Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона

1.

2.

– научиться возводить двучлен в
натуральную степень;
– находить биноминальные
коэффициенты, используя
треугольник Паскаля

3.

О биноме Ньютона речь идет в романе “Последнее дело
Холмса” Конан Дойля.
Позже это же выражение упомянуто в фильме “Сталкер”
А.А.Тарковского.
Бином Ньютона упоминается в фильме “Расписание на
послезавтра”, в повести Льва Толстого “Юность” в
эпизоде сдачи вступительных экзаменов в университет
Николаем Иртеньевым и в романе Замятина “Мы”.
Когда хотят подчеркнуть, что собеседник
преувеличивает сложность задач, с которыми он
столкнулся, говорят: “Тоже мне бином Ньютона!”
Дескать, вот бином Ньютона, это сложно, а у тебя
какие проблемы!
Что же это за формула такая и почему о ней слышали
даже те люди, чьи интересы никак не связаны с
математикой?
Так что же такое бином Ньютона?

4.

( a b)
n
«Би»-удвоение, раздвоение …
«Ном»(фран. nombre) –номер, нумерация.
«Бином» - «два числа»

5.

( a b)
n
(a b) 1
0
( a b) a b
2
2
2
(a b) a 2ab b
3
3
2
2
3
(a b) a 3a b 3ab b
1
(a b) a 4a b 6a b 4ab b
4
4
................
3
2 2
3
4

6.

( a b) 1
1
0
1
1
( a b) a b
2
2
2
(a b) a 2ab b1 2 1
3
3
2
2
3
3
3 b 1
(a b) a 3a b 1
3ab
4
4
3
2 2
3
4
4
1
(a b) a 4a1b 4
6a b 6 4ab b
................
1
(a b) a 5a b 10а b 10a b 5ab b
5
5
4
3 2
2 3
4
5

7.

1
1 1
1 2 1
Каждый крайний
элемент равен 1, а
каждый не крайний
элемент равен сумме
двух своих верхних
соседей .
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Треугольник Паскаля

8.

Блез Паска́ль (1623-1662)
Французский математик,
физик, литератор и
философ. Классик
французской
литературы, один из
основателей
математического
анализа, теории
вероятностей и
проективной геометрии,
создатель первых
образцов счётной
техники, автор
основного закона
гидростатики.

9.

10.

Если очертить треугольник Паскаля, то
получится равнобедренный треугольник.
В этом треугольнике на вершине и по
бокам стоят единицы.
Каждое число равно сумме двух
расположенных над ним чисел.
Продолжать треугольник можно
бесконечно.
Строки треугольника симметричны
относительно вертикальной оси.
Имеет применение в теории вероятностей
и обладает занимательными свойствами.

11.

«Треугольник Паскаля так прост, что
выписать его сможет даже десятилетний
ребенок. В то же время он таит в себе
неисчерпаемые сокровища и связывает
воедино различные аспекты математики,
не имеющие на первый взгляд между
собой ничего общего. Столь необычные
свойства позволяют считать треугольник
Паскаля одной из наиболее изящных схем
во всей математике»
Мартин Гарднер

12.

Число одночленов получаемого
многочлена на единицу больше показателя
степени бинома
Показатель степени I выражения убывает от
n до 0, показатель степени II выражения
возрастает от 0 до n.
Биноминальные коэффициенты,
равноотстоящие от начала и конца
разложения равны.

13.

Треугольник Паскаля.
Коэффициенты
Степень
двучлена
a b
1
a b
0
1
1 1
a b
2
1 2 1
3
1 3 3 1
a b
a b
4
1 4 6 4 1
a b
1 5 10 10 5 1
a b
1 6 15 20 15 6 1
5
6

14.

Столько раз эти слагаемые встретились при
приведении подобных слагаемых в
многочлене.
Количество этих слагаемых есть не что
иное, как число сочетаний Сmn , где n степень двучлена, m - степень второго
выражения.

15.

а b
т
С а C a
0
m
m
1
m
m 1
b ... C
m 1
m
ab
m 1
C b
m
m
m

16.

m!
С
n!( m n )!
O! 1
n
m
C
0
m
C
1
m
C
m
m
1
C
m 1
m
m

17.

( a b)
n
( a b) 1
0
( a b) a b
2
2
2
(a b) a 2ab b
3
3
2
2
3
(a b) a 3a b 3ab b
4
4
3
2 2
3
4
(a b) a 4a b 6a b 4ab b
1
Каждый одночлен с нечетной
степенью b имеет знак «минус»

18.

(
х +у)5 = х5 + 5х4у + 10х3у2 +
10х2у 3+ 5ху4 + у5
(1 + 2а)4 = 14 + 4·13·2а +
6·12·(2а)2 + 4· 11·(2а)3 + (2а)4 =
=1 + 8а + 24а2 + 32а3 + 16а4
(х – у)6 = (х + (-у))6 = х6 + 6х5(-у) +
15х4(-у)2 + 20х3(-у)3 +15х2 (-у)4 +
6х(-у)5 + у6=
х6– 6х5у +15х4у2– 20х3у3 + 15х2у4 –
6ху5+ у6.

19.

1. ( 1 + 3а)4
5
2. (2а – в)
4
3. (3в + 1)
4. (х – 2у)5

20.

Глава 3 § 9,
№ 348