Теория поверхностей. Касательная плоскость поверхности. Нормаль

1. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Касательная плоскость
поверхности. Нормаль

2. Касательная плоскость поверхности. Нормаль

Рассмотрим линию на
поверхности, проходящую
P
через точку Р:
u u (t )
v v(t )
r r (u (t ), v(t )) - уравнение линии на поверхности.
r ru u rv v
Определение: все касательные векторы ко всем кривым,
проходящие через точку Р, лежащим на
поверхности, лежащие в плоскости векторов
ru , rv . Эта плоскость называется
касательной плоскостью.

3. Касательная плоскость поверхности. Нормаль

{ , , } - радиус-вектор точек на касательной плоскости,
r , ru , rv - компланарные вектора, следовательно, ( r ) ru rv 0 :
x y z
xu
xv
yu
yv
zu
zv
0
(6)
(6) – уравнение касательной плоскости поверхности.
Определение: нормалью к поверхности называется прямая,
перпендикулярная касательной плоскости,
проходящая через точку касания.

4. Касательная плоскость поверхности. Нормаль

N [ru , rv ] параллелен нормали,
y
z u xu z u xu y u
N u
;
;
.
y v z v xv z v xv y v
{ , , } - радиус-вектор точек нормали.
r || N , тогда исходя из пропорциональности координат можно
записать:
x y z
(7)
Nx
(7) - уравнение нормали.
Ny
Nz