Динамика жидкости

1.

МЕХАНИКА
ЖИДКОСТИ И ГАЗА

2.

V. Динамика
жидкости
2

3.

1. Уравнение неразрывности потока
(Материальный баланс потока)
v1
v2
Жидкость несжимаема и в ней невозможно образование пустот.
Это условие сплошности или неразрывности движения

4.

За промежуток времени t через поперечное
сечение площади S протечет масса жидкости
( - плотность жидкости в данном сечении, V объем протекшей жидкости, v - скорость жидкости в
данном сечении)
m= V= lF= v tF
если течение стационарно, то за одно и то же время через любое сечение
трубы должна протечь одна и та же масса воды - независимо от величины
сечения.
для двух произвольных сечений S1 и S2
если жидкость несжимаема, то 1 = 2
Следовательно
1 v1 t F1 = 2 v2 t F2
v1 F1 = v2 F2
Q1 Q2
скорость течения жидкости тем больше, чем уже поперечное
сечение трубки; (она обратно пропорциональна площади
поперечного сечения)
4

5.

Qi vi Fi const
Q vcp F const
уравнение неразрывности в
гидравлической форме для
элементарной струйки
несжимаемой жидкости при
установившемся движении.
Уравнение неразрывности в
гидравлической форме для
потока жидкости при
установившемся движении
Практическое применение уравнения неразрывности:
1.
2.
3.
4.
Определение средней скорости потока в любом сечении.
Определение геометрических сечений потока.
Расчёт объёмного расхода (объёмной производительности).
Расчёт массового расхода (массовой производительности).
5

6.

уравнение
неразрывности для
несжимаемой жидкости
в дифференциальной
форме
v x v y v z
0
x
y z
уравнение
неразрывности для
сжимаемой жидкости в
дифференциальной
форме
1 d v x v y v z
0
dt x
y
z
6

7.

2. Дифференциальные уравнения Эйлера для
движения идеальной жидкости
dv z
dt
dv x
dt
dv y
dt
Рассмотрим
произвольную
точку А в потоке
жидкости.
Давление в этой
точке обозначим
буквой P.
Выделим
вблизи нее
прямоугольный
объем жидкости
размерами
dx, dy, dz.

8.

разность давлений, действующих на противолежащие грани
Разность сил в проекциях на оси координат будет
8

9.

Кроме сил давления, на выделенный объём будут действовать
инерционные силы в общем случае определяемые
ускорениями ax, ay, az
Под действием этих сил рассматриваемый объём жидкости
движется с ускорением
dv / dt,
или в проекциях на оси координат:
dv x dv y dv z
,
,
dt dt dt
Тогда получим следующую систему
уравнений
9

10.

Дифференциальные
уравнения Эйлера для
движения идеальной жидкости.
(справедливы для движения без
внутреннего сопротивления и
описывают связь между силами
в жидкости и законами её
движения.)
Если уравнения Эйлера
для движущейся
жидкости дополнить
проекциями сил вязкого
трения на оси
координат, получатся
дифференциальные
уравнения движения
вязкой жидкости,
которые носят
название уравнения
Навье-Стокса:
P 1 dv x
x x dt
P 1 dv y
y
y
dt
P 1 dv z
z
z dt
1
dv x
d2vx d2vx d2vx
P 1
x
2
2
2
x
y
z
x
dt
dv
2
2
2
d
v
d
v
d
vy
P
1
y
y
y
y
2
2
2
x
dt
y
y
z
2
2
2
dv
P
1
d
v
d
v
d
vz
z
z
z
2
z
2
2
dt
z
y
z
x
10

11.

3. Уравнение Бернулли для идеальной
жидкости
Представим соответствующие проекции ускорений в уравнении
Эйлера следующим образом (на оси y и z аналогично):
dv x dx dv x
dv x dv 2x
vx
dt
dt dx
dx 2dx
Умножим уравнения Эйлера соответственно на dx, dy и dz.
dv 2y
P
P
P
dv 2x
dv 2z
dx
dy
dz Xdx Ydy Zdz
dx
dy
dz 0
x
y
z
2 dx
dy
dz
dv2x dv2y dv2z
dP
dv2
уравнение Эйлера в преобразованном виде:
dP Xdx Ydy Zdz
2
dv 0
2

12.

При движение струйки установившегося потока под действием одной массовой
силы – силы тяжести, т.е. при X = 0, Y = 0 и Z = -g уравнение имеет вид:
2
dP gdz dv 0
2
После преобразований получим:
P
v2
z
H const
g
2g
уравнение Бернулли
для идеальной
жидкости
выражает закон сохранения энергии
движущейся жидкости: сумма потенциальной и
кинетической энергии есть величина постоянная.
12

13.

Схема к выводу уравнения Бернулли для идеальной жидкости
13

14.

статический, или пьезометрический напор, равный давлению
столба жидкости над рассматриваемым уровнем, относительно
точки отсчёта, выражает удельную потенциальную энергию
давления в этой точке
нивелирная высота, или геометрический напор, который равен
высоте расположения данного сечения над плоскостью сравнения.
Выражает удельную потенциальную энергию положения точки
v2
2g
скоростной (динамический) напор, который выражает удельную
кинетическую энергию в данной точке

15.

Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости
различные струйки в
одном сечении имеют
различные значения
кинетической энергии
Отношении действительной
кинетической энергии потока к
кинетической энергии определяемой
по средней скорости , называется
коэффициентом кинетической
энергии или коэффициентом
Кориолиса α
Чем больше неравномерность скоростей, тем больше α.
Для ламинарного режима α = 2, для турбулентного
15
α = 1,1-1,2 (на практике принимается 1).

16.

При движении реальной жидкости
P1
v12 P2
v 22
z1
z2
hп
g
2g g
2g
hп - выражает потери напора на преодоление всех
гидравлических сопротивлений
Для движения реальной жидкости сумма статического и
динамического напоров, нивелирной высоты и
потерянного напора остаётся величиной постоянной и
равна полному гидродинамическому напору Н.
16

17.

Схема к выводу уравнения Бернулли для реальной жидкости
17

18.

4. Режимы течения жидкостей
В поток поместим трубки, в которых под напором находится подкрашенная жидкость.
Цветная жидкость будет показывать эпюру скоростей по сечению
потока. Картина будет оставаться постоянной, а движение жидкости
будет слоистым, плавным, все струйки тока будут параллельны между
собой. Такое движение носит название ламинарное (от латинского
слова lamina - слой).
18

19.

Если увеличить скорость основного потока до величины V2,
эпюры скоростей как бы вытянутся, а характер движения
останется прежним, ламинарным.
19

20.

При дальнейшем увеличении скорости наступит такой момент, когда характер
движения жидкости радикально изменится
Течение потока становится
неспокойным, с постоянным
вихреобразованием.
Эпюра скоростей приблизится к
прямоугольной форме а значения скоростей
в разных сечениях станут практически равны
средней скорости движения жидкости
Такое течение жидкости называется турбулентным (от латинского слова
turbulentus - возмущѐнный, беспорядочный).

21.

Переход от одного режима движения к другому будет происходить примерно
при одной и той же скорости, которую называют критической скоростью и
обозначают Vкр.
Она прямо пропорционально ν и обратно пропорционально диаметру
трубопровода d
Эта величина называется
критическим числом
Рейнольдса
Reкр=2300 (для круглых труб в технических системах)
Re < 2300 – устойчивый ламинарный режим
2300 < Re < 10000 – неустойчиво турбулентный режим
Re > 10000 – устойчиво турбулентный режим
силы инерции
Re
силы вязкости
Физический
смысл числа
Рейнольдса

22.

5. Гидравлические сопротивления в жидкости
При движении возникают сопротивления, на преодоление которых
затрачивается часть энергии потока.
Эту потерянную энергию называют гидравлическими потерями
удельной энергии или потерями напора.
Потери энергии прямо пропорциональны квадрату
скорости течения жидкости, поэтому в гидравлике принято
выражать потерянную энергию в долях от кинетической
энергии, отнесённой к единице веса жидкости
2
формула
Дарси–Вейсбаха:
v
h
2g

23.

Потери напора h12 на преодоление
сопротивлений движению жидкости.
Линейные
сопротивления
hл
(или потери
на трение hтр)
Местные
сопротивления
hм
23

24.

I. Гидравлические потери по длине
геометрическая форма и размеры потока
потери
связаны с
преодолением сил
трения в
потоке и о
твёрдые
стенки и
зависят от
ряда факторов
шероховатость твёрдых стенок потока
скорость течения и вязкость жидкости
режим движения жидкости
эксплуатационные свойства жидкости
24

25.

Возникают в прямых трубах с постоянным сечением при
равномерном течении, обусловлены внутренним трением в
жидкости
Вспомним формулу Дарси-Вейсбаха:
v2
h
2g
потери напора по длине выражаются
формулой Дарси
где λ – коэффициент гидравлического трения
25

26.

Ламинарное течение жидкости
26

27.

Максимальное значение скорости достигается в
центре потока при r = 0 и составляет
v max
Средняя скорость в таком потоке будет
v
Зависимость потерь энергии от параметров
движения жидкости называется законом
сопротивления потоку или законом Пуазейля
Приравняем правые части формулы Дарси и закона
Пуазейля
После преобразований получим
h тр
h тр g
4 l
h тр g
8 l
r02
r02
128 lQ
d 4 g
l v 2 128 lQ
h тр
d 2g
d 4 g
64
Re

28.

Турбулентное течение жидкости
Потери энергии (потери напора на трение) при турбулентном течении
жидкости больше, чем при ламинарном, из-за значительных потерь на
вихреобразование, перемешивание и изменение траекторий. Коэффициент
гидравлического трения зависит не только от числа Re, но и от
шероховатости трубы ∆
турбулентный поток, как правило, не
соприкасается со стенками трубы, а
занимает только центральную часть
(турбулентное ядро).
Между стенками трубы и турбулентным
потоком существует тонкий слой
жидкости, течение в котором является
ламинарным (ламинарный подслой).
28

29.

Ламинарный
подслой
Турбулентное
ядро
Турбулентное
ядро
Турбулентное
ядро
В зависимости от степени влияния Re и ∆, турбулентный режим можно
разбить на три области
Область гладкого
сопротивления, в
которой
Область смешанного
сопротивления, в
которой
Область шероховатого
сопротивления, в
которой
λ = f(Re)
λ = f (∆ и Re)
λ = f (∆)
29

30.

Зоны сопротивления
Граничные условия
1. Ламинарный режим течения
2. Область гладкого
сопротивления
δл > Δ
3. Область смешанного
сопротивления
56
δл < Δ
4. Область шероховатого
(квадратичного)
сопротивления
Толщину ламинарного
подслоя можно определить
по формуле
Re 2300
2300 Re 56
68,4 r
л 0,875
Re
d
d
d
Re 500
d
Re 500
Расчетные
формулы по
определению λ
64
Re
Формула Блазиуса
0,316
4
Re
Формула Альтшуля
68
0,11
Re
d
0,11
d
0 , 25
0 , 25

31.

Технически гладкие трубы - шероховатость внутренних поверхностей
настолько мала, что практически не влияет на потери энергии на трение
цельнотянутые трубы из цветных металлов,
трубы из алюминиевых сплавов,
стальные высококачественные бесшовные трубы,
новые высококачественные чугунные трубы,
новые не оцинкованные трубы
решающее значение имеет не абсолютная высота неровностей
(абсолютная шероховатость) k, а отношение высоты этих неровностей к
радиусу трубы r0. Эта величина обозначается k / r0 и называется
относительной шероховатостью.
31

32.

32
График Никурадзе

33.

Выводы из графика Никурадзе
При ламинарном течении шероховатость практически не влияет на
сопротивление. Эксперимент практически полностью подтверждает с
теоретические формулы.
Критическое число Re от шероховатости не зависит (штриховые кривые
отклоняются от прямой A в одной точке).
В области турбулентных течений при небольших числах Re и малой
шероховатости сопротивление от шероховатости не зависит (штриховая
линия совпадает с прямой B), а с увеличением Re сопротивление
возрастает.
При больших значениях чисел Re λТ перестаёт зависеть от Re и
становится постоянным для определённой относительной
шероховатости.
33

34.

II. Местные гидравлические потери
Местными гидравлическими сопротивлениями
называются любые участки гидравлической
системы, где имеются
повороты,
преграды на пути потока рабочей
жидкости,
расширения или сужения, вызывающие
•внезапное изменение формы потока,
•скорости или
•направления ее движения.
В этих местах интенсивно теряется напор.
34

35.

Потери напора на местных сопротивлениях Δhм
определяются по формуле Вейсбаха
(ξм - коэффициент местного сопротивления)
Коэффициент местного
сопротивления зависит
от конкретных
геометрических размеров
местного сопротивления
его формы
Его физический смысл состоит в
том, что он показывает долю
скоростного напора,
затрачиваемого на преодоление
данного сопротивления.
В формулу Вейсбаха подставляют
среднюю скорость за препятствием
V2 и в справочниках приводят
коэффициент местных
сопротивлений применительно к
этому скоростному напору 35

36.

Виды местных сопротивлений
1. Внезапное расширение. Теорема Борда – Карно
Если принять ряд допущений, то
теоретически можно доказать, что
потери напора при резком расширении
можно определить по формуле:
– формула Борда
Эту формулу можно привести к другому виду:
Если принять
коэффициент местного сопротивления при
резком расширении, то формула Борда
принимает следующий вид:
36

37.

2. Внезапное сужение потока
При внезапном сужении потока также
образуются водоворотные зоны в
результате отрыва от стенок основного
потока, но они значительно меньше,
чем при резком расширении трубы,
поэтому и потери напора значительно
меньше.
Коэффициент местного сопротивления
на внезапное сужение потока можно
определить по формуле
3. Постепенное сужение (конфузор)
Величина сопротивления конфузора будет зависеть от угла конусности
конфузора θ. Коэффициент сопротивления можно определить по формуле
Приводится в справочниках.

38.

4. Постепенное расширение потока
Потерю напора в диффузоре можно
условно рассматривать как сумму
потерь на трение и расширение. При
небольших углах α возрастают потери
по длине, а сопротивление на
расширение становится минимальным.
При больших углах α наоборот
возрастает сопротивление на
расширение.
Коэффициент сопротивления диффузора
можно определить по следующей формуле
где k–коэффициент смягчения, который зависит от угла α, и его значения приводятся в
справочниках

39.

5. Поворот трубы (колено)
Величина коэффициента местного
сопротивления зависит от
угла поворота θ,
радиуса поворота R,
формы поперечного сечения
и приводится в справочниках.
Для круглого сечения трубы при θ = 90º
коэффициент сопротивления можно
определить по формуле:
39

40.

6. Другие виды местных сопротивлений
Для ориентировочных расчетов можно пользоваться
следующими коэффициентами местного
сопротивления:
задвижка при полном открытии – 0,15;
вход в трубу при острых кромках – 0,5;
вентиль с косым затвором при полном открытии – 3;
симметричный тройник – 1,5.
40

41.

Кавитация
На участках многих местных сопротивлений скорости потока резко
возрастают, в результате чего давление уменьшается. Если давление
становится ниже давления насыщенных паров жидкости, возникает
кавитация.
Источником кавитации являются пузырьки газа и пара, которые
выделяются в сечении с пониженным давлением. Попадая в
сечение с нормальным давлением, пузырьки мгновенно исчезают
под действием повышенного давления. В месте исчезновения
пузырьков давление резко увеличивается, повышается температура
Кавитация неблагоприятно отражается на работе
оборудования, т.к. возникает
вибрация,
шум,
эрозия металла.
41

42.

Кавитационные свойства местных сопротивлений оцениваются по
критическому значению числа кавитации:
где
– давление насыщенных паров жидкости
Предельно допустимая скорость в трубопроводе перед местным
сопротивлением определяют по формуле
Необходимо выполнение условия
42