Діофантові рівняння

1.

Виконавець:
Учень групи 10-1
Фінансово-економічного ліцею
М.Дніпропетровська
Іванов Данила

2.

ax + by = c

3.

Надгробок Діофанта:
Прах Діофанта гробниця ховає: вдивися їй і камінь
Мудрим мистецтвом розкриє покійного вік:
З волі богів шосту частину життя був він дитина,
А ще половину шостої – стрів із пушком на щоках.
Тільки минула сьома, з коханою він одружився,
З нею п'ять років проживши, сина діждався мудрець.
Та півжиття свого тішився батько лиш сином:
Рано могила дитину у батька забрала.
Років двічі по два батько оплакував сина.
А по роках цих і сам стрів він кінець свій печальній…

4.

Задача зводиться до рівняння
1
1
1
1
x + x + x +5+ x + 4 = x
6
12
7
2
Отже Діофант прожив 84 роки.
У книзі “Арифметика” Діофант викладає теорію рівнянь
першого степеня, розв'язує квадратні рівняння, але
більше уваги приділено так званим невизначеним
рівнянням та їх системам

5.

Найпростіше діофантове рівняння
ax +by=1
де a, b – цілі взаємно прості числа, має нескінченну
множину розв’язків ( якщо хо, уо – розв'язок, то числа
х=хо+ b·n, у=уо- a·n, nЄ Z також будуть розв’язками.)
Розв’язування: Застосувати алгоритм Евкліда до чисел
a і b за схемою: 1) a= bq₁+r₁, 0≤ r₁< b;
2) b= r₁q₂+r₂, 0≤ r₂< r₁;
3) r₁= r₂q₃+r₃, 0≤ r₃< r₂;
4) r₂= r₃q₄+r₄, 0≤ r₄< r₃;
5) r₃= r₄q₅+1, r₅=1;
6) r₄= r₅q₆ (оскільки (a, b)=1, то число кроків
скінчене)

6.

Знайти частинний цілий розв'язок рівняння
37x+23y=1.
Розв'язання.
37 = 23 ×1 + 14 Þ q1 = 1
23 = 14 ×1 + 9 Þ q2 = 1
14 = 9 ×1 + 5 Þ q3 = 1
9 = 5 × 1 + 4 Þ q4 = 1
5 = 4 ×1 + 1 Þ q5 = 1, r5 = 1
4 = 4 ×1
Відповідь.
Підстановкою в рівняння визначаємо, що
ì x0 = 5 - частинний розв'язок.
í
î y0 = -8
ì x0 = 5
í
y
=
8
î 0
частинний розв'язок.
r5
-q5 = -1
-q4 = -1
- q3 = -1
-q2 = -1
1
-1
(-1)(-1)+1=2
2(-1)+(-1)
=-3
(-3)(-1)+2=5
- q1 = -1
5(-1)+(-3)=-8

7.

Знайти частинний і загальний розв'язки
7x-4y=2
Розв'язання
1)
y=
7x - 2
4
ì x0 = 2
2) x=0; 1; 2 í
î y0 = 3
3) ìí x = 2 + 4t або
î y = 3 - 7t
- частинний розв'язок;
ì x = 2 - 4t
í
î y = 3 + 7t
- загальний розв'язок.
Відповідь: ìí x0 = 2 - частинний розв'язок;
î y0 = 3
ì x = 2 + 4t
í
î y = 3 - 7t
або
ì x = 2 - 4t
í
î y = 3 + 7t

8.

Приклад 1.
Знайдіть усі цілі числа, які є розв’язками рівняння
3
3
y - x = 91 .
2
2
y
+
xy
+
x
³ 0 , а 7 і 13 – прості
Розв’язання. Оскільки
числа, то рівність можлива у випадках:
ìy - x =1
ì y - x = 91
í
2
2
í 2
2
y
+
xy
+
x
= 91
î
î y + xy + x = 1
ì y - x = 13,
ìy - x = 7
í 2
í 2
2
2
y
+
xy
+
x
=7
y
+
xy
+
x
=
13
î
î
Розглянувши ці системи, знаходимо розв’язки рівняння:
(5;6), (-6; -5), (-3;4), (-4;3).

9.

Розв’яжіть рівняння х3 - у 3 = ху + 61 на прикладі натуральних чисел.
Розв’язання. Скористаємося тотожністю
3
3
3
х - у = ( х - у ) + 3ху ( х - у )
Позначивши х - у=m, x·y=n, деm Î Z , n Î Z , дістанемо рівняння
m3 + 3mn - n = 61 , звідки n = 61 - m . Оскільки
,n то
Î Z m3‹61,
3
3m - 1
а отже, можливим значенням m будуть числа 1, 2, 3. .
Перевіривши ці значення, дістанемо єдину пару
натуральних чисел, які задовольняють рівняння: m=1;
n=30. Отже, маємо: ì x - y = 1 , звідки х=6, у=5.
í
î xy = 30
Зробивши перевірку, переконаємося, що ці числа є
розв’язками рівняння.

10.

Доведіть, що рівняння x 2 + y 2 = z 2 має нескінченну
множину цілих розв’язків.
Розв’язання. Узявши до уваги рівність 32 + 42 = 52
переконаємося в тому, що рівняння має
нескінченну множину цілих розв’язків вигляду
x = 3a , y = 4a , z = 5a
де a - довільне ціле число.