Формулы сложения

1. Формулы сложения

2. Формулы сложения

cos cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
sin( a ) sin a cos cos a sin
sin( a ) sin a cos cos a sin
tg tg
tg ( )
1 tg tg
сtg сtg 1
ctg ( )
сtg сtg
tg tg
tg ( )
1 tg tg
сtg сtg 1
ctg ( )
сtg сtg

3. Доказательство формулы косинус суммы

y
M +β
M
M (cos ;sin )
M-β (cos (-β);sin (-β))
β
0
P(1;0)
M +β (cos ( +β);sin ( + β))
x
-β
M-β
∠РOMα+β = ∠M-βOMα
⇒ △РOMα+β = △M-βOMα
⇒ РMα+β = M-βMα
⇒ (РMα+β)2 = (M-βMα)2

4.

Р ( 1; 0 )
M-β (cos (-β);sin (-β))
M +β (cos ( +β);sin ( + β))
M (cos ;sin )
(РMα+β)2 = (M-βMα)2
⇒ (1 - cos(α+β))2 +(0-sin(α+β))2 = (cos(-β) - cos α)2 +
+ (sin(-β) - sin α)2
⇔ 1 - 2cos(α+β) + cos2(α+β) + sin2(α+β) = cos2 β - 2cos β cos α + cos2 α + sin2 β + 2sin β sin α + sin2 α
⇔ 2 - 2cos(α+β) = 2 - 2cos α cos β + 2sin α sin β
⇔ cos(α+β) = cos α cos β - sin α sin β
cos cos cos sin sin

5.

cos(α - β) = ?
cos(α - β) = cos(α + (-β)) = cos α cos(-β) - sin α sin(-β)=
= cos α cos β + sin α sin β
Докажем вспомогательные формулы:
cos(π/2 – α) = sin α
sin(π/2 – α) = cos α
cos(π/2 – α) = cos(π/2) cos α + sin(π/2) sin α = sin α
т.е. cos(π/2 – α) = sin α
При α = π/2 – β имеем:
cos(π/2 – (π/2 – β)) = cos(π/2 – π/2 + β) = cos β =
=sin(π/2 – β)
т.е. sin(π/2 – β) = cos β или sin(π/2 – α) = cos α

6.

sin(α + β) = cos (π/2 - (α + β)) = cos((π/2 - α) - β) =
= cos(π/2 - α) cos β + sin(π/2 - α) sin β =
= sin α cos β + cos α sin β
sin(α - β) = sin(α + (-β))= sin α cos(-β) + cos α sin(-β)=
= sin α cos β - cos α sin β
Таким образом,
sin( a ) sin a cos cos a sin
sin( a ) sin a cos cos a sin

7.

tg(α ± β) = sin(α ± β) / cos(α ± β) =
=(sin α cos β±cos α sin β)/(cos α cos β ∓
sin α sin β)=
= (tg α ± tg β) / (1 ∓ tg α tg β)
Аналогично
ctg(α ± β) = (ctg α ctg β ∓ 1) / (ctg β ± ctg α)

8.

Примеры
1) cos 750 cos 450 300 cos 450 cos 300 sin 450 sin 300
2 3
2 1
2 2
2 2
6 2
4
2) sin 210 0 sin( 180 0 30 0 ) sin 180 0 cos 30 0 cos 180 0 sin 30 0
0
3
1
1
( 1)
2
2
2
0
0
tg
180
tg
45
0 1
0
0
0
3) tg 225 tg 180 45
1
0
0
1 tg180 tg 45
1 0 1
0
0
сtg
90
сtg
45
1 0 1 1
0
0
0
4) ctg135 tg 90 45
1
0
0
сtg 90 сtg 45
0 1