Введение в тригонометрию. Тангенс и котангенс любого числа

1.

Введение в тригонометрию.
Тангенс и котангенс любого числа.

2.

1) Повторение.
2) Определение тангенса и котангенса любого числа.
3) Знаки тангенса и котангенса по четвертям окружности.
4) Задача №1. Определяем значения тангенса и котангенса чисел
двух макетов.
5) Линия тангенсов и линия котангенсов.
6) Задача №2. Решить уравнение tg t (ctg t)=a.
7) Задача №3. Решить неравенство tg t (ctg t)˅a.

3.

A
Тангенсом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
противолежащего катета к прилежащему
AC
tgB
BC
С
В
Котангенсом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
прилежащего катета к противолежащему
BC
сtgB
AC
Таким образом, тангенс и котангенс – взаимно
обратные числа
содержание

4.

sin t
tgt
cos t
t ϵ единичной
окружности
cos t 0
Для любого ли числа определен
(k Z )
2
тангенс не определен
тангенс?для чисел t
k
У
2
sin t
cos t
ctgt
sin t
t
0
cos t
sin t 0
Х
Для любого
ли числа определен
котангенс
не определен
для чисел t k
котангенс?
(k Z )
содержание
1 sin t Какие
1
значения
может
тангенс
и котангенс могут
принимать
тангенс
и котангенс?
принимать
любые значения
1 cos t 1

5.

У
sin t
tgt
cos t
cos t
ctgt
sin t
II
I
Из определения следует, что
Определи знаки тангенса и
тангенс и котангенс положительны
котангенса по четвертям
в тех четвертях, в которых знаки
числовой окружности?
синуса и косинуса совпадают
Х
III
IV
У
II
У
III
II
Х
IV
хt cos t
содержание
I
III
yt sin t
I
Х
IV

6.

Будем определять значения тангенса и учтем, что
У котангенс – число обратное тангенсу.
2
3 3
4
2
3
5
74511
7 5 3
sin
sin
sin
sin
sin
6711
45 75 3
4
1 321 3 21 13321 26 1
6
3
6
3
4
4
2
tg
tgtgtg 523
: : : нет
3131
745sin
11
7 5sin
3 0 222002 0 22222 0 3Х
sin
6346342tgcos
sin
sin
sin
0cos
323
3 103102 2 1 1
cos
cos
523 tg cos
1
1
2
1
663443
22 0 :: 1: 1
нет
321 31
636434cos
tgtg
tgtg cos
:
523 22220 2 22222 11
3643 2cos
3 3
7 64
cos
cos
cos
634643 2
6 5
7 6
4 4
3
3
2
5
3
4
0
6
4
3
0
1
3
1
3
3
1
1
3
2
2 3 5
3 4 6
3 1
0
1
3
1
1 3
3
7 5 4 3 5 7 11
6
4
3 2 3 4 6
1
1
1
3 3 1
0
3
3
1
1
1 3
3 1
0
3
3
содержание
значения синуса и косинуса

7.

tgt ?
Геометрическая интерпретация тангенса.
Или «Как его увидеть?»
Y
Как «увидеть»
синус и косинус
мы уже знаем
sin t
t
cos t
содержание
X
Проведем
касательную
через конец
радиуса
окружности,
параллельную
оси Оу

8.

tgt ?
tgt
sin t
AB
cos t
BC
Используем
геометрические
соображения
Треугольник АВС
подобен
треугольнику А1В1С
содержание
A1 B1
B1C
B1C 1
Y
A1
sin t
С
t
A
cos
Bt
AB A1 B1
BC
1
tgt A1 B1
B1
Таким образом, tgt
это ордината
X
точки А1 на
нашем чертеже
Линия
тангенсов.

9.

Линия тангенсов поможет нам определять значения
Найдите значение тангенса.
тангенсов чисел двух макетов без вычислений.
Y
Значения
тангенсов чисел
двух макетов:
3 1,7
3
0 ,6
3
1
3
1
3
3
3
4
2
3
?
4
4
0
0
3
3
1
tg
X
3
содержание
1
Линия
тангенсов.

10.

Найдите значение тангенса.
Y
Значения
тангенсов чисел
двух макетов:
5
tg
?
6
3 1,7
3
0 ,6
3
1
3
3
0
содержание
5
6 2
3
2
6
3
X
Линия
тангенсов.

11.

Найдите значение тангенса.
Y
Значения
тангенсов чисел
двух макетов:
3 1,7
3
0 ,6
3
1
7
6
4
3
0
5
6
6
содержание
4
tg
?
3
2
3
2
3
3
X
Линия
тангенсов.

12.

Аналогичные рассуждения приводят к
геометрической интерпретации котангенса.
сtgt ?
Проведем
касательную
через конец
радиуса
окружности,
параллельную
оси Ох
содержание
Y
A
t
Линия
котангенсов.
X
Абсцисса точки А – значение
котангенса числа t на нашем
чертеже

13.

Найдите значение котангенса.
Y
Значения
котангенсов чисел
двух макетов:
5
сtg
?
6
3 1,7
3
0 ,6
3
1
0
6
5
6
содержание
Линия
котангенсов.
2
3
2
3
3 X

14.

tgt 3
Y
3 1,7
3
?
3
Ответ:
t
2 k
3
или
t 43 k
2 k
t
3
k Z
содержание
Каждой точке
окружности
соответствует
бесконечно
много чисел
X
4 ?
3

15.

сtgt 1
Y
Каждой точке
окружности
соответствует
бесконечно
много чисел
Ответ:
3
t
2 k
34
или
t 74 k
2 k
t
4
k Z
содержание
1
3?
4
X
7
?
4

16.

сtgt 3
Y
Первый способ
3 1,7
Ответ:
t
2 k
6
или
t 76 k
2 k
t
6
k Z
содержание
?
6
7
?
6
Каждой точке
окружности
соответствует
бесконечно
много чисел
3 X

17.

3
сtgt 3 tgt
3
Второй способ
Y
3
0 ,6
3
Ответ:
t
2 k
6
или
t 76 k
2 k
t
6
k Z
содержание
3
3
?
6
Каждой точке
окружности
соответствует
бесконечно
много чисел
X
7
?
6

18.

tgt
3
3
3
0 ,6
3
Каждой точке
красного луча
поставим в
соответствие
точку числовой
окружности
Полученные дуги
симметричны
относительно начала
координат
Y
?
2
3
3
?
6
Таким образом,
достаточно рассмотреть правую
полуокружность.
содержание
X
Ответ:
t k ; k
2
6
k Z

19.

tgt 1
Y
Каждой точке
красного луча
поставим в
соответствие
точку числовой
окружности
1
?
4
X
?
2
Ответ:
t k ; k
4
2
k Z
содержание

20.

ctgt 3
Y
Каждой точке
красного луча
поставим в
соответствие
точку числовой
окружности
Достаточно рассмотреть
верхнюю полуокружность.
?
6
?
3 X
Ответ:
t k ; k
6
k Z
содержание