ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Определение нормального сечения
Определение нормального сечения
Определение нормального сечения
Свойство нормального сечения
Теорема Менье
Теорема Менье
Теорема Менье
Определение индикатрисы Дюпена
Определение индикатрисы Дюпена
Уравнение индикатрисы Дюпена
Уравнение индикатрисы Дюпена
Виды индикатрис Дюпена. Типы точек на поверхности
Виды индикатрис Дюпена. Типы точек на поверхности
Пример
603.50K
Category: mathematicsmathematics

Теория поверхностей.Нормальные сечения поверхности. Теорема Менье

1. ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Определение нормального
сечения. Свойство
нормального сечения.
Теорема Менье. Индикатриса
Дюпена

2. Определение нормального сечения

Проведем плоскость через
нормаль поверхности в точке P.
Она пересечет поверхность по
некоторой кривой, которая
называется нормальным
сечением поверхности в
точке P.

3. Определение нормального сечения

Так как главная нормаль
лоской кривой лежит в
плоскости этой кривой и
она перпендикулярна
касательной в данной точке,
то || n ,
где - вектор главной
нормали нормального
сечения в точке P.
n
P

4. Определение нормального сечения

Нормальное сечение называется вогнутым, если n
и выпуклым, если n .
n
n
P
P
Вогнутое сечение
Выпуклое сечение

5. Свойство нормального сечения

Утверждение 3
Нормальная кривизна kn поверхности в точке P в направлении
нормального сечения равна кривизне нормального сечения k
n 1
в этой точке, взятой со знаком +, если сечение вогнутое, и со
знаком –, если сечение выпуклое: k n k
Доказательство:
kn прn r прn ( k ) k( n ) k
«+» - для вогнутых сечений, т.к. для них n , и поэтому
«-» - для выпуклых сечений, т.к. в этом случае n 1
Ч.т.д.

6. Теорема Менье

Проведём в точке Р поверхности
нормальное и наклонное
сечение с общей касательной.
Тогда проекция центра
кривизны нормального сечения
на плоскость наклонного сечения
совпадает с центром кривизны
наклонного сечения.
P
C накл
C норм

7. Теорема Менье

В силу утверждения 2: knнорм knнакл
(*)
knнорм kнорм
(**)
n kнакл наклn
k nнакл rнакл
Θ – угол между плоскостями нормального и наклонного сечения
(острый).
наклn cos
“+”, если n норм , для вогнутых нормальных сечений;
“-“, если n норм , для выпуклых нормальных сечений.
knнакл kнакл ( cos ) подставим эту формулу и (**) в (*):
kнорм kнакл cos , следовательно,
k норм k накл cos

8. Теорема Менье

kнорм
1
рнорм
,
р накл р норм cos
Ч.т.д.
k накл
1
рнакл
,
следовательно,

9. Определение индикатрисы Дюпена

Определение: проведём в точке Р поверхности касательную
плоскость и в ней отложим от этой точки отрезок
1
, где k n - нормальная кривизна
длины
| kn |
поверхности в точке Р в направлении, в котором
откладывается отрезок в касательной плоскости.
Противоположный конец отрезка опишет кривую в
касательной плоскости, которая называется
индикатрисой Дюпена.

10. Определение индикатрисы Дюпена

11. Уравнение индикатрисы Дюпена

Зададим в касательной плоскости систему координат Pxy, с базисом
y dv
ru , rv , т.е.
(*)
x du
Пусть точка М(x,y) на индикатрисе Дюпена, тогда
1
1
PM xru yrv . Так как | PM |
, то
( xru yrv ) 2 ,
| kn |
| kn |
1

следовательно, Ex 2 2 Fxy Gy 2
kn
Edu 2 2 Fdudv Gdv 2
2
2
Ex
2
Fxy
Gy
| Ldu 2 2Mdudv Ndv 2 |
Ldu 2 2Mdudv Ndv 2
kn
Edu 2 2 Fdudv Gdv 2

12. Уравнение индикатрисы Дюпена

y2
Умножим числитель и знаменатель левой дроби на
,
2
dv
Получим с использованием равенства (*):
Ex 2 2 Fxy Gy 2
Ex 2 2 Fxy Gy 2
2
2
| Lx 2Mxy Ny |
или Lx 2 2Mxy Ny 2 1
| Lx 2 2Mxy Ny 2 | 1
(23)
(23) – уравнение индикатрисы Дюпена в системе координат Pxy
в касательной плоскости.

13. Виды индикатрис Дюпена. Типы точек на поверхности

Lx 2 2Mxy Ny 2 1
Индикатриса Дюпена – кривая второго порядка, в уравнении
которой отсутствует слагаемые первой степени. Следовательно
ИД не может быть параболой y2=2px
Вид кривой зависит от значения инварианта I2
I2
L
M
M
N
LN M 2
2
1. Если I 2 0 ( LN M 0), следовательно, индикатриса
Дюпена – эллипс, и точка Р на поверхности называется
эллиптической.

14. Виды индикатрис Дюпена. Типы точек на поверхности

2
2. Если I 2 0 ( LN M 0), следовательно, индикатриса Дюпена
– пара смежных гипербол, точка Р называется
гиперболической.
2
3. Если I 2 0 ( LN M 0), тогда индикатриса Дюпена – пара
параллельных прямых, точка Р называется параболической.

15. Пример

1. На эллипсоиде все точки эллиптические.
2. На однополостном гиперболоиде и гиперболическом
параболоиде все точки гиперболические.
3. На торе все три типа точек на поверхности присутствуют:
Во внешней части тора – эллиптические
точки, во внутренней части гиперболические точки, а на окружностях,
разделяющих внешнюю и внутреннюю
части – параболические точки.
Вблизи эллиптической точки поверхность
представляет собой часть эллипсоида.
В близи гиперболической точки
поверхность представляет собой
гиперболический параболоид, а вблизи
параболической точки – цилиндр.
English     Русский Rules