Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

1.

Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия

2.

Бесконечно убывающие
геометрические прогрессии
Стороны квадратов:
1
1
11 1
1
q = <1
1
; ; 2; 3;...;
__;...
n
1
2
22 2 2
n→
∞
;a→
0
1
1
1
=
=
;
_
14
n1
2
16384
2
1
1
1
n=20
, n_1 = 19 =
;
2
524288
2
1
1
1
n=21
, n_1 = 20 =
.
2
1048576
2
1/2
n=15
,
1/4
1/8
1/8
1/4
1/2
1 Площади квадратов:
11 1
1
1
1
; ; 2; 3;...;
q = <1
__;...
n
1
44 4 4
4
n→
∞
;S→
0

3.

Бесконечно убывающие
геометрические прогрессии
Последовательность длин сторон треугольников:
11 1
1
1
; ; 2; 3;...;
__;...
n
22 2 21
1см
q=
1
<1
2
n→
∞
;a→
0
_ 1
q= ;
3
__
__
n
1
1
1__
1 (1
)
1
;__
;2
; 3
;...;
__;..
n
1
3
3 3 3
1 1 __
1
b
=
1
,
b
=,
b
=
,
b
=
1
2
3
4
3
9
27
__
q <1
Опр. Геометрическая прогрессия называется бесконечно
убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

4.

Сумма бесконечной убывающей геометрической
прогрессии при |q|<1.
111 1 1
; ; ; ; ;...
24816
32
111 1 1
+++ + +
...
=
1
24816
32
111
1
S
...
+n.
n=+++
24 8
2
_
(0
)n _ 1
11
,5
S
=
1n
n=
1
2 _
2
1
2
1
_ 1
n→
∞
, n→
0 , то (1 n ) →1
2
2
, т.е.
Sn → 1.

5.

Сумма бесконечной убывающей
геометрической прогрессии при |q|<1.
Опр. Суммой бесконечно убывающей геометрической
прогрессии называют число, к которому стремится сумма её
первых n членов при n →
∞
_
n
(
)
b
1
q
b
b
1
1_
1 n
S
=
.
S
=
q
.
_
_
n
n _
1
q
1
q
1
q
b
1n
то q
при n
Поэтому
q
<
1
,
→
0
,
→
∞
.
q
→
0
_
1
q
n
b1
S= _
1 q
q <1

6.

Бесконечно убывающая геометрическая
прогрессия
Опр. Геометрическая прогрессия называется бесконечно
убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.
q <1
Формула суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии
b1
S= _
1 q
1). Является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей,
если: b7= -30; b6= 15 ?
2). Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
-25; -5; -1;…
3). Записать бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(9) в виде
обыкновенной дроби.

7.

самопроверка
1). Является ли геометрическая прогрессия бесконечно
убывающей, если: b7= -30; b6= 15 ?
b
30
_
7_
Г.П. не является бесконечно
q
== =
2
;_
2
>
1
,
⇒
b
15
убывающей
6
2). Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
-25; -5; -1;…
_
b
1
25
125
_
_
_ 1
1
S
=
;
b
=
25
;
q
=
;
S
== =
31
_
1
1
1
q
5 _
4 4
1
5
3). Записать бесконечную десятичную периодическую дробь
0,(9) в виде обыкновенной дроби.
9 9 9
)
0
,(
9
= +2+3+
...
10
10
10
1 b
0
,
9
0
,
9
1
(
)
q
=
;
S
=
;
S
=
=
1
.0
,
9
=
1
_
_=
10
1
q1
0
,
1
0
,
9