Теория кривых. Сопровождающий трехранник

1. ТЕОРИЯ КРИВЫХ

Сопровождающий
трехгранник

2. Сопровождающий трехгранник кривой

Определение: прямая, перпендикулярная касательной к кривой и
проходящая через точку касания, называется нормалью.
В любой точке кривой имеется бесконечно много нормалей.
Определение: нормаль кривой, параллельная вектору r
называется главной нормалью.

3. Сопровождающий трехгранник

Определение: нормаль, перпендикулярная главной нормали,
называется бинормалью.
b [r ; r ]
(9)
(9) – направляющий вектор бинормали.
Определение: касательная, главная нормаль и бинормаль
являются рёбрами сопровождающего
трехгранника кривой в данной точке.
Определение: нормальной плоскостью кривой в точке Р
называется плоскость, содержащая все нормали
в данной точке.

4. Сопровождающий трехгранник

Определение: плоскость, содержащая касательную и главную
нормаль в данной точке кривой, называется
соприкасающейся плоскостью.
Определение: плоскость, содержащая касательную и бинормаль,
называется спрямляющей плоскостью.
Определение: нормальная, соприкасающаяся и спрямляющая
плоскости являются гранями сопровождающего
трехгранника кривой в данной точке.

5. Касательный вектор

Пусть кривая задана
r r (t )
Выберем два различных
параметра
t и t+Δt ,
где Δt - приращение
параметра.
r r (t t ) r (t ) при t 0
r - бесконечно малый касательный вектор.

6. Касательный вектор

При стремлении Δt к нулю точка с параметром t+Δt устремится к
точке с параметром t, и вектор r займёт своё предельное
положение и станет касательной к кривой в точке с параметром t.
r
Поэтому предельное значение вектора t - это касательный
вектор к кривой в точке с параметром t :
r
t 0 t
r lim
(4)
Касательный вектор r определяет направление перемещения
точки вдоль кривой для данного значения параметра t.

7. Уравнение касательной

r
r
r
r (t ) {x(t ); y (t ); z (t )}
- радиус-вектор точки на кривой
{ , , } - радиус-вектор
точки на касательной
r (t ) {x (t ); y (t ); z (t )} - касательный вектор

8. Уравнение касательной

r || r тогда и только тогда, когда пропорциональны координаты:
x(t )
x (t )
y(t )
y (t )
z (t )
z (t )
(5)
(5) – уравнение касательной в произвольной параметризации.

9. Длина дуги. Натуральная параметризация

Рассмотрим кривую и две бесконечно близкие точки.
s длина пути вдоль кривой от точки с параметром
t до точки с параметром t+Δt.
s
r
r (t )
r (t t )

10. Длина дуги. Натуральная параметризация

| r | s , в пределе
| dr | ds
(6)
( 6)
ds | dr | | r dt | | r | dt
dr r dt
t2
S1, 2 | r | dt
t1
(7) – длина дуги кривой от точки с параметром t1 до точки с
параметром t2.
(7)

11. Длина дуги. Натуральная параметризация

t
S (t ) | r | dt *
t0
где t * [t 0 ; t ] ,
dr
r
dt
S – натуральный параметр на кривой.
dr
r - касательный вектор, | r | 1.
ds
(7 )

12. Уравнение касательной в натуральной параметризации

{ , , } - радиус-вектор точек на касательной,
r ( s) {x( s); y ( s); z ( s)} - точки на кривой,
r {x ( s), y ( s), z ( s)} - касательный вектор;
тогда r || r , следовательно, можно написать в силу
пропорциональности координат:
x( s )
x ( s)
y( s)
y ( s)
z ( s)
z ( s)
(5 )
(5 ) - уравнение касательной в натуральной параметризации.

13. Уравнение главной нормали в натуральной параметризации

r {x ( s), y ( s), z ( s)} - направляющий вектор главной нормали,
так как r r ,в силу утверждения 1
раздела «Векторный анализ».
r ( s) {x( s); y ( s); z ( s)} - точки на кривой,
{ , , } - радиус вектор точек на главной нормали,
тогда r || r , следовательно, в силу пропорциональности
координат можно записать:
x( s ) y ( s ) z ( s )
(10)
x ( s)
y ( s)
z ( s)
(10) – уравнение главной нормали в натуральной параметризации.

14. Уравнение бинормали в натуральной параметризации

b -направляющий вектор бинормали, он должен быть
перпендикулярен касательной и главной нормали, т.е. b [r ; r ] ,
b имеет координаты:
y ( s) z ( s) x ( s) z ( s) x ( s) y ( s)
b
;
;
y
(
s
)
z
(
s
)
x
(
s
)
z
(
s
)
x
(
s
)
y
(
s
)
y ( s) z ( s)
bx
y ( s) z ( s)
x ( s) z ( s)
by
x ( s) z ( s)
x ( s)
bz
x ( s)
{ , , } - радиус-вектор точек на бинормали,
{bx , b y , bz } - вектор бинормали,
r ( s ) {x( s ); y ( s ); z ( s)} - точки на кривой, тогда r || b ,
y ( s)
y ( s)

15. Уравнение бинормали в натуральной параметризации

следовательно, в силу пропорциональности координат запишем:
x( s ) y ( s ) z ( s )
(11)
bx
by
bz
(11) – уравнение бинормали в натуральной параметризации.

16. Уравнение нормальной плоскости в натуральной параметризации

{ , , } - радиус вектор точек нормальной плоскости,
r - направляющий вектор касательной,
r ( s) {x( s); y ( s); z ( s)} - точки на кривой.
Тогда r ( s) r , следовательно:
( r ( s)) r ( s ) 0
распишем это уравнение по координатам:
( x( s)) x ( s) ( y ( s)) y ( s) ( z ( s)) z ( s) 0
(12) – уравнение нормальной плоскости в натуральной
параметризации.
(12)

17. Уравнение соприкасающейся плоскости в натуральной параметризации

1 способ:
b - вектор бинормали,
{ , , } - радиус вектор точек соприкасающейся плоскости,
тогда ( r ) b , следовательно,
( r ) b 0 , распишем
уравнение по координатам:
( x( s)) bx ( y ( s)) b y ( z ( s)) bz 0
(13) – уравнение соприкасающейся плоскости в натуральной
параметризации.
(13)

18. Уравнение соприкасающейся плоскости в натуральной параметризации

2 способ:
{ , , } - радиус-вектор точек соприкасающейся плоскости.
Тогда из определения соприкасающейся плоскости следует, что
вектора касательная r и главная нормаль r лежат в
соприкасающейся плоскости, тогда вектора r , r , r должны
быть компланарны, следовательно:
( r ) r r 0
Распишем по координатам:
x( s ) y ( s ) z ( s )
(13 )
x ( s)
y ( s)
z ( s) 0
x ( s)
y ( s)
z ( s)
(13 ) - уравнение соприкасающейся плоскости в натуральной
параметризации.

19. Уравнение спрямляющей плоскости в натуральной параметризации

r - направляющий вектор главной нормали,
{ , , } - радиус-вектор точек спрямляющей плоскости.
Тогда r r , следовательно выполняется условие
( r ) r 0 ,
Распишем это уравнение по координатам:
( x( s)) x ( s) ( y ( s)) y ( s) ( z ( s)) z ( s) 0
(14) – уравнение спрямляющей плоскости в натуральной
параметризации.
(14)

20. Сопровождающий трехгранник в произвольной параметризации

Пусть кривая задана в произвольной параметризации r r (t ) .
Утверждение 1.
Вектор r лежит в соприкасающейся плоскости кривой в данной
точке.
Доказательство:
s s (t ) , тогда r ( s) r ( s(t )) .
dr dr ds
r s
Рассмотрим вектор r
dt ds dt
r (r s ) (r ) s r s r s
2 r s ,
число
число
следовательно, вектор r лежит в плоскости векторов r , r ,
т.е. в соприкасающейся плоскости.
Ч.т.д.

21. Сопровождающий трехгранник в произвольной параметризации

Вектора r , r лежат в соприкасающейся плоскости кривой.
[r ; r ] B
(15)
B перпендикулярен соприкасающейся плоскости, следовательно,
(15) – направляющий вектор бинормали.
T r - направляющий вектор касательной.
N [r ; B ] [T ; B ] [r ;[r ; r ]] r (r r ) r r 2
(16)
(16) – направляющий вектор главной нормали.
T , B, N
(17) – правая тройка векторов.
(17)

22. Сопровождающий трехгранник в произвольной параметризации

Определение: вектора T , B , N называются направляющими
векторами рёбер сопровождающего
трёхгранника.
Уравнения рёбер и граней сопровождающего трехгранника в
произвольной параметризации выводятся аналогично, как и в
случае натуральной параметризации.
выход

23.

Утверждение 1:
Для того чтобы u u необходимо и достаточно, чтобы
| u | const .

24.

Определение: нормаль кривой, параллельная
вектору r , называется главной
нормалью.

25.

Определение: прямая, перпендикулярная
касательной к кривой в точке x0,
называется нормалью.

26.

Определение: нормаль, перпендикулярная
главной нормали, называется
бинормалью.

27.

Определение: нормальной плоскостью кривой
в точке Р называется плоскость,
содержащая все нормали в данной
точке.

28.

Определение: плоскость, содержащая
касательную и главную нормаль
в данной точке кривой, называется
соприкасающейся плоскостью.

29.

Определение: плоскость, содержащая
касательную и бинормаль,
называется спрямляющей
плоскостью.

30.

Определение: прямая, перпендикулярная
касательной к кривой в точке x0,
называется нормалью.

31.

Определение: нормаль кривой, параллельная
вектору r , называется главной
нормалью.

32.

Определение: прямая, перпендикулярная
касательной к кривой в точке x0,
называется нормалью.

33.

Определение: нормаль кривой, параллельная
вектору r , называется главной
нормалью.

34.

Определение: касательной к линии L в точке М
называется прямая, с которой
стремится совпасть секущая ММ’,
оставаясь на L, стремится к М –
будь то справа или слева.

35.

Определение: касательной к линии L в точке М
называется прямая, с которой
стремится совпасть секущая ММ’,
оставаясь на L, стремится к М –
будь то справа или слева.

36.

Определение: нормаль, перпендикулярная
главной нормали, называется
бинормалью.

37.

Определение: прямая, перпендикулярная
касательной к кривой в точке x0,
называется нормалью.

38.

Определение: нормаль кривой, параллельная
вектору r , называется главной
нормалью.

39.

Определение: касательной к линии L в точке М
называется прямая, с которой
стремится совпасть секущая ММ’,
оставаясь на L, стремится к М –
будь то справа или слева.