Занятие 45. Формулы двойного угла. Формулы половинного угла

1.

Математика
Занятие 45.
Формулы двойного угла.
Формулы половинного угла.

2.

Формулы двойного угла
Если в формулах сложения принять = , то получим:
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
sin 2 2 sin cos
Аналогично:
cos( ) cos cos sin sin
tg tg
tg ( )
1 tg tg
2tg
tg 2
1 tg 2
cos 2 cos 2 sin 2

3.

Формулы двойного угла
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos sin
2
sin 20 2 sin 10 cos10
sin 6 x 2 sin 3 x cos 3 x
2
sin
5
2 sin
5
cos
2tg10
tg 20
1 tg 210
2tg 3 x
tg 6 x
1 tg 2 3 x
5
2
tg 2
2tg
1 tg 2
cos 20 cos 2 10 sin 2 10
cos 6 x cos 2 3 x sin 2 3 x
2
2
2
cos
5
cos
2tg
2
5
tg
5 1 tg 2
5
1 tg 2 3 x
ctg 6 x
2tg 3 x
???
5
sin
5

4.

Формулы двойного угла
sin 2 2 sin cos
2
x
x
2 sin cos sin x
2
2
8
cos
8
sin
2
2tg
1 tg 2
3
cos 15 sin 15 cos 30
2
2 sin 25 cos 25 sin 50
2 sin
tg 2
cos 2 cos sin
2
2
cos 2 5 x sin 2 5 x cos10 x
2
2
sin
8
4
2
2
4
2 2
cos
sin
cos
9
9
9
2
2tg 35
tg 70
2
1 tg 35
2tg 0,3 x
tg 0,6 x
2
1 tg 0,3 x
1 tg 4 x
ctg 8 x
2tg 4 x
3
14 tg 6 tg 3
14
7
2 3
1 tg
14
2
???
2tg

5.

Формулы двойного угла
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos sin
2
2
tg 2
2tg
1 tg 2
1
1
1 1 1
sin 15 cos15 2 sin 15 cos 15 sin 30
2
2
2 2 4
sin 2 5 x cos 2 5 x cos10 x
2tg18
10tg18
5tg 36
5
2
2
1 tg 18
1 tg 18
cos 2 50 cos 2 40 cos 40 sin(90 40 ) sin 50
cos 2 50 sin 2 50 cos100 cos(90 10 ) sin 10
2
2
x
x
x
x
x
2
4 sin 2 cos 2 2 sin cos sin 2 sin x
2
2
2
2
2

6.

Формулы двойного угла
sin 2 2 sin cos
cos 2 cos sin
2
2
tg 2
2tg
1 tg 2
Упростить:
2
2
(sin cos ) 2 sin 2 sin 2 sin cos cos 2 sin cos
2
2
2
2
cos sin 2 sin
cos 2 2 sin
sin 2 cos 2
1
2
2
cos sin
10 sin 40 sin 50
sin 50 cos(90 40 ) cos 40
cos10
sin 80
2 sin 40 cos 40
sin 80 cos10
5
5
cos 10
cos10
5
cos10
5
cos10

7.

Формулы половинного угла
sin 2
2
1 cos
2
cos 2
2
1 cos
2
1 cos
tg
2 1 cos
2
1 cos 2 x
sin x
2
cos 2 3 x
1 cos 6 x
2
x
x
2
tg 2
4 1 cos x
2
1 cos 20
sin 10
2
cos 2 40
1 cos 80
2
tg 2 32
2
2
4
1 cos
2 2
7
sin
7
2
cos 2
3
14
1 cos
2
3
7
1 cos
1 cos 64
1 cos 64
tg 2 0,2
1 cos 0,4
1 cos 0,4

8.

Формулы половинного угла
sin 2
2
1 cos
2
Вычислить:
cos 2
2
1 cos
2
2
2
2
1
1
cos
1
2
4
2
cos
8
2
2 2
2
1 cos
tg
2 1 cos
2
2 2
4
2 2
2
Упростить:
1 2 cos 6 x cos 2 6 x (1 cos 6 x) 2 1 cos 6 x
2
4
4
2
2
4
sin
3x
sin 3 x
2

9.

Справочные материалы
1
3
3
sin( ) sin
cos( ) cos
tg ( ) tg
sin
cos
tg
ctg
ctg ( ) ctg

10.

Шмельков Владимир Юрьевич
преподаватель математики
ГБПОУ ЗКНО
Москва, 2020г.