8 лекция. Простейшие электронные цепи и методы их анализа

1.

8 ЛЕКЦИЯ.
ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ ЦЕПИ
И МЕТОДЫ ИХ АНАЛИЗА
Электронная цепь (ЭЦ) – совокупность электронных
компонентов, соединенных определенным образом,
предназначенная для реализации заданной передаточной
функции (ПФ) над входными сигналами.
Анализ ЭЦ предполагает вывод ПФ и расчет ее параметров.
Передаточной функцией К(р) будем называть отношение
K(p) = Y(p)/X(p) изображений по Лапласу выходной величины Y(p)
анализируемой цепи к входной X(p).
Законы Ома и Кирхгофа, а также все классические методы
расчета справедливы и действуют для цепей, представленных
в операторной форме.
Основные режимы работы цепей анализируются из одного
уравнения для ПФ и следуют просто как разные формы решения
этого уравнения.
Легкость перехода к спектральному представлению и анализу
цепей, основанная на том, что преобразование Фурье является
частным случаем преобразования Лапласа.

2.

2. Применение операторного метода к расчету электрических цепей
2.1. Прямое преобразование Лапласа
Этот метод заключается в том, что из области функций
действительного переменного решение переносится в область
функций комплексного переменного p = с + j , где операции
принимают более простой вид, а именно: вместо исходных
дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений
получаются алгебраические уравнения; затем полученный
решением алгебраических уравнений результат переводится
обратно в область функций действительного переменного. Этот
переход осуществляется с помощью формул или таблиц.
Пусть f(t) - функция действительного переменного t,
заданная в области t > 0 и равная нулю при t < 0.
Известно, что если f(t) имеет ограниченный рост, то интеграл:
pt
F ( p ) f ( t )e dt
(2.1)
0
сходится абсолютно и является аналитической функцией комплексного
переменного р = с + j . Интегральное уравнение вида (2.1) представляет
собой прямое преобразование Лапласа. Функция f(t) называется
оригиналом, а функция F(p) - изображением по Лапласу.

3.

Следовательно, оригинал и изображение представляют собой пару
функций действительного переменного t и комплексного
переменного р, связанных преобразованием Лапласа. Из определения
изображения следует, что каждый оригинал имеет единственное
изображение. В свою очередь, оригинал вполне определяется своим
изображением с точностью до значений в точках разрыва
оригинала. Сокращенно переход от оригинала к изображению может
быть записан в виде f(t) F(p) и, соответственно обратный
переход F(p) f(t).
Математическим операциям над оригиналами соответствуют определенные
операции над изображениями и наоборот. Знание этих операций, или, как их
называют, свойств преобразования Лапласа, облегчает нахождение
изображений. Оно позволяет переходить от дифференциальных (или
интегро-дифференциальных) уравнений, записанных для функцийоригиналов, к "операторным" уравнениям, записываемым для
изображений, и облегчает последующее нахождение искомого оригинала
по вычисленному изображению. Основные свойства преобразования
Лапласа доказываются в курсе математического анализа. Ниже приводятся
лишь формулировки этих свойств.

4.

Теорема дифференцирования дифференцированию оригинала
соответствует операция умножения изображения на р
df(t)/dt pF(p) - f(0_).
Теорема интегрирования интегрированию оригинала соответствует
операция деления на p
f(t)dt F(p)/p.
Теорема запаздывания запаздыванию во временной области
соответствует умножение изображения на экспоненциальную функцию p
f(t - ) e-p F(p).
Теорема смещения показывает, как изменяется изображение при
умножении оригинала на экспоненциальную функцию времени
e t f(t) F(p - ).
Теорема умножения изображений (теорема свертывания)
устанавливает, что умножению изображений соответствует операция
свертки оригиналов с пределами интегрирования от 0 до t
F1(p) F2(p) f1(t) f2(t - ) d .
Теорема подобия показывает, как изменяется изображение при изменении
масштаба независимой переменной t оригинала
f(at) (1/a) F(p/a).

5.

Теорема линейности устанавливает, что изображение линейной
комбинации есть линейная комбинация изображений или, в самом простом
случае, что умножение оригинала на постоянный коэффициент
соответствует умножению изображения на этот же коэффициент
af(t) aF(p).
Предельные соотношения. Первое предельное соотношение дает
возможность найти начальное значение функции f(t) при t = 0
непосредственно по изображению: lim f(t) = lim pF(p), при p .
Второе предельное соотношение дает возможность найти предел функции
f(t) при t по значению функции F(p) в начале координат:
lim f(t) = lim pF(p), при p 0. Предельные соотношения полезны для
проверки вычислений с помощью преобразования Лапласа.
2.2.2. Обратное преобразование Лапласа
Обратное преобразование Лапласа позволяет перейти от изображений к
оригиналам. Из теории функции комплексного переменного известно, что
если функция F(p) аналитична и интегрируема в пределах от c - j до c + j ,
то существует интеграл
c j
1
pt
f(t )
F
(
p
)
e
dp
2 j c j
(2.1)

6.

Эта формула, носящая название обратного преобразования
Лапласа, представляет собой
решение
интегрального
уравнения (2.1) относительно функции f(t). Переход F(p) f(t)
непосредственно по формуле (2.2) не всегда удобен из-за
сложности, поэтому на практике используют различные
приближенные методы оценки вида функции f(t). При анализе
сложных электрических цепей чаще всего применяют теорему о
вычетах (теорему разложения), которая позволяет представить
подинтегральное выражение в (2.2) в виде суммы ряда простых
слагаемых и заменить операцию интегрирования операцией
суммирования этих слагаемых. Другой путь реализации
обратного преобразования Лапласа заключается в использовании
специальных таблиц, связывающих оригиналы и изображения.
Эти таблицы составлены для множества функций F(p) и f(t) и
приводятся в справочной математической литературе, в
учебниках по теоретическим основам электротехники, теории
сигналов и цепей. В табл. 2.1 приведена выписка некоторых
преобразований.

7.

№п/п
Изображение F(p)
Оригинал f(t)
1
1
(t) - дельта-функция (Дирака)
2
1/p
1(t) - единичный скачок
3
1/p2
t
4
1/(p + a)
e-at - экспоненциальная функция
5
1/p(p + a)
(1/a)(1 - e-at)
6
1/(p + a)2
t e-at
7
1/(p + a)(p + b)
(1/(b -a))(e-at - e-bt)
8
1/p(p + a)(p + b)
(1/ab) + (1/(b -a))( (e-bt)/b - (e-at)/a)
9
p/(p + a)(p + b)
(1/(b - a))(be-bt - ae-at)
10
1/(p2 + a2)
(1/a) sin at
11
p/(p2 + a2)
cos at
12
(p. cos b - a.sin b)/(p2 + a2)
cos (at + b)
13
(p.sin b + a. cos b)/(p2 + a2)
sin (at + b)
14
1/(p + a)2 + b2
(1/b)e-at sin bt
15
(p + a)/ (p + a)2 + b2
e-at cos bt
16
ej /(p - j )
ej( t + )

8.

Анализ электронных цепей
Анализ ЭЦ предполагает вывод ПФ и расчет ее параметров. Методика
составления уравнения для ПФ содержит несколько этапов.Исходно
должна быть задана топология анализируемой цепи и определено, что
является входной величиной, а что - выходной. Порядок действий:
1) преобразование цепи в операторную форму;
2) составление системы алгебраических уравнений цепи по законам
Ома и Кирхгофа в соответствии с выбранным методом расчета;
3) решение полученной системы относительно выходной величины;
4) запись решения в форме уравнения преобразования, когда неизвестная
выходная величина Y(p) записывается в левой, а заданная входная
величина X(p) - в правой части уравнения вместе с совокупностью
компонент определяющих операторный коэффициент передачи:
Y(p) = K(p) X(p);
5) запись уравнения для ПФ в виде K(p) = Y(p)/X(p);
6) качественный анализ ПФ как функции от оператора р с использованием
предельных соотношений p 0 и p ;
7) переход от изображений к оригиналам либо в комплексной форме
K(j ), либо в показательной K(t);
8) численная оценка коэффициента передачи K( ) на заданной частоте
или K(t) в заданный момент времени и построение соответствующих
зависимостей K( ) или K(t).

9.

3.1 Основные характеристики электронных цепей
Чтобы устранить неопределенности и унифицировать описания
различных по топологии и назначению электрических цепей,
электронных устройств, приборов и систем, специалисты
договорились в качестве основных использовать следующие
характеристики: 1) амплитудную (АХ);
2) амплитудно-фазочастотную (АФЧХ);
3) переходную (ПХ).
Для каждой характеристики определен перечень основных
параметров, с помощью которых производится сравнительная
оценка качества различных устройств по диапазону преобразуемых
величин, быстродействию, точности и др. Ряд этих параметров
законодательно оговорен и используется как перечень
обязательных паспортных параметров электронных устройств.
Амплитудная характеристика (АХ) представляет собой
зависимость амплитудного (или действующего) значения выходной
величины цепи от амплитудного (или действующего) значения
входной величины. В информационно-измерительной технике
понятию АХ соответствует понятие уравнения преобразования (УП).
Если АХ является линейной, то и такая электрическая цепь
называется линейной.

10.

Амплитудно-фазочастотная характеристика (АФЧХ) состоит из
двух характеристик: амплитудно-частотной (АЧХ) и
фазочастотной (ФЧХ).
АЧХ представляет собой реакцию цепи на входное
воздействие в форме синусоидального сигнала. Для цепей с
линейной АХ реакция цепи на входное воздействие в форме
синусоидального сигнала будет иметь синусоидальную
форму. Формально АЧХ можно определить как зависимость
коэффициента передачи цепи от частоты входного
сигнала K( ). В свою очередь K( ) равен модулю ПФ при
замене p = j , т.е.
K( ) = Re2[K(p = j )] + Im2[K(p = j )],
(2.3)
где символами Re2[K(p = j )] и Im2[K(p = j )] обозначены
соответственно квадраты действительной и мнимой
частей комплексной ПФ K(j ).

11.

Поскольку коэффициент передачи, являясь параметром АХ,
определяет ее наклон K = Y/X, где X, Y - входная и выходная
величина цепи, а АЧХ K( ) есть просто модуль
передаточной функции, то становится понятной связь
между АХ, АЧХ и ПФ. АХ - частный случай АЧХ для
фиксированной час-ты ;
АЧХ представляет частный случай ПФ для фиксированной
синусоидальной формы входного воздействия.
Чтобы проанализировать вид АЧХ и оценить ее параметры
необходимо:
1) вывести выражение для ПФ заданной цепи;
2) заменить оператор р на j ,
3) привести полученную комплексную ПФ к стандартному
виду:
K(j ) =Re [K(j )] + j Im[K(j )],
т.е. выделить отдельно действительную и мнимую части;
4) записать уравнение для АЧХ в форме (2.3), т.е. найти модуль ПФ;
5) исследовать функцию K( ) на предмет наличия
характерных точек (экстремумов, разрывов, перегибов,
асимптот, предельных значений и т.д.).

12.

ФЧХ находится как arctg отношения мнимой части комплексной ПФ
к действительной части.
Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ)
или диаграмма Боде, представляет собой АЧХ, построенную в
логарифмическом масштабе и аппроксимированную отрезками
прямых линий. Чтобы построить ЛАЧХ, необходимо уравнение для АЧХ
прологарифмировать (в десятичных логарифмах) с коэффициентом
20 (для получения единиц измерения децибел), а затем точные
выражения, стоящие под знаком логарифма, заменить более простыми,
приближенными.
Переходная характеристика представляет собой реакцию цепи на
входное воздействие в виде единичного скачка. ПХ так же, как и
АЧХ, является частным случаем ПФ. В отличие от АЧХ, ПХ есть решение
уравнения для ПФ в экспоненциальной (показательной) форме, для
чего используются либо непосредственно формула обратного
преобразования Лапласа, либо теорема о вычетах, либо таблицы.
На практике из-за простоты чаще всего используют последний вариант.
При небольшом навыке, запомнив два-три вида преобразования, можно
научиться достаточно быстро решать типовые задачи.

13.

3.2 Пример расчета электронных цепей
Рассмотрим конкретную реализацию данной методики на примере
двух простых, но очень важных как для теории, так и практики RC цепей: интегрирующей (рис. 2.1) и дифференцирующей (рис. 2.2).
Входной величиной в обоих случаях является напряжение U1(t), а
выходной - напряжение U (t).
1) Для перехода к операторной форме цепи2 заменим оригиналы
напряжений и токов на их изображения
U(t) U(p), UR(t) UR(p), UC(t) UC(p), I(t) I(p).
Заменим элементы R, C их операторными сопротивлениями по
правилу: R R, XС = 1/j C 1/pC.
2) Второй закон Кирхгофа в операторной форме
U(p) = UR(p) + UC(p) = I(p)Z(p) = I(p)(R + 1/pC) .
3) Так как входная величина U1(p), а выходная U2(p), сами цепи
представляют собой делитель напряжения, для которого
несложно вывести уравнение преобразования:
U2(p) = U1(p) Z2(p)/(Z1(p) + Z2(p)).
4) Учитывая, что для интегрирующей (рис. 2.1) цепи
Z1(p) = R, Z2(p) = 1/pC, а для дифференцирующей (рис. 2.2) наоборот Z1(p) =1/pC, Z2(p) = R, получаем ПФ
Kи(p) = 1/(1 + pRC);

14.

Обозначим через = RC постоянную времени цепи и перейдем к модулям
ПФ Kи( )и Kд( )
Kи( ) = 1/( 1 + ( )2),
Kд( ) = /( 1 + ( )2. (2.4)
Общий характер АЧХ, т.е.
зависимости
коэффициентов передачи
от частоты таков:
с увеличением частоты
от 0 до ,
для интегрирующей цепи –
Kи( ) падает от 1 до 0;
Рис. 2.1. Интегрирующая RC - цепь и ее АЧХ
для дифференцирующей
цепи –
Kд( ) возрастает от 0 до 1.
Приравняв Kи( ) и Kд( ) в
(2.2) к значению 1/ 2,
найдем значение частоты
среза ср = 1/ .
Рис. 2.2. Дифференцирующая RC - цепь и ее АЧХ

15.

ЛАЧХ интегрирующей цепи Kи [дБ]=20Lg(Kи( ))= -10Lg(1+( )2).
Если текущее значение частоты меньше частоты среза < ср = 1/ , то
вторым слагаемым, стоящим под знаком Lg, можно, по сравнению с 1,
пренебречь и принять Kи[дБ] 0 дБ.
Когда > ср, можно пренебречь 1 под знаком Lg, и тогда Kи[дБ] - 20Lg ( ).
Следовательно, ЛАЧХ интегрирующей цепи состоит из двух прямых, одна из
которых совпадает с осью абсцисс (Kи[дБ] 0 или, что то же самое,
Kи( ) 1) в диапазоне от 0 до ср. Другая прямая наклонена к оси абсцисс с
угловым коэффициентом -20 децибел на декаду (-20 дБ/дек). Последнее
означает, что на участке > ср, изменению частоты в 10 раз (т.е. на
декаду) соответствует уменьшение коэффициента передачи тоже в 10 раз
(или в логарифмических единицах на 20 дБ). В относительной форме
данная зависимость имеет вид K( ) ( ср/ ) или
K(f) (fср/f).
Рис. 2.3. ЛАЧХ интегрирующей (а)и дифференцирующей (б) цепей

16.

ЛАЧХ дифференцирующей цепи
Kд[дБ]=20Lg(Kд( ))=20Lg ( ) - 10Lg(1+( )2).
Эта ЛАЧХ также состоит из двух прямых. Первая прямая
Kд[дБ] 20Lg ( ) соответствует диапазону изменения частоты
от 0 до ср. В этом диапазоне наблюдается увеличение коэффициента
передачи со скоростью 20 децибел на декаду. В относительной форме
данная зависимость имеет вид K( ) ( / ср) или K(f) (f /fср ). Вторая
прямая Kд[дБ] 0 дБ, совпадающая с осью абсцисс, лежит в диапазоне
изменения частоты от ср до .
ЛАЧХ интегрирующей и дифференцирующей цепей представлены на рис.
2.3. Обратите внимание на то, что при построении ЛАЧХ координаты точек
по оси абсцисс могут указываться не в логарифмических единицах, а
непосредственно в Гц или рад/с, а по оси ординат - в единицах измерения
коэффициента передачи (как правило, в относительных единицах).

17.

Анализ переходной характеристики интегрирующей и
дифференцирующей цепей, ПФ которых:
Kи(p) = 1/(1 + pRC);
Kд(p) = pRC/(1 + pRC).
Учитывая, что изображение функции, которая называется единичным
скачком 1(t) есть 1/p (табл. 2.1), преобразуем общие ПФ Kи(p) и Kд(p) к
частному виду Wи(p) и Wд(p), используя замену U1(p) = E/p. Здесь E некоторое произвольное значение скачка входного напряжения.
Wи(p) = U2(p)/E = Kи(p)/p = 1/p(1 + pRC);
Wд(p) = U2(p)/E = Kд(p)/p = RC/(1 + pRC ).
(2.5)
Произведем замену = RC и вынесем эту постоянную времени в
знаменателях (2.2) за скобки. В результате получим формулы,
соответствующие формулам п. 5 и п. 4 табл. 2.1, где a = 1/ :
Wи(p) = a/p(p + a);
Wд(p) = 1/(p + a).
(2.6)
Переходя по таблице 2.1 от изображений к оригиналам, получаем ПХ
для интегрирующей и дифференцирующей цепей (рис. 2.6) в виде
Wи(t) = U2(t)/E = (1 - exp( - t/ ));
Wд(t) = U2(t)/E = exp( - t/ ).
(2.7)

18.

Основными параметрами ПХ являются постоянная времени и время
установления tу. Временем установления называется интервал времени
между моментом подачи входного единичного скачка и моментом
достижения функцией Wи(t) значения, равного 0,9 от max (Wи(t)) или
моментом достижения функцией Wд(t) значения, равного 0,1 от max
(Wд(t)). Подставив в (2.7) вместо Wи(t) 0,9, а вместо Wд(t) 0,1, получим
tу = . Ln 10 2,3 . . Примерно через такое время переходный процесс в
цепи заканчивается. Постоянная времени , как параметр ПХ, связана с
частотой среза - параметром АЧХ, соотношением ср = 1/ .
Связь ПХ и АЧХ позволяет, например,
зная реакцию цепи на единичный
скачок, предсказывать поведение
цепи при синусоидальном входном
сигнале, не проводя дополнительных
экспериментов.
Рис. 2.4. Переходные характеристики RC –цепей