Главные центральные оси сечения

1.

Главные центральные оси
сечения

2.

Моменты инерци
и
A
O
Интеграл вида:
I y z 2 dA
A
I z y 2 dA
A
момент инерции сечения относительно оси у,
момент инерции сечения относительно
оси z.

3.

I yz y zdA
A
центробежный момент
инерции
сечения
относительно осей y и z,
A
O
I ρ ρ 2 dA
A
полярный момент инерции
I dA ( y z )dA I z I y
2
A
2
A
2

4.

МОМЕНТ ИНЕРЦИИ СОСТАВНОГО
СЕЧЕНИЯ

5.

A
I y z dA. A A A ... A A ,
r
1
2
k
k
2
r 1
0
Iy
A1 A2 ... Ak
0
A1
A2
z dA z dA z dA ...
2
2
0
2
A1
I y I1y I 2 y ... I ky
I z I1z I 2 z ... I kz
k
z dA.
2
Ak 1

6.

Моменты инерции относительно
параллельных осей
y2=y1-a; z2=z1–b.
y1
O1
a
y
2
yII
b
O2
K
z1
zII
z2
zI
y12 =a; z12=b.
2
2
I y 2 z 2 dA z1 b dA
A
( A)
yI
A
z12 dA 2b
A
z1dA b 2
dA
A
I y1 2bS y1 b 2 A,
S y1 z1dA
A

7.

Пусть оси yIoIzI будут центральными, тогда Sy1 =0 и
I y 2 I y1 b 2 A
2
I z 2 I z1 a A
I y 2 z 2 I y1z1 a b A;

8.

I y1 I y2 b A.
2
2
I z1 I z 2 a A
I y1z1 I y 2 z 2 a b A.

9.

например
z
h t
3
b z
I y z bdz
3
2
dA
dz
h
c+b/2
t
3
z
b t
b (h t)
3
3
t
b
y
dA=b dz
:
3
3
b h
A (t h) t
3

10.

z
c+b/2
b
h t
z (c )b
b
2
I yz z(c )bdz
2
2
dA
dz
h
2
z
t
t
b
b
((h t) - t ) (c ) b
2
2
2
y
2
h2 b2 1
A (bt hc) A tc;
4
2

11.

y
b c
dy
y
2
hdy
c
3
3
h (b c)
h c
3
3
t
dA
Iz
h
z
c
dA=h dy
b
:
y
3
h b
A (c b) c
3

12.

c=0; t=0
b
2
h b
I yz
4
h
3
b h
Iy
3
3
h b
Iz
3
z
2
Размерность моментов инерции
y

13.

Момент инерции простых сечений
h
z
b
3
b h
Iz
.
12
y
3
bh
Iy
;
12

14.

3
b h
Iz
.
36
3
bh
Iy
.
36
о
2 2
b h
I zy
.
72

15.

r
4
4
π r
π D
Iy I z
.
2
4
64
Iρ

16.

4
π D
Iz
128

17.

МИ относительно повёрнутых осей
Z
M
N
zk
F
a
y ak
P
a
K
yk
Ya
a
C
D
yak=yk cosa+zk sina
Y
A
O
z ak
Za
B
zak=zk cos a–yk sin a.

18.

2
2
I ya I z cos α I ysin α I yzsin2 α
2
2
I za I ycos α I zsin α I yzsin2 α
dI yα
dα
0;
dI z α
dα
= 0.

19.

ГЛАВНЫЕ ОСИ ИНЕРЦИИ
Iy0z0 = 0.
tg2α 0
2
2I yz
I y Iz
2
I y0 I z cos α0 I ysin α0 I yzsin2 α0
2
2
I z0 I ycos α 0 I zsin α0 I yzsin2 α0

20.

Радиусы инерции
iy
Iy
A
;
Iz
iz
A

21.

Yc
Y0ñ
Y02
X02
b2
a2
a1
С2
X02
y02
Y01
ix0
Y01
b1
C
С1
iy0
a0
X0c
Xc
X01

22.

Y3
Y1
V
Y2
iv
Z1
O1
O2
Z2
O
iu
Z3
O3
a0
U
222222