Плоскость как поверхность первого порядка. Уравнения плоскости и их исследование. Лекция 2

1.

Лекция 2. Плоскость как поверхность первого
порядка. Уравнения плоскости и их
исследование. Прямая в пространстве, взаимное
расположение прямых в пространстве,
плоскости и прямой в пространстве. Прямая на
плоскости, уравнения прямой на плоскости,
расстояние от точки до прямой на плоскости.
Кривые второго порядка; вывод канонических
уравнений, исследование уравнений и
построение кривых. Поверхности II порядка,
исследование канонических уравнений
поверхностей. Метод сечений.
1

2.

Элементы аналитической геометрии
§ 1. Плоскость.
Имеем OXYZ и некоторую
поверхность S
F(x,y,z) = 0
z
x
(S)
О
y
Определение 1: уравнение с тремя переменными
называется уравнением поверхности S в
пространстве, если этому уравнению
удовлетворяют координаты каждой точки,
лежащей на поверхности и не удовлетворяют
координаты ни одной точки не лежащей на ней.
2

3.

Пример.
Уравнение (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 (R > 0)
определяем сферу с центром в точке C(a,b,c) и
радиусом R.
M(x,y,z) – переменная
точка M ϵ (S) |CM| = R
M
C
x a y b z c
2
2
2
2
x a y b z c R
R
2
2
2
3

4.

Определение 2: Поверхность S называется
поверхностью n-того порядка, если в некоторой
декартовой системе координат она задается
алгебраическим уравнением n-той степени
F(x,y,z) = 0 (1)
В примере (S) - окружность, поверхность второго
порядка.
Если S - поверхность n-того порядка, то
F(x,y,z) - многочлен n-той степени относительно
(x,y,z)
Рассмотрим единственную поверхность 1-го
порядка – плоскость.
Составим уравнение плоскости проходящей
через
точку M0(x0,y0,z0), с вектором нормали n A, B, C
4

5.

Пусть M(x,y,z) - это
произвольная (текущая) точка
плоскости.
M
M0
О
α
n
M n M 0 M , T .e.
n M 0M 0
или в координатной форме:
M 0 M x x0 , y y0 , z z0
A x x0 B y y0 C z z0 0 (2)
Уравнение (2) - уравнение плоскости проходящей
через точку М с данным вектором нормали n
.
5

6.

Ax By Cz Ax0 By0 Cz 0 0
D
D Ax0 By0 Cz 0 (*)
Ax By Cz D 0 (3) - полное уравнение
плоскости
Неполное уравнение плоскости.
Если в уравнении (3) несколько коэффициентов
(но не A,B,C одновременно) = 0, то уравнение
называется неполным и плоскость α имеет
особенности в расположении.
Например если D = 0, то α проходит через начало
координат.
6

7.

Расстояние от точки М1 до плоскости α
М1(x1,y1,z1)
α: Ax By Cz D 0
n
D Ax0 By0 Cz0
M 0 x0 y0 z0
M1
d
α
M0
K
from (3) n A, B, C
приложим n к точке M0
d npn M 0 M 1
npn M 0 M 1
n M 0 M1
n
7

8.

n M 0 M1 A x1 x0 B y1 y0 C z1 z0
Ax1 By1 Cz1 Ax0 By0 Cz0 Ax1 By1 Cz1 D
d
Ax1 By1 Cz1 D - расстояние от точки M
A B C
2
2
1
2
до плоскости α
Уравнение плоскости «в отрезках»
Составим уравнение плоскости отсекающей на
координатных осях ненулевые отрезки с
C(0,0,c)
величинами
a,b,c a 0, b 0, c 0 .
В качестве nвозьмем n AB, AC
B(0,b,0)
Составим уравнение для т. A с n
AB ( a, b,0), AC ( a,0, c)
n
A(a,0,0)
8

9.

i
j
k
a
0
c
AB AC a b 0 ibc jac kab
n (bc, ac, ab)
bc( x a ) ac( y 0) ab( z 0) 0 -уравнение
плоскости,
bcx acy abz abc
проходящей
x y z
через точку А,
1 -уравнение
a b c
перпендиплоскости α
кулярно
"в отрезках"
вектору
нормали n
9

10.

§2. Общее уравнение прямой.
Прямую в пространстве можно задать
пересечением 2-х плоскостей.
1 2 h
1 : A1x B1 y C1z D1 0 (1) уравнение
прямой
2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
Система вида (1) определяет прямую в
пространстве, если коэффициенты A1,B1,C1
одновременно непропорциональны A2,B2,C2.
10

11.

M 0 ( x0 , y0 , z0 )
Параметрические
и канонические s (m, n, p)
M ( x, y, z ) -произвольная точка прямой
уравнения
прямой
точка M M 0 M s
M
t R
M 0 M st
( 2)
M 0 M x x0 , y y0 , z z0
st (mt, nt, pt )
M0
Параметрическое уравнение
s
x x0 mt
y y0 nt
z z pt
0
t ;
x x0 mt
y y0 nt (3),
z z pt
0
t - параметр
11

12.

Исключив t получим:
x x0 y y0 z z0
m
n
p
(4) - каноническое
уравнение
Система (3) определяет движение материальной
точки, прямолинейное и равномерное из
начального положения M0(x0,y0,z0) со скоростью
V m n p
в направлении вектора s.
2
2
2
12

13.

Расстояние от точки до прямой
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
s (m, n, p )
H
s
s
M M s -расстояние от точки M
0
1
1
s
до прямой α
13

14.

Угол между прямыми в пространстве.
Условия параллельности и
перпендикулярности.
Пусть в пространстве две прямые L1, L2
заданы своими каноническими уравнениями:
x-x1 y y1 z z1
,
l1
m1
n1
x-x2 y y2 z z2
l2
m2
n2
Тогда задача определения угла между этими
прямыми сводится к определению угла
между

15.

их направляющими векторами:
q1 (l1; m1; n1 ), q2 (l2 ; m2 ; n2 )
Пользуясь определением скалярного
произведения q1q2 q1 q2 cos
и
выражением в координатах указанного
скалярного произведения и длин векторов q1 и
q2, получим для нахождения
cos
l1l2 m1m2 n1n2
l12 m12 n12
q1q2
l22 m22 n22 q1 q2
15

16.

Условие параллельности прямых l1 и l2
соответствует коллинеарности
q1 и q2,
заключается в пропорциональности координат
этих векторов, т.е. имеет вид:
l1 m1 n1
l2 m2 n2
Условие перпендикулярности следует из
определения скалярного произведения и его
равенства нулю (при cos = 0) и имеет вид:
l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0.
16

17.

Угол между прямой и плоскостью: условия
параллельности и перпендикулярности
прямой и плоскости
Рассмотрим плоскость П, заданную общим
уравнением: Ах + By + Cz + D = 0, и прямую
L, заданную каноническим уравнением:
x x1 y y1 z z1
l
m
n
17

18.

Т.к. угол между прямой L и плоскостью
П является дополнительным к углу
между направляющим вектором прямой
q = (l, m, n) и нормальным вектором
плоскости n = (А, В, С), то из
определения скалярного произведения
q n = q n cos и равенства cos = sin
( = 90 - ), получим:
nq
sin
nq
Al Bm Cn
A B C
2
2
2
l m n
2
2
2
18

19.

Условие параллельности прямой L и
плоскости
П
(включающее
в
себя
принадлежность L к П ) эквивалентно условию
перпендикулярности векторов q
и n
и
выражается = 0 скалярного произведения этих
векторов: q n = 0:
Аl + Bm + Cn = 0.
Условие перпендикулярности прямой L и
плоскости
П
эквивалентно
условию
параллельности векторов n и q и выражается
пропорциональностью
координат
этих
векторов:
A B C
l
m
n
19

20.

Условия принадлежности двух прямых к
одной плоскости
Две прямые в пространстве L1 и L2 могут:
1) пересекаться; 2) быть параллельными;
3) скрещиваться.
В первых двух случаях прямые L1 и L2
лежат в одной плоскости.
Установим условие принадлежности к
одной плоскости двух прямых, заданных
каноническими уравнениями:
20

21.

x-x1 y y1 z z1
,
l1
m1
n1
x-x2 y y2 z z2
l2
m2
n2
Очевидно, что для принадлежности двух
указанных прямых к одной плоскости
необходимо и достаточно, чтобы три
вектора M1M 2 = (х2 - х1, у2 - у1, z2 - z1);
q1 = (l1,m1,n1) и q2 = (l2,m2,n2), были
компланарны, для чего в свою очередь
необходимо и достаточно, чтобы смешанное
произведение указанных трех векторов = 0.
21

22.

Записывая
смешанные
произведения
указанных векторов в координатах получаем
необходимое
и
достаточное
условие
принадлежности двух прямых L1 и L2 к
одной плоскости:
x2 x1
y2 y1
z2 z1
l1
m1
n1
l2
m2
n2
0
22

23.

Условие принадлежности прямой к
плоскости
Пусть есть прямая
x-x1 y y1 z z1
l
m
n
и плоскость Ах + Ву + Сz + D = 0.
Эти условия имеют вид:
Ах1 + Ву1 + Сz1 + D = 0 и Аl + Вm + Сn = 0,
первое из которых означает, что точка
М1(х1,у1,z1), через которую проходит прямая,
принадлежит плоскости, а второе – условие
параллельности прямой и плоскости.
23

24.

Кривые второго порядка.
§ 1. Понятие об уравнении линии на плоскости.
Уравнение f (x,y) = 0 называется уравнением
линии L в выбранной системе координат, если
ему удовлетворяют координаты любой точки,
лежащей на линии, и не удовлетворяют
координаты ни одной точки, не лежащей на ней.
24

25.

Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R2 (R > 0) –
уравнение окружности радиуса R и центром в
точке С(a,b).
Если 1.) M x, y O
CM R
2.) M x, y O
CM R
25

26.

Линия L называется линией n-того порядка,
если в некоторой декартовой системе координат
она задается алгебраическим уравнением n-той
степени относительно x и y.
Мы знаем единственную линию 1-го порядка –
прямую: Ax + By + D = 0
Мы будем рассматривать кривые 2-го порядка:
эллипс, гиперболу, параболу.
Общее уравнение линий 2-ого порядка имеет
вид:
Ax2 + By2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0
26

27.

Эллипс (Э)
Определение. Эллипс – множество всех точек
плоскости, сумма расстояний которых до двух
фиксированных точек плоскости F1 и F2, называемых
фокусами, есть величина постоянная и большая
расстояния между фокусами.
Обозначим постоянную 2а, расстояние между фокусами
2с
Проведем ось Х через фокусы,
(а > с, а > 0, с > 0).
ось Y через середину
фокусного расстояния.
Пусть М – произвольная
точка эллипса,
т. М ϵ Э r1 + r2 = 2a (1),
где r1, r2 – фокальные
27
радиусы Э.

28.

Запишем (1) в координатной форме:
x c y x c y 2 2a
2
2
2
(2)
Это уравнение эллипса в выбранной системе координат.
Упрощая (2) получим :
x2 y2
2 1
2
a
b
3
b2 = a2 - c2
(3) – каноническое уравнение эллипса.
Можно показать, что (2) и (3) эквивалентны:
y b b y
2
2
2
2
y b
y b y b 2a
28

29.

Исследование формы эллипса по
каноническому уравнению
1) Эллипс – кривая 2-го порядка
2) Симметрия эллипса.
т.к. x и y входят в (3) лишь в четных степенях, то
эллипс имеет 2 оси и 1 центр симметрии, которые
в выбранной системе координат совпадают с
выбранными осями координат и точкой О.
y b( y b 2( y b) y b) 4a 2
y b(4 y 2b)
y 4by 2b 2 2b(2 y b) y
29

30.

3) Расположение эллипса
x2
y2
1 2 ;
2
a
b
x2 a2 ;
x a;
y b,
Т.е. весь Э расположен внутри прямоугольника,
стороны которого x = ± a и y = ± b.
4) Пересечение с осями.
A1(-a;0); A2(a;0);
С ОХ: x 2 y 2
2
2
2
a
b
y 0;
С ОУ:
2
1;
x2 y 2
2 1;
2
a
b
x 0;
x a
x a
y 2 b2
вершины эллипса
B1(0;b);
B2(0;-b);
y b
В силу симметрии эллипса рассмотрим его поведение
(↑↓) лишь в I четверти.
30

31.

Разрешив (3) относительно y получим:
y
b
a2 x2
a
y
2 x 0,
b
a 2 a2 x2
т.е.
в I четверти x > 0 и эллипс убывает.
Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая
четыре вершины.
План построения Э.
1) Строим прямоугольник со сторонами 2a, 2b
2) Вписываем выпуклую овальную линию
x b b xb b xb b a x b a x b
2
2
y b 2
a x
a
a a a a a
2 2
2
2
2
31

32.

Построение эллипса
32

33.

Гипербола (Г)
Определение : Г – множество всех точек плоскости,
модуль разности расстояний которых до 2-х
фиксированных точек плоскости F1 , F2 есть величина
постоянная и < этого расстояния.
2а, |F1F2| = 2c
Выберем систему
координат .
точка М ϵ Г |r1 - r2|=2a
r1 - r2 = ± 2а
В координатной форме:
x c 2 y 2 x c 2 y 2 2a
(1)
(1) – уравнение Г в выбранной системе координат
33

34.

2
2
x
y
Упрощая (1):
2 1
2
a
b
2
b2 c2 a 2
(2) – каноническое уравнение Г.
(1) и (2) – эквивалентны.
Исследование гиперболы по каноническому
уравнению
1) Г- линия 2-го порядка
2) Г имеет две оси и один центр симметрии, которые в
нашем случае совпадают с координатными осями и
началом координат.
3) Расположение
гиперболы.
2
2
x
y
1
2
a2
b
1
x2 a2
x a
34

35.

Гипербола расположена вне полосы между прямыми
x = a, x = -a.
4) Точки пересечения с осями.
OX: x 2 y 2
2
a
b
y 0;
OY:
2
1;
x a
x2 y 2
2 1;
2
a
b
x 0; не имеет решений
A1(-a;0); A2(a;0) – действительные вершины Г
B1(0;b); B2(0;-b) – мнимые вершины Г
2a – действительная ось Г
2b – мнимая ось Г
35

36.

5) Асимптоты гиперболы.
В силу симметрии Г рассмотрим ее часть в I четверти .
Разрешив (2) относительно y, получим:
b 2
уравнение Г в I четверти x ≥ 0
y
x a2
a
Рассмотрим прямую:
y
b
x
a
b
b
x
т.к. в I четверти x>0, то a
a
x 2 a 2 т.е. в I четверти
при одной и той же абсциссе, ордината прямой >
ординаты соответствующей точки Г, т.е. в I четверти Г
лежит ниже этой прямой.
Вся Г лежит внутри вертикального угла со сторонами
y
b
x
a
36

37.

Покажем, что при неограниченном удалении от начала
координат Г приближается к прямым y b x .
a
37

38.

d MN
MN Y y
b
b
x
a
a
b
x
a
x2 a2
x2 a2 ;
b
a2
lim (Y y ) lim
x
a x x x 2 a 2
lim MN 0
x
b
y x,
a
из при
x
b
y x ассимптоты
a
0
Г
6) Можно показать, что в I ч. Г возрастает
7) План построения Г
а) строим прямоугольник 2a, 2b
б) проводим его диагонали
в) отметим А1, А2 – действительные вершины Г и
38
впишем эти ветви

39.

Парабола (П)
Рассмотрим d (директрису) и F (фокус) на плоскости.
Определение. П – множество всех точек плоскости,
равноудаленных от прямой d и точки F (фокус)
39

40.

d-директриса
F-фокус
XOY
KF p
p 0
p
Z ,0
2
M x, y
точка М П тогда, |MF| = |MN|
2
p
p
2
x
y
x
2
2
2
(1)
уравнение П, выбранной в системе координат
Упрощая (1) получим
y2 = 2px (2) – каноническое уравнение П.
(1) и (2) эквивалентны
40

41.

Исследование П по каноническому
уравнению
x2=2py
x2=-2py
y2=2px
y2=-2px
x x cos y sin
y x cos y sin
e1 1e1 2 e2
xi yj x i y j i
x x (i i ) y ( j i ) x cos j sin
41

42.

§4. Цилиндры.
Цилиндрические поверхности с образующими,
параллельными координатным осями
Через точку х линии L проведем
прямую параллельную оси OZ.
Поверхность, образованная
этими прямыми называется
цилиндрической поверхностью
или цилиндром (Ц).
Любая прямая параллельная оси
OZ называется образующей.
l - направляющая
цилиндрической поверхности
плоскости XOY.
Z(x,y) = 0 (1)
42

43.

Пусть М(x,y,z) – произвольная
точка цилиндрической поверхности. Спроецируем ее на L.
M0 ϵ L => Z(x0,y0) = 0 (2)
x = x0
=> Z(x,y) = 0 Mϵ Ц
y = y0
M ϵL
0
то есть координаты М удовлетворяют (1) очевидно, что
если М Ц, то она не проектируется в точку М0 ϵ L и
следовательно, координаты М не будут удовлетворять
уравнению (1), которое определяет Ц с образующей
параллельной оси OZ в пространстве.
Аналогично можно показать, что :
Ф(x,z) = 0 в пространстве Ц || OY
43
(y,z) = 0 определяет в пространстве Ц || OX

44.

Примеры цилиндров второго порядка
1) Эллиптический x 2
2
y
2 1
2
a
b
44

45.

2) Гиперболический
x2 y2
2 1
2
a
b
3) Параболический
y2=2px
45

46.

Проекция пространственной линии на координатной
плоскости
Линию в пространстве можно задать параметрически и
пересечением поверхностей. Одну и ту же линию можно
задать ∩ различных поверхностей.
Пусть пространственная линия L задается ∩ двух
поверхностей α:
S1: Ф1(x,y,z) = 0
S2: Ф2(x,y,z) = 0
уравнение L
Ф1(x,y,z) = 0
(1)
Ф2(x,y,z) = 0
Найдем проекцию L на плоскость XOY из уравнения (1)
исключаем Z. Получим уравнение: Z(x,y) = 0 – в
пространстве это уравнение Ц с образующей || OZ
и направляющей L.
46

47.

Проекция:
L xy
Z(x, y) = 0
Z=0
Поверхности второго порядка
Эллипсоид – каноническое уравнение поверхности
имеет вид:
a 0
2
2
2
x
y
z
2 2 1
b 0
2
a
b
c
c 0
1) Эллипсоид – поверхность второго порядка.
2) X,Y,Z входят в уравнение лишь в четных степенях =>
поверхность имеет 3 плоскости и 1 центр симметрии,
которые в выбранной системе координат совпадают с
координатными плоскостями и началом координат.
47

48.

3) Расположение эллипсоида
x a
x
y
z
1 2 2
2
x a
a
b
c
Поверхность заключена между || плоскостями с
уравнениями x = a, x = -a.
z c,
Аналогично y b,
т.е. вся поверхность заключена внутри прямоугольного
параллелепипеда.
х = ± а, y = ± b, z = ± с.
Будем исследовать поверхность методом сечений –
пересекая поверхность координатными плоскостями и
плоскостями || координатным. В сечении будем получать
линии, по форме которых будем судить о форме
поверхности.
2
2
2
2
2
48

49.

Пересечем поверхность плоскостью XOY. В сечении
получим линию.
- эллипс a и b –
x2 y2 z 2
x2 y2
2 2 1 L :
2 1
2
2
L:
a
b
c
a
b
полуоси
z 0
z 0
Аналогично с плоскостью YOZ
x2 y 2 z 2
y2 z2
2 2 1
2 1 -эллипс с
2
2
a
b
c
b
c
полуосями b и с
x 0
Плоскость || XOY
x 0
z h
z c
x2
y2
z2
2 1 2
2
x2
y2
z2
a
b
c
1
z h
a2
b2
c2
2
x2
y2
h
1
a a 1 2
2
2
h
h
c
a 2 1 2 b 2 1 2
2
c
c
h
b b 1 2
z h
c
Если h(0,с), то оси эллипса убывают от a и b до 0.
49

50.

a = b = с - сфера
Параболоиды
а) Гиперболический параболоид – поверхность с
каноническим уравнением:
x2 y2
2z
p
q
pq 0
p 0, q 0
1) Поверхность второго порядка
2) Так как x,y входят в уравнение лишь в четных
степенях, то поверхность имеет плоскости симметрии,
которые при данном выборе координат совпадают с
50
плоскостями XOZ, YOZ.

51.

3) исследуем поверхность методом сечения
седло
пл.XOZ
x2 y2
2z
p
q
y 0
x 2 pz
2
y 0
x2
z
2p
y 0
В сечении парабола симметричная оси OZ, восходящая.
2
2
2
x
y
y
2
пл.YOZ
y 2qz
2z
z
p
q
x 0
x 0
2q
x 0
51

52.

пл.||YOZ
x2 y2
2z
p
q
x h
y 2 h2
z
2q 2 p
x h
пл.||XOZ
x2 y2
2z
p
q
y h
пл.XOY
x2 y2
2z
p q
z 0
x2 h2
z
2 p 2q
y h
2
2
x
y
0
p q
z 0
x
y
0
p
q
z 0
x
y
0
p
q
z 0
В сечении пара прямых, проходящих через начало
координат
52

53.

пл.||XOY
x2 y2
2z
p
q
z h
x2 y2
2h
p
q
z h
x2
y2
1
2 ph 2qh
z h
при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль
OX, при h < 0 гиперболы, с действительной полуосью
вдоль оси Y.
Эллиптический параболоид
x2 y2
2z
p q
pq 0
p 0, q 0
1) поверхность второго порядка
2) имеет 2 плоскости симметрии, которые совпадают с
XOZ и YOZ
3) левая часть уравнения неотрицательна => z ≥ 0, то
есть, вся поверхность расположена над XOY.
4) исследуем поверхность методом сечения
53

54.

пл.XOY
x2 y2
2z
p
q
z 0
пл. ||XOY
x2 y2
0
p
q
z 0
x2 y2
2z
p
q
z h ( h 0)
x2
y2
1
2 ph 2qh
z h
пл.YOZ
x2 y2
2z
p
q
x 0
пл.XOZ
x2 y2
2z
p
q
y 0
0(0,0,0)
y 2qz
2
x 0
эллипс
a 2 ph ; b 2qh
парабола восходящая
с вершиной в начале
координат
парабола восходящая с
вершиной в начале
координат
54

55.

Гиперболоиды
2
2
2
а) Однополосный гиперболоид x y z 1
2
2
2
a
b
c
1) поверхность второго порядка
2) имеет 3 плоскости и 1 центр симметрии
3) метод сечений
a 0
b 0
c 0
55

56.

пл.XOY
x2 y2 z 2
2 2 1
2
a
b
c
z 0
x2 y2
2 1
2
a
b
z 0
в сечении эллипс с
полуосями а и b горловой
x2
y2
пл. ||XOY
x2 y2 z 2
2 2 h
2
a
b
c
z h
h
a 2 1 2
c
2
h
b 2 1 2
c
z h
2
1
h2
a a 1 2
c
h2
b b 1 2
c
при |h| –>∞ от a и b до ∞.
56

57.

б) Двуполостный гиперболоид
x2 y2 z 2
2 2 1
2
a
b
c
1) поверхность второго порядка
2) имеет 3 плоскости и 1 центр симметрии
3) расположение поверхности x 2
y2
z2
1 2 2
2
x2 ≥ a2 ; |x| ≥ a ; (a,b,c > 0)
a
b
c
1
Поверхность состоит из
двух частей, расположенных
вне полосы между
плоскостями с уравнениями
x = a, x = -a
4) исследуем методом
сечений (Самостоятельно!)
57

58.

Конус второго порядка
Конусом второго порядка называется поверхность,
каноническое уравнение которой имеет вид:
a, b, c 0
x2 y 2 z 2
2 2 0
2
a
b
c
1) поверхность второго порядка
2) имеет 3 плоскости и 1 центр симметрии
3) исследуем методом сечений
пл.XOY
z 0
x2 y 2 z 2
0
a 2 b2 c2
z 0
x2 y 2
2 0
2
a
b
O(0,0,0)
58

59.

пл.||XOY
z h
2
x
y2 z2
0
a2 b2 c2
a a
пл.YOZ
h
c
b b
z h
2
x
y2
z2
2 2
2
a
b
c
h
|h| –>∞ от 0 до ∞
c
x 0
x
y2
z2
0
a2
b2
c2
2
z h
x
y2
1
2
2
h
h
a2 2 b2 2
c
c
2
x 0
y z
x 0
0
y z y z b c
x 0
b
c
b
c
y z 0
b c
пара прямых, проходящих через начало координат
y 0
пл.XOZ
x
z
y 0
0 пара прямых,
c
a
x2
y2
z2
проходящих через
y
0
0
a2
b2
c2
начало координат
x
z
0
59
a
c

60.

60