Логарифмическая функция

1.

Урок 47
1

2.

Леонард Эйлер
нем. Leonhard Euler
Дата рождения:
4 (15) апреля 1707
Место рождения:
Базель, Швейцария
Дата смерти:
7 (18) сентября 1783 (76 лет)
Место смерти:
Санкт-Петербург, Российская
империя
Научная сфера:
Математика, механика, физика,
астрономия
Современное определение показательной, логарифмической
и тригонометрических функций — заслуга Леонарда Эйлера,
так же как и их символика.
2

3.

Показательная функция y
Логарифмическая функция
a
x
Если точка (с;b)
принадлежит
показательной
функции, то
y
(c ; b)
b
y log a x
b a
c
Или, на «языке
логарифмов»
c log a b
(b ; c)
c
Что можно сказать
о точке (b;c)?
0
c
b
x
Вывод:
3

4.

График функции y log a x симметричен графику
x
функции y a относительно прямой y = x.
y
y a ,a 1
x
a
y log a x, a 1
1
01
a
x
4

5.

График функции y log a x симметричен графику
x
функции y a относительно прямой y = x.
y
y a ,0 a 1
x
1
0
y log a x,
1
0 a 1
x
5

6.

Постройте графики функций:
1 вариант
2 вариант
y log 2 x
y log 1 x
2
x
¼
½
1
2
4
8
y=
log2x
-2
-1
0
1
2
3
x
¼
½
1
2
4
8
y=
log1/2x
2
1
0
-1
-2
-3
6

7.

Проверка:
y
График
логарифмической
функции
называют
логарифмической
кривой.
y log 2 x
3
2
1
-1
-2
-3
0
1 2
4
y log 1 x
28
x
7

8.

График функции y = loga x.
y
3
2
1
-1
-2
0
1 2
4
y log a x
Опишите свойства
логарифмической
функции.
a 1
1 вариант:
при a > 1
x
0 a 1
2 вариант:
при 0 < a < 1
8
8

9.

Свойства функции у = loga x, a > 1.
у
y log a x
1) D(f) = (0, + ∞);
2) не является ни чётной,
ни нечётной;
0
х
3) возрастает на (0, + ∞);
4)не ограничена сверху, не ограничена снизу;
5)не имеет ни наибольшего, ни наименьшего
значений;
6) непрерывна;
7) E(f) = (- ∞, + ∞);
8) выпукла вверх.
9

10.

Свойства функции у = loga x, 0 < a < 1.
у
1) D(f) = (0, + ∞);
y log a x
2) не является ни чётной,
ни нечётной;
х
0
3) убывает на (0, + ∞);
4)не ограничена сверху, не ограничена снизу;
5)не имеет ни наибольшего, ни наименьшего
значений;
6) непрерывна;
7) E(f) = (- ∞, + ∞);
8) выпукла вниз.
10

11.

Основные свойства логарифмической
функции
№
a>1
0<a<1
1
D(f) = (0, + ∞)
2
не является ни чётной, ни нечётной;
3
возрастает на (0, + ∞)
убывает на (0, + ∞)
4
не ограничена сверху, не ограничена снизу
5
6
не имеет ни наибольшего, ни наименьшего
значений
непрерывна
7
E(f) = (- ∞, + ∞)
8
выпукла вверх
выпукла вниз
11

12.

Задание №1
Найдите наибольшее и наименьшее значения
функции на промежутке:
y lg x, x 1,1000
у
1
y log 1 x, x ,27
9
3
у
х
х
Функция возрастает,
значит: y = lg1 = 0
Функция убывает,
значит: y = -3
y = lg1000 = lg10³ = 3
y =2
наим.
наиб.
наим.
наиб.
12

13.

Задание №2
Решите уравнение и неравенства:
log 5 x 0
y
Ответ: х = 1
log 5 x 0
1
-1
Ответ: х > 1
0
1
x
log 5 x 0
Ответ: 0 < х < 1
13

14.

Самостоятельно:
Решите уравнение и неравенства:
log 2 x 0
log 2 x 0
5
log 2 x 0
5
5
Ответ: х = 1
Ответ: х > 1
Ответ: 0 < х < 1
у
у
у
х
х
х
14

15.

Задание №3
Постройте графики функций: y log 2 ( x 2) 3
y
Самостоятельно.
y log 2 ( x)
x=-2
1
Проверить!
x
01
y=-3
x
y 3 log 2
2
Проверить!
15

16.

Проверка:
y log 2 ( x)
y
y log 2 ( x)
y log 2 x
1
0 1
x
16

17.

Проверка:
x
y 3 log 2
2
y
y log 2 x
3
1
0
1 2
4
x
y 3 log
2
x
2
-3
y 3 log 2 x
17

18.

Блиц - опрос.
Отвечать только «да» или «нет»
Ось у является вертикальной асимптотой графика
логарифмической функции.
Графики показательной и логарифмической функций
симметричны относительно прямой у = х.
Область определения логарифмической функции – вся
числовая прямая, а область значений этой функции –
промежуток (0, + ∞).
Монотонность логарифмической функции зависит от
основания логарифма.
Не каждый график логарифмической функции проходит
через точку с координатами (1;0).
18

19.

Блиц - опрос.
Отвечать только «да» или «нет»
Логарифмическая кривая это та же экспонента, только
по - другому расположенная в координатной плоскости.
Выпуклость логарифмической функции не зависит от
основания логарифма.
Логарифмическая функция не является ни чётной, ни
нечётной.
Логарифмическая функция имеет наибольшее значение
и не имеет наименьшего значения при a >1 и наоборот
при 0 < a < 1.
Проверка: Да, да, нет, да, нет, да, нет, да, нет
19

20. Домашнее задание

• П.15
• № 18 (аб)
• № 19 (аб)
• № 38 (а)