Бином Ньютона

1.

Бином Ньютона

2.

Определение:
•Двучлен вида a+b
называется биномом.

3.

Часто встречающимися формулами сокращённого умножения
являются :
квадрат суммы
(a b) 2 a 2 2ab b 2 ,
квадрат разности
(a b) 2 a 2 2ab b 2
разность квадратов
a 2 b 2 (a b) (a b)
куб суммы
(a b) a 3a b 3ab b
куб разности
3
3
2
2
3
(a b) a 3a b 3ab b
3
3
2
2
3

4.

• Другие же степени представлены в общем виде:
(a b) n a n C n1 a n 1b C n2 a n 2 b 2 C n3 a n 3b 3 ....... C nn 1 ab n 1 b n ,
где
С
k
n
- число сочетаний из n элементов по k элементов.
Такая формула называется
Бином Ньютона.
n!
C
k!(n k )!
k
n

5.

Биномиальные коэффициенты
(a b) n a n C n1 a n 1b C n2 a n 2 b 2 C n3 a n 3b 3 ....... C nn 1 ab n 1 b n
,
С n0 , С n1 , С n2 , С n3 С n4 С n5 С n6 ….. являются коэффициентами в формуле
бинома Ньютона и называются биномиальными коэффициентами.
Коэффицие́нт — числовой множитель при буквенном выражении.
Легко заметить, что степень первого числа уменьшается на единицу:
n
a ,a
n 1
,a
n 2
....a a, a
1
А степень второго числа наоборот увеличивается на единицу
b 0 1, b1 b, b 2 , b 3 ....b n
0
1

6.

• Коэффициенты считаются по формуле
C nk
n!
k!(n k )! ,
где k изменяется от 0 до n с шагом 1.
́ числа n— произведение всех натуральных чисел от 1 до n
Факториал
включительно.
0! = 1
С