Тригонометрия на ЕГЭ. Профиль (1)

1.

Ох уж, эта
тригонометрия!
(Подготовка к ЕГЭ
по математике)

2.

Полезные советы при решении части 1
1
Прочитайте условие задачи. Если уверены, что умеете решать её – делайте
это сразу, если же есть сомнение, то переходите к следующей.
2
Решайте задачу не торопясь – обидно получить 0 баллов по
невнимательности или из-за описки.
3
Особое внимание уделите проверке выполнения арифметических
действий.
4
Если после второго прохода остались «белые пятна», не заполняйте их
«наугад». Постарайтесь вернуться к ним в конце всей работы.
5
Если вам кажется, что вопрос слишком прост, не ищите подвоха –
части 1 есть действительно простые вопросы.
6
В задачах части 1 полученный ответ часто можно проверить, подставив его
в исходную задачу, – сделайте это, если такая возможность есть.
7
На экзамене отсутствует справочный материал, поэтому постарайтесь
вспомнить (вывести) необходимые формулы и т.д.
в

3.

Полезные советы при решении части 2
1
После выполнения заданий части 1 сделайте небольшой перерыв,
отвлекитесь, а затем снова настройтесь на спокойную и вдумчивую работу.
2
Приготовьтесь к тому, что задачи этой части имеют «подводные камни».
3
Не забывайте о краткости записи решения при «полном» обосновании.

4.

Тригонометрия

5.

В чём ошибка?
cos x = 0,2, x = arccos 0,2 + 2Пn,
sin x = 0,2, x = (-1)ᵏarcsin 0,2 + Пn.
!!!

6.

!
!!
По мнению многих учеников, запись «n € Z» - избыточная.
В записи с использованием символа «±» теряется идея двух
серий решений тригонометрического уравнения.

7.

!!!
В формуле корней простейшего тригонометрического
уравнения sin t = a теряются идеи как двух серий решений
тригонометрического уравнения, так и периодичность
функции синус.

8.

Учимся решать!

9.

Тригонометрия на ЕГЭ
Решите уравнение
Задания В5
.
В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

10.

Тригонометрия на ЕГЭ
Найдите значение выражения
Задания В7
.

11.

Тригонометрия на ЕГЭ
Найдите
Задания В7

12.

Тригонометрия на ЕГЭ
Задания В12
Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по
закону
, где t — время в секундах. Кинетическая энергия
груза, измеряемая в джоулях, вычисляется по формуле
,
где m — масса груза (в кг), v — скорость груза (в м/с). Определите, какую
долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая
энергия груза будет не менее
Дж. Ответ выразите десятичной
дробью, если нужно, округлите до сотых.

13.

14.

Тригонометрия на ЕГЭ
Найдите точку минимума функции
,
принадлежащую промежутку
у'
у
.
0
Задания В14
-
0,5
+

15.

Тригонометрия на ЕГЭ
Найдите наибольшее значение функции
на отрезке
.
Задания В14

16.

Ура тестам!

17.

Найдите область определения выражения
При каких значениях х
имеет смысл выражения
.
.

18.

Укажите в каких
четвертях расположен ctg x , если
1и4
1и3
1и2
.
2и4
Укажите какие значения может принимать sin x ,
если у² = 4 sin x.
sin x > 0
sin x < 0
sin x 0
sin x 0

19.

Укажите какие значения может принимать tg x ,
если
.
tg x > 0
tg x < 0
tg x 0
tg x 0
Укажите в каких четвертях расположен cos x , если
3ʸ + 2cos x = 0.
1и4
1и2
2и3
3и4

20.

Хочу всё знать!
Задание С1

21.

Решить уравнение:

22.

Решите уравнение:

23.

Решите уравнение:

24.

25.

Чем мы хуже
МИОО?

26.

При каких значениях р имеет решения
уравнение 2 sin 2 x 2 p cos x 6 p 7 cos x 5
sin x 1
0.
Решение :
sin x 1 0, sin x 1, значит, sin x 1, cos х 0.
2 cos 2 x (2 p 7) cos x (6 p 3) 0,
cos x t , 1 t 1, 2t 2 ( 2 p 7)t (6 p 3) 0,
D (2 p 5) 2 0 при p R,
t1 p 0,5, t 2 3 не удовлетворяет 1 t 1.
1 p 0,5 1, 1,5 р 0,5,
Значит,
p 0,5 0;
р 0,5.
Ответ : р 1,5; 0,5) ( 0,5; 0, 5 .

27.

Всемирная паутина
на службе у ЕГЭ!

28.

http://avangard-school.nm.ru/
http://www.ctege.org/content/category/15/67/48/
http://rsr-olymp.ru/splash/
http://www.alleng.ru/edu/phys1.htm
http://alexlarin.narod.ru/ege.html
http://ege.stavedu.ru/
http://mathgia.ru:8080/or/gia12/
http://mathege.ru/or/ege/Main
http://shpargalkaege.ru/
http://pedsovet.su/
http://ege.do.am/news/shpargalka_dlja_ekzamena/2010-12-18-160
http://pedsovet.org/
http://www.openclass.ru/
http://1september.ru/
http://festival.1september.ru/
http://edu.1september.ru/
http://portfolio.1september.ru/
http://www.mcppomsk.ru/index.php?option=com_content&view=article&i
d=1&Itemid=1
http://le-savchen.ucoz.ru/

29.

Какое из данных уравнений не имеет
решений?
1) cos (2x – π) =
5
3
3) ctg x = 3;
Ответ: 4.
; 2) sin 0,3x
3
= 3 ;
10
4) 2sin x· cos x =
.
3

30.

Решите уравнение:
2 sin² x – sin x – 1 = 0.
2
2 n, n ; ( 1)
k
6
k , k

31.

Кот в мешке
Выберите среди данных уравнений однородное
уравнение первой степени и решите его:
1) сos x – sin 3x = 0;
2) cos x – 3sin x = 0;
3) cos x – 3sin x = 2;
4) cos² x – 3sin x = 0.
cos x – 3sin x = 0

32.

Решите уравнение:
4sin² x + 5 sin x cos x + cos² x = 0.
1
x n, n ; x arctg k , k
4
4

33.

Даны неравенства:
cos x >0, sin x 0,
sin x -0,5.
Укажите какое-либо число, удовлетворяющее
всем трём неравенствам одновременно.

34.

Решите уравнение sin 2x – 3 cos x = 0.
2 sin x cos x 3 cos x 0,
cos x (2 sin x 3) 0,
cos x 0
x
2
или
n, n
2 sin x 3 0,
sin x 1,5 решений нет.
Ответ :
2
n, n .

35.

Найдите наименьший корень уравнения
2cos² x = 1 + sin x.
2(1 sin 2 x) 1 sin x,
2 sin 2 x sin x 1 0,
sin x 1
1
sin x ,
2
или
Наименьший положительный корень х .
6

36. При каких значениях х значения функции равно 0?

При каких значениях х значения функции
x
x
f ( x) 4 sin cos 1
2
2
равно 0?
x
x
1
4 sin cos 1 0, 2 sin x 1, sin x ,
2
2
2
x ( 1)
k
6
k , k

37.

Выберите уравнение, которое имеет решение,
показанное на единичной окружности:
1) tg x = 1;
2) sin x = 0;
1
3) сos x = 2 ;
3
4) sin x =
.
2

38.

Вопрос от учителя
Какая ошибка допущена в решении уравнения?
tg ( 2 x
2x
2x
x
4
3
24
4
) 3,
arctg 3 n, n ,
4
n, n ,
2 n, n .

39.

Аукцион
Укажите на тригонометрической окружности все точки,
удовлетворяющие неравенству: sin x > 0,5.

40.

Какой корень уравнения
х
cos = 1 принадлежит отрезку [ -π; π]?
2
х=0

41.

При каких значениях а уравнение
sin² x – (a + 3) sin x + 3a = 0
не имеет решений?
2
Пусть sin x t , t 1. t (a 3) t 3a 0.
D (a 3) 0 при а R, t1 3, t 2 a.
2
Значит, уравнение не будет иметь корней
при а ( ; 1) (1; ).

42.

Кот в мешке
Найдите значения х, при которых график функции
у 2 cos х 1 лежит выше оси х.
2 cos х 1 0, cos x
1
2
,
4
2 n x
4
2 n, n

43.

Как, не решая уравнения ctg 2 x 1
1
sin 2 x
,
определить, какая серия является решением?
1)
2
n, n
3) n, n
1)
2) 2 n, n
4)
n
2
, n

44.

Найдите все х, обращающие в нуль произведение
2
функций у cos x
2
и
у sin 4 x .
2
cos x
sin 4 x 0,
2
cos x
2
2
или
sin 4 x 0
4 x n, n
x
n
4
, n

45.

Вопрос от учителя
Решите неоднородное уравнение второй степени
2sin² x – 5 sin x cos x + 5 cos² x = 1.
2 sin 2 x 5 sin x cos x 5 cos 2 x sin 2 x cos 2 x,
sin 2 x 5 sin x cos x 4 cos 2 x 0, разделим на cos 2 x,
tg 2 x 5 tg x 4 0,
tg x 1
x
4
n, n
или
tg x 4
x arctg 4 m, m

46.

Решите уравнение sin² x + cos 2x = b, если
одно из его решений
6
.
2 1 1 3
b sin
cos
.
6
6 4 2 4
3 1 cos 2 x
3
2
sin x cos 2 x ,
cos 2 x ,
4
2
4
2
2 2 cos 2 x 4 cos 2 x 3,
2x
3
2 n, n , x
6
1
2 cos 2 x 1, cos 2 x ,
2
n, n

47.

Решите уравнение cos x + sin x = cos 3x.
(cos 3 x cos x) sin x 0,
2 sin 2 x sin x sin x 0,
sin x ( 2 sin 2 x 1) 0,
sin x 0
x n, n
или
1
sin 2 x
2
2 x ( 1)
x ( 1)
k 1
k 1
6
12
k , k ,
k
2
, k

48.

Решите уравнение
2 sin x 2 0,
2 cos 2 0;
2 sin x 2
2 cos 2
sin x
cos x
x 2 n, n
4
2
,
2
2
2
0 .

49.

СУПЕРИГРА
Решите уравнение 1 tg x x
2
1 tg 2 x x 2 4 x 2 ,
2 x 2
2
3
n 2
6
6
n
3
3
n 0, x
3
2
tg 2 x 3,
2 x 2
2
3
4 x
x
n, n ,
3
2 x 2
n 2
6
6
n
3
3
n 0, x
2
3
2
.

50. М о л о д ц ы ! ! !

Молодцы!!!