Бином Ньютона. Полиномиальная формула. (Лекция 11)

1. БИНОМ НЬЮТОНА. ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ФОРМУЛА. ЛЕКЦИЯ 11

ДИСКРЕТНЫЕ СТРУКТУРЫ
КОМБИНАТОРНЫЙ АНАЛИЗ
Математический факультет. Кафедра математического
моделирования
1

2.

Тема: Бином Ньютона.
Полиномиальная формула
Цель лекции – изучить формулы
представления и свойства биномиальных и
полиномиальных коэффициентов
Содержание:
• Полиномиальный коэффициент
• Формула полинома
• Биномиальные коэффициенты
• Бином Ньютона
• Выводы
2

3.

Литература
Глускин Л.М., Шор Л.А., Шварц В.Я. Задачи и
алгоритмы комбинаторики, и теории графов. Донецк,
ДПИ, 1982. 368 с.
Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по
дискретной математике. М.: Наука, 1977. 368 с.
Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Элементы
комбинаторики: Пер. с укр. М.: Главная редакция
физико-математической литературы издательства
Наука, 1977. 80 с.
Виленкин Н.Я. Индукция. Комбинаторика. М.:
Просвещение, 1976. 48 с.
Хаханов В.І., Хаханова І.В., Кулак Е.М., Чумаченко
С.В. Методичні вказівки до практичних занять з курсу
“Дискретна математика”. Харків, ХНУРЕ. 2001. С.6367.
3

4.

Термины
Базовые понятия:
Множество
Число
Целое число
Натуральное число
Рациональное число
Иррациональное число
Степень
Факториал
Ключевые слова:
Бином
Полином
Биномиальный
(полиномиальный)
коэффициент
Треугольник Паскаля
4

5.

Полиномиальный коэффициент
Def: определенная для всех натуральных n и всех
наборов неотрицательных целых чисел k1,k2,
…,km, для которых k1+k2+ … + km=n, функция
Cn(k1,k2, …, km) или
определяемая формулой
n
k1 , k 2 , ... , k m
n!
C n (k1 , k 2 , ... , k m )
k1!k 2 !... k m !
называется полиномиальным коэффициентом.
5

6.

Формула полинома
Def: для любых действительных чисел а1,а2, …, аm не
равных нулю и любого натурального числа n имеет
место формула:
(a 1 a 2 ... a m ) n
k
k
k
C n (k1 , k 2 , ... , k m )a 1 1 a 2 2 ... a mm
k1 k 2 ... k m n
a i R \ {0} (i 1, m )
при этом суммирование распространяется на все
наборы натуральных чисел k1,k2, …, km, для
которых k1+k2+ … + km=n.
При а1=а2= …=аm=1 формула принимает вид
C n (k 1 , k 2 , ... , k m ) m n
k1 k 2 ... k m n
6

7.

Пример
Написать разложение полинома третьей степени
(a b c)3 C3 (3,0,0) a 3 C3 (2,1,0) a 2 b C3 (2,0,1) a 2c C3 (1,2,0) ab 2
C3 (1,1,1) abc C3 (1,0,2) ac 2 C3 (0,3,0) b 3 C3 (0,2,1) b 2c
C3 (0,1,2) bc 2 C3 (0,0,3) c3 a 3 3a 2 b 3a 2c 3ab 2 6abc
3ac 2 b 3 3b 2c 3bc 2 c3
Задание: определить полиномиальные
коэффициенты в данном разложении
7

8.

Биномиальные коэффициенты
n
Обозначение:
или
k
Чтение:
C kn – «С из n по k»;
C kn
n
k
– «n над k»
Def: для всех неотрицательных целых чисел
функция, заданная формулой
n , k , 0
n!
, 0 k n;
k
C n k !(n k )!
0,
0 n k,
называется биномиальным коэффициентом.
8

9.

Треугольник Паскаля
Значения биномиальных коэффициентов могут быть
последовательно определены из треугольника Паскаля:
n
C nk
0
1
1
1
2
1
3
1
4
5
6
...
1
1
1
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
1
1
4
10
20
1
5
15
1
6
1
9

10. Историческая справка

ПАСКАЛЬ (Pascal) Блез (1623-1662)
Французский математик, физик, религиозный
философ и писатель
Сформулировал одну из основных теорем
проективной геометрии
Работы по арифметике, теории чисел,
алгебре, теории вероятностей
Сконструировал (1641, по другим сведениям
— 1642) суммирующую машину
Один из основоположников гидростатики,
установил ее основной закон
Работы по теории воздушного давления
10

11.

Свойства биномиальных коэффициентов
k
n k
Cn Cn
Симметрия:
, n 0, k 0
Каждый коэффициент образуется путем
сложения двух стоящих над ним (справа и слева):
C kn 1 C kn C kn 1
Крайние значения известны для любого n:
C 0n C nn 1
В строке с номером n слева направо стоят
значения:
C 0n , C1n , C 2n , ... , C nn
11

12.

Биномиальные коэффициенты для
рациональных значений
Область определения биномиальных коэффициентов
можно расширить, а именно:
Def: функция
a (a 1)(a 2)...(a k 1)
a
,
k!
k
1,
k 0,
k 0,
определенная для a R , k N 0 ,
называется биномиальным коэффициентом.
Для a Z+ оба определения для биномиального
коэффициента совпадают.
12

13.

Примеры
C35
5!
5!
3! 4 5
10
3! 5 3 ! 3! 2!
3! 2
C 52 0
2 2 2 1 2 2 2 3 4
4
3!
3!
3
2
2
4
2 1
2 2
4!
13 9
2 3
2
12
13

14.

Формула бинома Ньютона
a , b R , n N :
a b
n
n
C kn a n k b k C 0n a n b 0 C1n a n 1b1 ... C nn a 0 b n
k 0
Биномиальные коэффициенты формулы бинома
Ньютона составляют в треугольнике Паскаля строку с
номером n.
Если заменить b на -b, то из формулы бинома
Ньютона следует
a b
n
n
1 k C kn a n k b k
k 0
14

15.

Историческая справка
Слово «бином» (от латинского bis − дважды и
греческого nomos − член) означает «двучлен»
Для натурального n формула бинома была
известна задолго до Ньютона многим ученым
разных времен и стран
Индусы знали формулу для биномиальных
коэффициентов и умели их вычислять
Якоб Бернулли (1713г.) дал строгое доказательство
для разложения натуральной степени бинома
Заслуга Ньютона заключается в том, что он
распространил формулу на любое действительное
n, а также показал, что формула верна и тогда, когда
n является рациональным или иррациональным,
положительным или отрицательным числом.
Ньютон был первым человеком в мире, начавшим
систематически употреблять в алгебре показатели,
отличные от целых положительных.
Исаак Ньютон
15

16. Тест-вопросы

1. Свойство симметрии биномиальных коэффициентов
определяется как:
а) C kn C nk
б) C kn k C nn k
в) C kn C nn k
2. Биномиальные коэффициенты определяются формулой:
n!
n n 1 ... n k 1
а) Ank k!C nk
б) Pn n !
n k !
в)
n!
C n (k1 , k 2 , ... , k m )
k1!k 2 !... k m !
г) C kn
n!
k !(n k )!
3. Полиномиальные коэффициенты определяются
формулой:
n!
а) C n (k1, k 2 , ... , k m )
б) C n (k1, k 2 , ..., k m )
k1!k 2 !... k n !
в)
C n (k1 , k 2 , ... , k m )
n!
k1!k 2 !... k m !
г) C kn
m!
k1!k 2 !... k n !
n!
k !(n k )!
16