Формулы тригонометрии

1.

Формулы тригонометрии

2.

Синус и косинус разности
аргументов
sin( x y ) sin x cos y cos x sin y
sin( x y ) sin x cos y cos x sin y
cos( x y ) cos x cos y sin x sin y
cos( x y ) cos x cos y sin x sin y

3.

Пример 1
Вычислить : sin 75
sin 75 sin( 30 45 )
sin 30 cos 45 cos 30 sin 45
1 2
3 2
2 2
2 2
2
6
4
4
2 6
4

4.

Пример 2
Вычислить : cos15
cos15 cos( 45 30 )
cos 45 cos 30 sin 45 sin 30
2 3
2 1
2 2
2 2
6
2
4
4
6 2
4

5.

Пример 3
Вычислить : sin 48 cos12 cos 48 sin 12
sin 48 cos12 cos 48 sin 12
3
sin( 48 12 ) sin 60
2

6.

Пример 4
Вычислить : cos(
3
y ), если
II
3
cos y , y
5 2
1
3
cos( y ) cos cos y sin sin y cos y
sin y
3
3
3
2
2
1
3
3 4
( )
3 4 3 3 4 3
22
5 2 2 5
10
10 10
sin у cos у 1
9
1
25
9
sin 2 у 1
25
sin 2 у
16
25
4
sin у
5
sin 2 у

7.

Тангенс суммы и разности
аргументов
tgx tgy
tg ( x y )
1 tgx tgy
tgx tgy
tg ( x y )
1 tgx tgy

8.

Котангенс суммы и разности
аргументов
ctgx ctgy 1
ctg ( x y )
ctgx ctgy
ctgx ctgy 1
ctg ( x y )
ctgx ctgy

9.

Пример 1
Вычислить : tg 75
tg
30
tg
45
tg 75 tg (30 45 )
1 tg30 tg 45
1 3
1
1
3
1 3
3 1 3 3 1 1 3
3
:
1
3 1
3
3
3
3 1
3 1
1
1
3
3

10.

Пример 2
II
3
Вычислить : tg ( x), если cos x , x
5 2
4
tgx
4
4
1
1 tgx
4
1
3 3 7
tg ( x)
: ( ) 7
4
1
1
tgx
4
3
3
1 tg tgx
1
3
3
4
sin 2 x cos 2 x 1
9
2
sin x
1
25
9
sin 2 x 1
sin x
4
3
4
25
tgx
: ( )
tg
16
sin x
25
4
sin x
5
2
1
cos x
5
5
3

11.

Формулы двойного аргумента
sin 2x 2 sin x cos x cos 2 x cos x sin x
2
2tg x
tg 2 x
1 tg 2 x
2
ctg x 1
ctg 2 x
2ctgx
2

12.

Пример 1
Доказать тождество : 1 sin 2 x (cos x sin x) 2
1 sin 2 x
sin 2 x cos 2 x 2 sin x cos x
sin 2 x 2 sin x cos x cos 2 x (sin x cos x )2

13.

Пример 2
1
sin
2
x
дробь
:
Сократить
cos 2 x
2
2
sin
x
cos
x 2 sin x cos x
1 sin 2 x
2
2
cos 2 x
cos x sin x
(sin x cos x)
sin x cos x
(cos x sin x) (cos x sin x)
cos x sin x
2

14.

Пример 3
Вычислить : cos
cos
2
8
sin
2
2
8
sin
2
8
cos( 2 ) cos
8
8
4
2
2

15.

Пример 4
Зная, что сosx 3 , x 3 ;2 , вычислить cos 2 x :
5
2 IV
2
2
3
4
сos2x cos x sin x 9 16 7
25
25 25
5 5
sin 2 x cos 2 x 1
2
9
1
25
9
2
sin x 1
25
sin 2 x
16
25
4
sin x
5
sin
2
x
2

16.

Формулы понижения степени.
x 1 cos x
cos
2
2
x 1 cos x
sin
2
2
x 1 cos x
tg
2 1 cos x
x 1 cos x
ctg
2 1 cos x
2
2
2
2

17.

Пример 2
5
x
, x ; , вычислите cos
Зная, что cos x
13
2
2 II
5
1
8
8 1
4
x
1
cos
x
2
13
:2
cos
13
13 2
13
2
2
2
x
cos
2
4
13
x
cos 2
2
13

18.

Разложение суммы и разности на
множители
sin x sin y 2 sin x y cos x y
2
2
x y
x y
sin x sin y 2 sin
cos
2
2
x y
x y
cos x cos y 2 cos
cos
2
2
x y
x y
sin
cos x cos y 2 sin
2
2

19.

Формулы представления
произведения в виде суммы
cos( x y ) cos( x y )
sin x sin y
2
cos( x y ) cos( x y )
cos x cos y
2
sin( x y ) sin( x y )
sin x cos y
2