Преобразование тригонометрических выражений

1.

Преобразование
тригонометрических
выражений
Формулы
Тригонометрии

2.

Зависимость между синусом, косинусом,
тангенсом и котангенсом одного и того же угла
По теореме Пифагора:
у
sin cos 1
2
1
cos
sin
х
2
Разделим обе части
2
равенства на sin
0
1
1 ctg
sin2
2
Разделим обе части
2
равенства на cos
0
1
tg 1
cos 2
2
содержание

3.

Зависимость между синусом, косинусом,
тангенсом и котангенсом одного и того же
угла
sin
tg
cos
cos
сtg
sin
tg ctg 1
?
содержание

4.

sin t
Пример 1
sin 2 t cos 2 t 1
3
и 0 t . Найти cost, tgt, ctgt.
5
2
2
16
3
cos t 1 sin t 1
25
5
4
4
cos t
или cos t
5
5
4
т.к. 0 t (I четверть, cost 0), то cost
2
5
2
2
sin t
tgt
cos t
3 4 3
tgt :
5 5 4
ctgt
4
ctgt
3
содержание
1
tgt

5.

5
tgt
и
t . Найти sint, cost, ctgt.
Пример 2
12
2
1
tg t 1
cos 2 t
2
2
1
169
5
1
2
cos t
144
12
12
12
cos t
или cos t
13
13
12
т.к. t (II четверть, cost 0), то cost
2
sin t
tgt
cos t
1
ctgt
tgt
5 12 5
sin t tgt cos t
12 13 13
12
ctgt
5
13
содержание

6.

Синус и косинус суммы и разности аргументов
sin x y sin x cos y cos x sin y
sin x y sin x cos y cos xsin y
cos x y cos xcos y
sin xsin y
cos x
y cos xcos y sin x sin y
содержание

7.

Тангенс суммы и разности аргументов
tgx tgy
tg x y
1
tgxtgy
tgx tgy
tg x y
1 tgxtgy
содержание

8.

Формулы двойного угла
sin 2 x sin( x x ) sin x cos x cos x sin x 2 sin x cos x
sin 2 x 2 sin x cos x
cos 2 x cos( x x ) cos x cos x sin x sin x cos 2 x sin2 x
cos 2 x cos x sin x
2
2
tgx tgx
2 tgx
tg 2 x tg( x x )
1 tgxtgx 1 tg 2 x
2 tgx
tg 2 x
1 tg 2 x
содержание

9.

Формулы двойного угла
cos 2 x cos x sin x
2
sin 2 x 1 cos 2 x
cos x 1 sin x
2
2
2
cos 2 x 1 2 sin x
2
cos 2 x 2 cos x 1
2
содержание

10.

Формулы понижения степени
cos 2 x 1 2 sin x
cos 2 x 2 cos x 1
Выразим
Выразим
2
sin2 x
1 cos 2 x
sin x
2
2
2
cos 2 x
1 cos 2 x
cos x
2
2
содержание

11.

Преобразование сумм тригонометрических
функций в произведение
x y
x y
cos
sin x sin y 2 sin
2
2
x y
x y
cos
sin x sin y 2 sin
2
2
x y
x y
cos x cos y 2 cos
cos
2
2
cos x cos y 2sin
x y
x y
sin
2
2
содержание

12.

Преобразование произведений
тригонометрических функций в суммы
1
cos x cos y cos x y cos x y
2
1
sin x sin y cos x y cos x y
2
1
sin x cos x sin x y sin x y
2
содержание