Объемы тел. Основные свойства объемов

1.

Объемы тел
Геометрия, 11 класс

2. Понятие объема

За единицу измерения
объемов принимают куб,
ребро которого равно
единице измерения отрезков.
Единицы измерения объемов:
мм3;см3;дм3;м3;км3.
1 литр = 1 дм3

3. Основные свойства объемов

1о. Равные тела
равные объемы.
имеют
2о.Если тело составлено из
нескольких тел, то объем
равен сумме объемов этих
тел.

4. Объем прямоугольного параллелепипеда

c
b
a
Объем прямоугольного
параллелепипеда равен
произведению трех его
измерений.
V abc

5. Следствие 1

Sосн
h
Объем прямоугольного
параллелепипеда
равен произведению
основания на высоту.
V Sосн h

6. Следствие 2

Объем прямой призмы,
основанием которой является
прямоугольный треугольник,
равен произведению
основания на высоту.
V Sосн h

7. Объем прямой призмы

Объем прямой призмы
равен произведению
основания на высоту.
V Sосн h

8. Объем цилиндра

Объем цилиндра равен
произведению
основания на высоту.
V Sосн h
V R h
2

9. Объем наклонной призмы

Объем наклонной призмы
равен произведению
основания на высоту.
V Sосн h
V Sсеч l
Объем наклонной призмы
равен произведению
бокового ребра на
площадь
перпендикулярного ему
сечения

10.

Задача
A1
C1
Дано:
ABCA1B1C1 —
наклонная призма
B1
BB1 = 4 см
∠B1BK = 30°
4 см
АВ = 12 см
BC = 12 см
14 см
A
C
H
AC = 14 см
Найти: V
Решение:
K
30°
12 см
12 см
B
V = Sосн. · h
∆BB1H — прямоуг.
B1H = BB1 · sin 30°

11.

№ 676 Найти объем наклонной призмы, у которой основанием является
треугольник со сторонами 10см,10см,12см, а боковое ребро равное 8см,
составляет с плоскостью основания угол 600
Дано: АВСА1В1С1- наклонная прямая призма. <В1ВК=600 , ВС=10см,
АВ=10см, АС=12см, ВВ1=8см.
Найти:Vпризмы=?
Решение:
V= SАВС* h , Sосн.=√р(р-а)(р-b)(р-с) - формула Герона
Sосн.=√16*6*4*6 = 4*2*6 = 48 (см2)
Треугольник ВВ1Н- прямоугольный,
В1
так как В1Н –высота В1Н=ВВ1*cos 600
В1Н=8 * √3/2 = 4√3 (см)
V=4√3 *48=192√3
С1
А1
В
(см3)
Ответ: Vпр. = 192√3 (см3)
С
К
Н
А

12.

№ 680 Основанием наклонной призмы является прямоугольный
треугольник со сторонами а и b. Боковые ребра длины с составляет со
смежными сторонами основания углы, равные ß . Найти объем
призмы?
Дано:АВСДА1В1С1Д1-призма, АВСД-прямоугольник, АВ=а, АД=b, АА1=с,
<А1АД=<А1АВ=ß
Найти: Vпризмы=?
Решение:
1. <А1АД=<А1АВ значит точка А1 проецируется на
биссектрису <А, А1О ┴ (АВС), АО-биссектриса <А
В1
С1
А1
2. Так как А1О┴(АВС) , ОМ┴АД (ОМ-проекция, А1Мнаклонная) отсюда следует, А1М┴АД
3. Треугольник АА1М-прямоугольный, АМ=С·cosß
4. Треугольник АОМ-прямоугольный, АО=√2·АМ,
АО=√2·С·сosß
Д1
5. А1О= √с2-2с2-cos2ß=с√1-2cos2ß = с√-cos2ß.
В
А
МО
К
С
Д
6. V=Sосн.·h= а·b·c√-cos2ß
Ответ : V=а·b·c√-cos2ß

13. Объем пирамиды

Объем пирамиды равен
одной трети произведения
площади основания на
высоту.
1
V S осн h
3

14.

Рассмотрим произвольную треугольную призму ABCA1B1C1.
1) Разобьем её на две части секущей плоскостью (A1BC).
2) Получились две пространственные фигуры: треугольная
пирамида A1ABC и четырехугольная пирамида A1BCC1B1 (обе
пирамиды с вершиной A1).
A
C
1
1
B
1
A
C
B

15.

Теперь разобьём четырёхугольную пирамиду A1BCC1B1 секущей
плоскостью (A1C1B) на две треугольные пирамиды: A1BB1C1 и
A1BCC1 (обе пирамиды с вершиной A1).
A
A
C
1
1
1
B
1
A
C
C
B
B

16.

У треугольных пирамид A1ABC и BA1B1C1 основания равны (как
противоположные основания призмы) и их высотами является
высота призмы. Значит, их объемы также равны.
У треугольных пирамид A1BB1C1 и A1BCC1 основания равны
(объясните самостоятельно) и у них общая высота, проведенная из
вершины A1. Значит, их объемы также равны.
VA1 ABC VBA1B1C1 VA1BB1C1 VA1BCC1
A
A
C A
1
1
1
C
1
1
B
1
A
C
B
C
B
B

17.

Тогда, по свойству транзитивности, объемы всех трех пирамид
равны:
V
V
V
A1 ABC
BA1 B1C1
A1 BCC1
Значит, объем пирамиды в три раза меньше объема призмы с
такими же основанием и высотой, т.е.
1
V Sî ńí . H
3
A
A
C A
1
1
1
C
1
1
B
1
A
C
B
C
B
B

18.

№1
Дано: DABC- правильная пирамида
АВ=3, AD=2 3
D
Найти:V
2 3
Решение:
3
С
О
А
N
М
В
1. Учтите, что в основании равносторонний
треугольник.Найдите площадь основания.
2. Из треугольника АМС найдите медиану МС.
3. Вспомните свойство точки пересечения
медиан. Найдите длину АС.
4. Из треугольника DOC найдите высоту
пирамиды DO.
5. Найдите объем пирамиды.
Предложите свое решение.

19.

№4
Дано: DABC- пирамида,треугольник
АВС прямоугольный,АВ-гипотенуза
АС=6, ВС=8.Каждое боковое ребро
составляет с плоскостью основания
угол 45о
Найти: V
D
Решение:
В
О
А
8
6
С
1.Найдите площадь прямоугольного
треугольника АВС по известным
катетам.
2 Вспомните,где расположен центр
окружности,описанной около
прямоугольного треугольника АВС..
3.Из прямоугольного треугольника АВС
найдите гипотенузу АВ,ОВ.
4..Определите вид треугольника DOB и его
углы.Сделайте вывод о длине ОD.
5.Вычислите объем пирамиды.
Предложите свое решение

20.

№2
Дано: FABCD- правильная
пирамида
FCO=45º, FO=2
F
Найти: V
2
Решение:
C
C
B
B
O
A
D
1.Определите вид треугольника FOC и его
углы.Сделайте вывод о длине ОС.
2. Найдите АС.
3.Вспомните формулу для нахождения площади
квадрата по его диагоналям.Найдите площадь
основания.
4.Вычислите объем пирамиды.
Предложите свое решение.

21. Объем усеченной пирамиды

Объем V усеченной
пирамиды, высота
которой равна h,
а площади оснований
равны S1 и S2,
вычисляется по формуле:
1
V h S1 S 2 S1 S 2
3

22. Задача

Дано:S1 = 245 кв.см
S2 = 80 кв.см
H= 35 см
Найти:V

23. Объем конуса

Объем конуса равен
одной трети произведения
площади основания на высоту.
1
V S осн h
3
1 2
V R h
3

24.

25.

доказательство3
H
Vтела вращ. = π ∫
2
f (x) dx.
0
H
Vконуса = π ∫
H
(kx) dx = π k
2
0
2
=
πR
H
Vконуса
*
H
2
*
3
2
∫0
x dx = π *
2
( )
R
H
3
2
*
H
=
x
3
2
πR
H
0
*
H
3
=
2
*
3
3
=1
3
2
πR H
y
2
1
= πR H
3
A
R
α
O
H
x
H
C

26.

27.

Задача 1. (объем конуса)
Авиационная бомба среднего калибра дает
при взрыве воронку диаметром 6 м и
глубиной 2 м. Какое количество земли (по
массе) выбрасывает эта бомба, если 1 м3
земли имеет массу 1650 кг?
Решение:
2
1
V= π R H
3
=1
3
π * 32 * 2 =6 π (м 3 )
O 3м
A
2м
P = 1650*6*3,14 ≈ 31086 кг ≈ 31 т.
Ответ: P = 31 т.
B
C

28.

Задача 2. (Объем конуса)
Смолу для промышленных нужд собирают,
подвешивая конические воронки к соснам.
Сколько воронок диаметром 10 см с
образующей 13 см нужно собрать, чтобы
заполнить 10-литровое ведро?
Дано:
Решение.
коническая воронка V = 1 π R 2H = 1 π* 25 * 12 =100 π(см3 ) =
3
3
D = 10 см
= 100 π см 3 = 0,1π дм 3 .
L = 13 см
O
5
A
C
V–?
(H =√ 13 - 5
2
13
B
n = 10
0,1
=
2
= 12
)
100 = 100 ≈ 31,8
π 3,14
Ответ: n ≈ 32 воронки.

29.

Задача 3. (Объем конуса)
«... Читал я где-то, что царь однажды воинам
своим велел снести земли по горсти в кучу. И
гордый холм возвысился, и царь мог с высоты с
весельем озирать и дол, покрытый белыми
шатрами, и море, где бежали корабли.»
А.С. Пушкин «Скупой рыцарь»
Это одна из немногих легенд, в которой при
кажущемся правдоподобии нет и зерна правды.
Докажите геометрически, что если бы какойнибудь древний деспот вздумал осуществить
такую затею, он был бы обескуражен мизерностью
результата. Перед ним высилась бы настолько
жалкая куча земли, что никакая фантазия не
смогла бы раздуть ее в легендарный «гордый
холм».

30.

3
1
1 горсть ≈
литров = 0,2 дм.
5
Войско в 100 000 воинов считалось очень
внушительным.
V = 0,2*100 000 = 20 000 дм3 = 20 м3.
Угол откоса Ј 45°, иначе земля начнет осыпаться.
Возьмем угол откоса наибольшим возможным, т. е.
45°
Дано: конус
V = 20 м3
a = 45°
Найти: H конуса
Решение:
Vконуса
2
1
= πR H
3
45°
Так как H = R, то:
H =√ π
3
3V
* 20
√ 33,14
3
=
≈ 2,7 м.

31. Объем усеченного конуса

Объем V усеченного конуса,
высота которого равна h,
а площади оснований равны S1
и S2,
вычисляется по формуле:
1
V h S1 S 2 S1 S 2
3

32. Задача

Дано:S1 = 128 кв.см
S2 = 50 кв.см
H= 20 см
Найти:V

33. Объем шара

4 2
V R
3
V – объем шара,
R – радиус шара

34. Объем шарового сегмента

Шаровым сегментом
называется часть шара,
отсекаемая от него
какой-нибудь плоскостью.
AB, BC – высоты сегментов,
АС –диаметр шара
AB = h, R – радиус шара
1
V h R h
3
2

35. Объем шарового слоя

Шаровым слоем называется часть шара, заключенная
между двумя параллельными плоскостями.
ω(В,R1) и ω(С,R2) – основания шарового слоя,
АВ – высота шарового слоя
V VAC VAB

36. Объем шарового сектора

Шаровым сектором называется тело, полученное
вращением кругового сектора с углом, меньшим
90о,
вокруг
прямой,
содержащей
один
из
ограничивающих круговой сектор радиусов.
2 2
V R h
3

37. Математический диктант 1

38. Математический диктант 2

1.Вычислите объём шара если его радиус R=5см
2.Вычислите диаметр шара, если его объём V= 500π/3
3. Вычислите площадь большего круга и длину
окружности шара, если его объём V= 500π/3
4. В цилиндр вписан шар радиуса R= 2. Найдите
отношение Vшара:Vцилиндра

39. Домашнее задание

Выучить п.74-82
В презентации выполнить задание
математического диктанта 2.
Ответы теста прислать каждому в свою
папку на мой диск.

40. Литература

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 7 – 9 классы:
учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2012. –
384 с.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия. 10 – 11 классы:
учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2012. –
256 с.
Мордкович А.Г. Краткое справочное пособие по школьному курсу
математики. Определения, теоремы, свойства, формулы, алгоритмы. – М.:
Новая школа, 1994. – 48с.
Звавич Л.И., Рязановский А.Р. Геометрия в таблицах. 7 – 11 классы:
справочное пособие. – 11-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2006. – 124с.
Генденштейн Л.Э., Ершова А.С. Наглядный справочник по геометрии для 7 –
11 классов. – 3-е изд. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2000. – 96 с.