Уравнение Шредингера

1. Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Если силовое поле не меняется с
течением времени (поле
стационарно)
U U ( x, y, z ) E const
Решение уравнения Шредингера
можно переписать
( x, y, z, t ) ( x, y, z )e
i t

2.

2
i t
i t
e U e
2m
i t
i ( i )e
E
t
2
U E 0
2m
Уравнение Шредингера для стационарных состояний

3.

Решение уравнения Шредингера
имеет смысл только при
определенном наборе значений
энергии E – собственные значения,
соответствующие решения –
собственные функции

4. Движение свободной частицы

U ( x, y , z ) 0
2
U E 0
2m
2
E 0
2m

5.

Рассмотрим одномерный случай
Ae
ikx
d
d
ikx
2 Ae ik
dx
dx
2
Ae (ik )
ikx
2
k
2

6.

2
k
E 0
2m
2 2
2 Px
k
k
E
2m
2
Px – может принимать любые значения
2
P
E
2m
– может принимать любые значения,
энергетический спектр непрерывный

7.

Найдем плотность вероятности
обнаружения частицы в некоторой
точке пространства
( x, t ) ( x)e
i ( t kx )
Ae
i t
ikx i t
Ae e
i ( t kx )
* ( x, t ) Ae
i ( t kx )
i ( t kx )
2
* Ae
Ae
A
вероятность обнаружения свободной частицы
не зависит от ее положения в пространстве
и везде одинакова

8. Частица в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками

9.

U
U , x 0, x
U 0,
0
ℓ
0 x
x

10.

2
U E 0
2m
U 0, 0 x
( x 0) ( x ) 0,
Так как частица не проникает за границы ямы
d
2 E 0
2m dx
2
2

11.

d
2
k
0
2
dx
2
x 0
2mE
k 2
2
(0) A sin 0 B cos 0
0 B 0
B 0
( x) A sin kx

12.

( ) A sin k 0
x
sin k 0 k n k n
2mE
2
2 2
k 2
2mE n
2
2
2
2 2
n
En
, n 1,2,3...
2
2m
-собственные значения энергии

13.

-энергетические уровни имеют дискретные
значения – квантуются
n – главное квантовое число
( x) A sin
n
x
- постоянная А ищется из условия
нормировки
2
(
x
)
dx
1
0

14.

A
sin
(
2
2
n
x)dx 1
0
2
2 n
A sin ( x)dx
0
2 n
2 1
A (1 cos
x)dx
2
0
1
1
2 n
2 n
A (
(sin
sin
0))
2
2 2 n
2
2 1
A
A 1
2
2

15.

2
n
n ( x)
sin
x
n=3
n=2
n=1
0
n (x)
ℓ
0
| n ( x) |
2
ℓ

16.

Найдем расстояние между соседними
энергетическими уровнями
En En 1 En
(n 1)
n
2
2
2m
2m
2
2
(
2
n
1
)
2
2m
2
2
2
2
2
2

17.

En 1
En
n
-чем выше уровень энергии,
тем ближе они находятся друг к другу

18. Пример. Свободный электрон в металле

Размер потенциальной ямы – размер
образца - ℓ =10-2 м
E n
(
2
n
1
)
2
2m
2
34
2
(1,05 10 ) (3,14)
(2n 1)
31
4
2 9,1 10 10
10
33
n
2
Дж
2
Спектр можно считать
непрерывным

19. Пример. Электрон в атоме

размер атома - ℓ =10-10 м
E n
(
2
n
1
)
2
2m
2
34
2
(1,05 10 ) (3,14)
(2n 1)
31
20
2 9,1 10 10
10
17
n
2
2
Дж 100n эВ
Спектр дискретный

20. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БПАРЬЕР

21.

U
U 0, x 0, x
U U0 ,
0
ℓ
0 x
x

22.

U
0
x
ℓ
Туннельный
эффект

23.

В классическом случае, когда энергия
частицы меньше высоты потенциального
барьера она отразится от него
В квантовой механике – может проникнуть
через барьер – ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ
В классическом случае, когда энергия
частицы больше высоты потенциального
барьера она беспрепятственно пролетит
над ним
В квантовой механике – может отразиться
от барьера – есть такая вероятность

24. КВАНТОВЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Система, у которой потенциальная
энергия имеет вид
m 0 x
U ( x)
2
2
0
2
- Собственная частота осциллятора

25.

Уравнение Шредингера
m 0 x
d
E
0
2
2m dx
2
1
E ( n ) 0
2
2
2
2
2

26.

U(x)
5
E2 0
2
3
E1 0
2
1
E0 0
2
x

27.

Существует минимально возможная
энергия – энергия нулевых колебаний
Частица никогда не может
находиться на дне потенциальной
ямы
Расстояние между соседними
уровнями одинаковое