Формулы сложения Синус, косинус, тангенс суммы и разности аргументов

1. Формулы сложения

Синус, косинус, тангенс суммы и
разности аргументов

2. Формулы сложения

• Синус суммы
sin( x y ) sin x cos y cos x sin y
• Косинус суммы
cos( x y ) cos x cos y sin x sin y

3. Вывод формул

• Синус разности
sin( x y ) sin( x ( y )) sin x cos( y ) cos x sin( y )
sin x cos y cos x( sin y ) sin x cos y cos x sin y
• Косинус разности
cos( x y ) cos( x ( y )) cos x cos( y ) sin x sin( y )
cos x cos y sin x( sin y ) cos x cos y sin x sin y

4.

• Тангенс суммы
sin( x y ) sin x cos y cos x sin y (: cos x cos y, при
tg ( x y )
cos( x y ) cos x cos y sin x sin y cos x cos y 0)
sin x cos y cos x sin y
sin x sin y
tgx tgy
cos x cos y cos x cos y
cos x cos y
cos x cos y sin x sin y
sin x sin y 1 tgxtgy
1
cos x cos y cos x cos y
cos x cos y
• Тангенс разности
tgx tgy
tg ( x y )
1 tgxtgy

5. Примеры применения формул

1. Вычислить sin 750 и cos 750
Решение: воспользуемся тем, что 750 450 300
sin 750 sin( 450 300 ) sin 450 cos 300 cos 450 sin 300
2 3
2 1
6
2
6 2
2 2
2 2
4
4
4
cos 750 cos( 450 300 ) cos 450 cos 300 sin 450 sin 300
2 3
2 1
6
2
6 2
2 2
2 2
4
4
4
Ответ:
sin 750
6 2
6 2
, cos 750
4
4

6.

2. Доказать тождество sin( x) sin x
Решение: sin( x) sin cos x cos sin x
sin( x) sin x
0 cos x ( 1) sin x sin x
4
4
3. Вычислить: sin
cos cos
sin
15
15
15
15
Решение: «свернем» в синус суммы
данное выражение
4
4
4
sin
cos cos
sin
sin(
)
15
15
15
15
15 15
5
3
0
sin
sin sin 60
15
3
2

7. Упражнения

0
0
0
60
45
105
1. Представив
как сумму
вычислите: а) sin 1050 , б ) cos1050 , в)tg1050
2. Упростите выражение:
а) sin( ) sin cos
1
б ) sin( ) sin
3
2
в ) sin sin cos( )
tg 2,22 tg 0,92
г)
1 tg 2,22 tg 0,92
д) cos( ) cos cos
е) sin( ) sin( )
2
ж ) cos( )
4
2
tg (450 ) tg
з)
1 tg (450 )tg

8.

3. Докажите тождество:
а) sin( ) sin( ) cos( ) sin cos
б ) cos( ) sin( ) sin( ) cos cos
tg tg tg tg
2
в)
tg ( ) tg ( )
4. Найдите значение выражения:
а ) cos 107 cos 17 sin 107 sin 17
0
0
0
б ) sin 36 0 cos 24 0 cos 36 0 sin 24 0
в ) sin 5 x cos 3 x cos 5 x sin 3 x
г ) cos 7 x cos 4 x sin 7 x sin 4 x
0

9. Домашняя работа

0
0
0
1. Вычислите: sin 15 , cos15 , tg15
2. Упростите выражение:
5
3
5
3
cos
sin
sin
8
8
8
8
2
2
б ) sin
cos cos
sin
15
5
15
5
а ) cos
в ) cos
г ) sin
12
12
cos
cos
4
4
sin
cos
12
12
sin
sin
4
4

10. Домашняя Проверочная работа

Вариант 1
sin(
3
Вариант 2
1. Упростите
x)
cos(
3
x)
2. Найдите значение выражения
sin 630 cos 27 0 cos 630 sin 27 0
sin 77 0 cos17 0 cos 77 0 sin 17 0
cos1250 cos 50 sin 1250 sin 50
cos 510 cos 210 sin 510 sin 210
3. Вычислите tg ( 4 ) , если
1
tg
2
2
tg
3