Объемы тел

1.

• Объемы тел

2.

Цель урока.
• 1. Систематизировать и обобщить
знания студентов по теме “Объемы
тел”
• 2. Усовершенствование умения
решения задач на вычисление объемов.
• 3. Провести работу по усвоению
знаний и умений при решении
прикладных задач.

3.

Объемы тел
Для простых тел объем (V) - это
положительная величина, имеющая
следующие свойства:
V1
1. Равные тела имеют равные
2. Если тело разбито на
V
части, то объем этого тела
равен сумме его объемов.
3. Объем куба, длина ребра
которого
равна
единице,
равен единице.
=V2
=
V1 +
V2
V=1 (мм3,см3,м3..)
1(мм,см,м..)

4.

Примеры комбинаций геометрических тел
1. Многогранник и многогранник
пирамиду, или пирамида вписана в призму)
(призма вписана в
2. Многогранник и тело вращения
(пирамида вписана в конус, или в цилиндр, или в шар; цилиндр, вписан в
пирамиду или призму; шар вписан или описан около пирамиды)
3. Тело вращения и тело вращения
(конус вписан в цилиндр, шар описан около цилиндра)

5.

Задание:
6см
Вычислите радиус шара, вписанной в куб
с ребром 6см.
О2
Решение:
1. Построим сечение куба
A
6см
О2
C
B
B
О
О
R
D
О1
C
2. Радиус вписанного шара
равен радиусу вписанного в
квадрат АВСD круга: R=О1О2:2 =
6:2 = =3(см)
ответ: R=3см.
D
О1
A

6.

Цилиндр описанный около призмы
1. Цилиндр называется описанным около
призмы, если его основание - круги, описанные
около оснований призмы ,а образующие сходятся
с ребрами призмы
2. Ось цилиндра совпадает с высотой призмы.
R
3. Радиус цилиндра равен радиусу круга. описанного
около основания призмы.
Задание:
В цилиндр вписана правильная
шестиугольная призма. Найти угол мжду
диагональю ее боковой грани и осью
цилиндра,если радиус основания равен
высоте цилиндра.
Hц
R
R
R
. Ответ: 45°.

7.

Цилиндр вписанный в призму
1. Касательной к цилиндру называется
плоскость,
проходящая
через
образующую
цилиндра
и
перпендикулярная к плоскости осевого
сечения,проходящего
через
эту
образующую.
α ┴ β.
2. Цилиндром, вписанным в призму,
называется
цилиндр,
основание
которого
-круги,
вписанные
в
основания
призмы,
а
боковая
поверхность
цилиндра
касается
боковых граней призмы.
3. Ось цилиндра совпадает с высотой призмы.
4. Радиус цилиндра равен радиусу окружности,
вписанного в основание призмы.
β
О1
Hц
О2
α
r

8. Конус, вписанный в цилиндр

1. Основание конуса совпадает с
нижним основанием цилиндра, вершина
конуса – центр верхнего основания
цилиндра.
2. Оси, высоти, радиусы цилиндра и конуса
совпадают.
О1
Задание:
Найти высоту описанного около конуса
цилиндра, если образующая конуса
наклонена кдплоскости основания подгглом
30º и равна 8 см.
8 см
Решение:
1. В прямоугольном треугольнике ∆ АОО1:
угол О1АО равен 30º, как угол между
наклонной и плоскостью основания.
2. Катет, лежащий против угла в 30º равен
половине гипотенузы.Значит, высота
цилиндра равна 8:2=4(см).
Ответ : 4 см.
А
30º
R
О

9.

Задание:
S
Высота правильной чотирехугольной
пирамиди 3см. Апофема наклонена
основания под углом 60°. Найти
радиус шара, вписанного в пирамиду.
Решение:
1. SO=H=6см - высота пирамиды;
О1- центр вписанного шара; О1О = r
- радиус вписанног шара;
<SМО=60º.
2. МО1 - биссектриса SМО, и
О1МО=30º.
3. Из прямоугольного
3
треугольника ОSM:
ОM=SOctg60°= (cм).
4. Из прямоугольного
треугольника
ОО1M:
ОО1=МOtg30°= 1(cм).
О1
О
60º
┐
M
Відповідь: r = 1см.

10.

Объемы тел вращения
1.Объем цилиндра равен произведению площади его основания на
высоту.
Vц= πR2H.
Vц= SоснH
2.Объем конуса равен одной третьей произведения площади основания на
Н
Sосн
высоту.
Vц= 1SоснH
Vц=
3
3.Объем шара
Н
4
Vш=
3
πR3.
R
1
πR2H.
3
Vкульового сектора
= 2 πR2H
3

11.

Высота конуса равна 6, а объём равен 144 . Найдите площадь полной
поверхности куба, вписанного в конус.
Шар объём которого равен 32 /3, вписан в конус. Найдите высоту конуса,
если радиус его основания равен 2 3.

12.

Задачи для самостоятельного решения
Найдите площадь поверхности шара, описанного
около конуса, у которого радиус основания
, а высота
равна
1В. 1
Ответ: 25
Радиус шара, описанного около куба, равен 3.
Найдите площадь поверхности куба.
Ответ:24
1В.2
В шар, площадь поверхности которого равна 100π,
вписан цилиндр. Найдите высоту цилиндра, если радиус
его основания равен 4.
Ответ: 8
2В.2
В шар вписан конус. Найдите высоту конус, если
радиус шара равен 5, а радиус основания конуса равен 4.
2В.1
Ответ: 6
30.08.2020
12

13.

Литература и используемые ресурсы
1. А.Я. Симонов, Д.С. Бакаев «Система тренировочных
задач и упражнений по математике»
2.
Шаблон с сайта http://aida.ucoz.ru
3. Рисунок слайда №5 с сайта:
http://festival.1september.ru/articles/502677/pril1.ppt
4. Рисунок слайда №3 с сайта http://ppt-mix.ru/_ld/44/4464__-____.ppt
5. Геометрия 10-11 учебник для общеобразовательных учреждений
/Л.С. Атанасян , В.Ф. Бутузов
30.08.2020
13

14. рефлексия

Как вы считаете, достигнута ли цель урока?
Какие теоретические знания вы использовали на уроке7?
На что необходимо обратить внимание во время выполнения
домашнего задания?
Довольны ли вы своей работой? Что она вым дала?