 x 3 0
2
Рассмотрим функцию f x x 6 log 7 x 3
D f 3;
Найдём нули
x
2
6 log 7 x 3 0
x 2 6 0 или
log 7 x 3 0

37.

38.

39.

40.

41.

Приём рационализации
Неравенства с модулем
f x g x
f x g x f x g x 0
Иррациональные неравенства
f x g x
f x g x 0
(на ОДЗ)
Показательные неравенства
a
f x
a
g x
a 1 f x g x 0
Логарифмические неравенства
log a f x log a g x
a 1 f x g x 0
(на ОДЗ)

42.

Задание 15 (КИМ). Приём рационализации
Решите неравенство
x 2 log 343 x 3 log 7 x 2 6 x 9

43.

Задание 15 (КИМ). Приём рационализации
Решите неравенство
x 2 log 343 x 3 log 7 x 2 6 x 9
log 7 x 3
1 2
x
3
log 7 x 3
2

44.

Задание 15 (КИМ). Приём рационализации
Решите неравенство
x 2 log 343 x 3 log 7 x 2 6 x 9
log 7 x 3
1 2
x
3
log 7 x 3
2
1 2
x
2
3
7
1
x
3
x
3
0,
x 3 0

45.

Задание 15 (КИМ). Приём рационализации
Решите неравенство
x 2 log 343 x 3 log 7 x 2 6 x 9
log 7 x 3
1 2
x
3
log 7 x 3
2
1 2
x
2
3
7
1
x
3
x
3
0,
x 3 0
1 2
x
3
1
x
2
0,
3
x 3

46.

Задание 15 (КИМ). Приём рационализации
Решите неравенство
x 2 log 343 x 3 log 7 x 2 6 x 9
log 7 x 3
1 2
x
3
log 7 x 3
2
1 2
x
2
3
7
1
x
3
x
3
0,
x 3 0
1 2
x
3
1
x
2
0,
3
x 3
x 2 x 6
x 3
x 6 0,

47.

Задание 15 (КИМ). Приём рационализации
Решите неравенство
x 2 log 343 x 3 log 7 x 2 6 x 9
log 7 x 3
1 2
x
3
log 7 x 3
Рассмотрим функцию
2
1 2
x
2
3
7
1
x
3
x
3
0,
x 3 0
1 2
x
3
1
x
2
0,
3
x 3
x 2 x 6
x 3
x 6 0,
f x x 2 x 6
x 6

48.

Задание 15 (КИМ). Приём рационализации
Решите неравенство
x 2 log 343 x 3 log 7 x 2 6 x 9
log 7 x 3
1 2
x
3
log 7 x 3
2
1 2
x
2
3
7
1
x
3
x
3
0,
x 3 0
1 2
x
3
1
x
2
0,
3
x 3
x 2 x 6
x 3
x 6 0,
Рассмотрим функцию
f x x 2 x 6
Найдём нули
x 2 x
6
x 6
x 6 0
x1 6; x2 6; x3 2

49.

50.

Задание 15 (КИМ). Приём рационализации
Решите неравенство
x 2 log 343 x 3 log 7 x 2 6 x 9
Рассмотрим функцию
log 7 x 3
1 2
x
3
log 7 x 3
2
1 2
x
2
3
7
1
x
3
x
3
0,
x 3 0
1 2
x
3
1
x
2
0,
3
x 3
x 2 x 6
x 3
x 6 0,
Ответ. x 3; 6 2; 6 .
f x x 2 x 6
Найдём нули
x 2 x
6
x 6
x 6 0
x1 6; x2 6; x3 2
Определим знак
3 6 2
Найдем пересечение
неравенств системы
3 6 2
6
решений
6

51.

УМК «Лаборатория А.Г. Мордковича»
Алгебра 7-9 классы. Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы

52.

профессор МГПУ, доктор педагогических наук, кандидат физико-математических наук,
научный руководитель Международного семинара преподавателей математики педвузов
(1987 г-н.в.);
имеет награды: Премия Президента РФ в области образования, заслуженный деятель науки
РФ, Отличник народного образования, Медаль К.Д.Ушинского.
профессор факультета математики НИУ ВШЭ, доктор физико-математических наук,
профессор, член Федеральной предметной группы по разработке КИМ для ЕГЭ по математике
(2001-2007 гг), разработчик заданий с развернутым ответом, автор более 20 учебнометодических пособий по подготовке учащихся к ЕГЭ и подготовке экспертов к проверке
работ учащихся;
имеет награды: Почётный работник высшего профессионального образования РФ; Почетная
грамота Министерства образования РФ.
учитель математики, методист ГБОУ Школы 1317 г. Москва, учитель высшей категории, член
предметной комиссии по проверке выполнения заданий с развернутым ответом экзаменационных
работ ЕГЭ по математике;
имеет награды: Отличник народного просвещения РФ.
заведующий лабораторией математики службы продвижения «Бином», кандидат педагогических
наук, доцент, председатель предметной комиссии ЕГЭ по математике Московской области (20062007 гг); член-корреспондент Международной академии научного педагогического образования
(МАНПО);
имеет награды: Грант Москвы в сфере образования; Почётная грамота Министерства образования
Московской области.

53.

Алгебра, 7-9-е классы
Алгебра и начала математического анализа, 10-11
классы
Включены в Федеральный перечень
Учебники
ЭФУ
Примерные рабочие программы
Методические пособия для учителя
Рабочие тетради
Контрольные работы
Самостоятельные и проверочные работы
Алгебраические практикумы

54.

Отличительные особенности
УМК «Лаборатория А.Г. Мордковича»
Курс построен на основе приоритетности функционально-графической
линии, математическое моделирование является идейным стержнем.
Учебник и задачник соединены в одну книгу.
Порядок тем соответствует ПООП, отражает психологические
особенности обучающихся.
Выстроена вероятностно-стохастическая линия в тесной взаимосвязи с
основным содержанием.
Каждая глава содержит разделы «Повторение», «Итак, в Главе…»,
«Вопросы», «Дополнительные задачи», «Из истории математики».
Трёхуровневая система заданий отражает требования ФГОС ОО,
итоговой аттестации. Добавлены задачи практического содержания,
высокого уровня сложности.
Включён материал, рекомендованный к изучению с использованием ITсредств.

55.

Авторский сайт https://elenamard.jimdo.com

56.

Математика, 5-6 классы
Авторы: Н.Б.Истомина,
О.П.Горина, Н.Б.Тихонова
Включены в Федеральный перечень
Учебники
Рабочие тетради
Тестовые задания
Методические пособия для учителя
Пособия для внеурочной деятельности:
«Наглядная геометрия», «Учимся решать
комбинаторные задачи»

57.

Методическая поддержка через сайт издательства http://www.lbz.ru

58.

Приказ № 766 от 23.12.2020
О внесении изменений в федеральный перечень учебников, допущенных к использованию при
реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального
общего, основного общего, среднего общего образования организациями, осуществляющими
образовательную деятельность, утверждённый приказом Министерства просвещения Российской
Федерации от 20.05.2020 г. № 254
1.1.2.4.1.11.1 Математика
1.1.2.4.1.11.2
1.1.2.4.1.3.1
1.1.2.4.1.3.2
Математика
1.1.2.4.2.13.1 Алгебра
1.1.2.4.2.13.2
1.1.2.4.2.13.3
1.1.2.4.2.11.1 Алгебра
1.1.2.4.2.11.2
1.1.2.4.2.11.3
Истомина Н.Б.,
Горина О.П.,
Тихонова Н.Б.
5 АО «Издательство
6 «Просвещение»
Петерсон Л.Г.,
Дорофеев Г.В.
5 ООО «БИНОМ.
6 Лаборатория знаний»; АО
«Издательство
«Просвещение»
7 ООО «БИНОМ.
8 Лаборатория знаний»; АО
9 «Издательство
«Просвещение»
7 ООО «БИНОМ.
8 Лаборатория знаний»; АО
9 «Издательство
«Просвещение»
7 ООО «БИНОМ.
8 Лаборатория знаний»; АО
9 «Издательство
«Просвещение»
10 АО «Издательство
11 «Просвещение»
Мордкович А.Г.,
Семенов П.В.,
Александрова Л.А.,
Мардахаева Е.Л.
Петерсон Л.Г.,
Агаханов Н.,Х.,
Петрович А.Ю. и др.
1.1.2.4.3.10.1 Геометрия
1.1.2.4.3.10.2
1.1.2.4.3.10.3
Смирнов В.А.,
Смирнова И.М.
1.1.3.4.1.25.1 Математика: алгебра и начала
1.1.3.4.1.25.2 математического анализа,
геометрия. Алгебра и начала
математического анализа
Мордкович А.Г.,
Семенов П.В.,
Александрова Л.А.,
Мардахаева Е.Л.
Конобеева Т.А.,
Бондаренко Р.А.,
Кожанова А.П.,
Павлова Л.А.
До 1 июля
2025 года
От 20 мая
2020 года
№ 254
От 20 мая
2020 года
№ 254
От 20 мая
2020 года
№ 254
От 20 мая
2020 года
№ 254
Польшакова О.Е.,
Еремченко И.А.,
Кожанова А.П.,
Кочагина М.Н.
До 28
июня
2025 года

59.

Спасибо за внимание!
Удачи в делах!
Адрес обратной связи:
[email protected]
Авторский сайт:
https://elenamard.jimdo.com/
Сайт издательства:
http://lbz.ru/
Мы готовы с диалогу!

60.

Компания №1 на рынке дистрибуции учебной литературы
• официальный представитель крупнейших издательств России;
• самый полный ассортимент учебно-методической литературы;
• большой опыт в выполнении муниципальных заказов;
• практика методического сопровождения.
Мы готовы к сотрудничеству со всеми заинтересованными сторонами
образовательного процесса.
ООО «Торговая компания «Абрис»
Сайт https://www.tdabris.ru/
Телефон +7 (495) 139-89-40, +7 (495) 981-10-39
e-mail: [email protected]

English Русский Rules