Динамика вязкой жидкости

1. Динамика вязкой жидкости

Уравнение Навье-Стокса
u
p
(u )u F
u
t

2. Простейшие примеры течений вязкой жидкости

I. Движение жидкости между движущимися плоскостями
y
u0
h
ux=u(y,t)
x
Течение стационарно,
одномерно и зависит
только от y
u
p
(u )u F
u
t
0
Проекция уравнения Навье -Стокса на
ось х
2u
2 0
y
Проекция уравнения Навье-Стокса на
ось y
p
0
y
Уравнение непрерывности удовлетворяется тождественно ( проверить)

3.

I. Движение жидкости между движущимися плоскостями (продолжение)
Решение:
u ay b
p const
Граничные условия:
u=u0 при y=h
a=u0 /h
u=0 при y=0
b=0
y
u u0
h
Распределение
скоростей между
пластинами линейно
Сила трения, действующая на пластины
u0
u
yx ( y o) j
y y 0
h
y
u0
yx ( y h) ( j )
y y h
Суммарная сила на жидкость =0
u0
- yx
yx
x

4.

II. Движение жидкости между неподвижными плоскостями
Жидкость течет за счет силы градиента давления dp/dx
y
Течение стационарно и
одномерно, т.е. uy =0 ux=u(y,t)
h
ux=u(y,t)
x
0
Уравнение Навье Стокса на ось y :
u
p
(u )u F
u
t
p
0
y
2
u x 1 p
Уравнение Навье Стокса на ось x :
2
y
x
Это выполняется только если dp/dx= const !
p=p(x)
Левая часть ур.
зависит только
от y, а правая –
только от x

5.

II. Движение жидкости между неподвижными плоскостями (продолжение)
2u x 1 dp
const
2
y
dx
1 dp 2
ux
y ay b
2 dx
Граничные условия:
u x=0 при y=0, y=h
b=0
h dp
a
2 dx
Решение с учетом гран. условий
1 dp
ux
y ( y h)
2 dx
Средняя скорость
h
u xсред
1
h 2 dp
u x ( y)dy
h0
12 dx
Течение имеет параболический профиль
Сила, действующая на плоскость
u
h dp
yx ( y o)
y y 0 2 dx
Сила, действующая на плоскости не зависит от вязкости !?
Как это объяснить?

6.

III. Течение вязкой жидкости по трубе
p
z
x
2R
y
Проекция уравнения Н-С на ось y
Проекция уравнения Н-С на ось z
Проекция уравнения Н-С на ось x
2u x 2u x
p
2
2
y
z
l
Течение направлено и однородно
вдоль трубы – оси x u зависит лишь
от радиуса.
u x = u (r)
p
0
y
p
0
z
p
y , z u x
x
P не зависит от y
P не зависит от z
dp/dx=const=- p/l

7.

III а. Течение вязкой жидкости по трубе кругового сечения
В полярных координатах: r,
1
p
(r u x )
r r r
l
θ, x
p 2
ux
r a ln r b
4 l
Решение
Скорость конечна во всем сечении трубы, поэтому a=0
Гран. Условие при r=R
p 2 2
ux
R r
4 l
: ux=0
b
p 2
R
4 l
Расход жидкости – масса жидкости, протекающая в единицу времени
через сечение трубы
R
Q 2 ru (r )dr
0
p 4
R
8 l
Формула Пуазейля

8.

III б. Течение вязкой жидкости по трубе эллиптического сечения
Труба эллиптического сечения
z
y
Общее решение
y2 z2
2 1
2
a
b
2u x 2u x
dp
y , z u x ( 2 2 )
dx
y
z
u x Ay 2 Bz 2 C
Решение должно удовлетворять гран.
условию: u=0 на эллипсе, т.е.
p a 2b 2
y2 z2
ux
(1 2 2 )
2
2
2 l a b
a b
u x Ay 2 Bz 2 C 0
При b или a
переходим к случаю 2-х //
плоскостей

9.

Предельный переход от трубы эллиптического сечения к параллельным
плоскостям (b>>a)
y
y’
p a 2b 2
y2
p a 2b 2
y2
p 2
y2
ux
(1 2 )
(1 2 )
a (1 2 )
2
2
2
2 l a b
a
2 l b
a
2 l
a
h
h/2
ux=u(y,t)
0
Было решение для двух плоскостей
y y h/2
'
ux
1 dp
y ( y h)
2 dx
1 p h 2
y '2
ux
[1
]
2
2 l 4
(h / 2)

10. Уравнение Навье –Стокса с потенциальными силами

F U
u
p
(u )u F
u
t
1
(u )u (u 2 ) [u rot u ]
2
u
u2
p
( U ) [u rot u] u
t
2
dr
Стационарное течение жидкости
u2
p
( U ) [u rot u] u
2
u2
p
d ( U ) d r u
2
dr
u
Умножаем скалярно на
элемент линии тока, dr // u

11.

u2
p
d ( U ) d r u
2
Работа сил вязкости
Удельная механическая
энергия единицы массы
Т.о. изменение механической энергии жидкости вдоль линий тока
равно работе вязких сил dA – диссипируемая энергия
dAv d r u
1
2