Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

1.

17.11.2021

2.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один
квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё
один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д.
Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.

3.

С помощью этого рисунка можно рассмотреть и
ещё одну последовательность.
Например,
последовательность
площадей квадратов:

4.

Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим
следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го
треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона
2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине
стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин
сторон треугольников.
n
1
0
n
2

5.

определение:
Геометрическая прогрессия называется
бесконечно убывающей, если модуль её
знаменателя меньше единицы.
q 1

6.

Задача №1
Является ли последовательность бесконечно
убывающей геометрической прогрессией, если
она заданна формулой:
10
а )bn n
7
б)bn 4
n 2
Решение: а)
b1
10
7
10
b2
49
10 10 1
q
:
49 7 7
1
1
7
данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.
б)
данная последовательность не является бесконечно убывающей
геометрической прогрессией.

7. Задача №1

1
lim n 0
n 2
1
lim 1 n 1
n
2
lim S n 1
n

8.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии
есть предел последовательности S1, S2, S3, …, Sn, … .
1 1 1
1
1
,
,
,
,...,
гдеb
1
,
q
Например, для прогрессии
1
3 9 27
3
имеем
Так как
n
1
1 1
1 2
1 1 7
3 3 3 1 n
S1 1, S 2 1 , S3 1 ,..., S n
,...
3 3
3 9 9
4 4 3
1
1
3
n
3
1
lim 0, то lim S n .
n
n
4
3
Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии
можно находить по формуле
S
b1
1 q

9.

Выполнение заданий
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической
прогрессии с первым членом 3, вторым 0,3.

10. Выполнение заданий

Ответить на вопросы
• С какой последовательностью сегодня
познакомились?
• Дайте определение бесконечно
убывающей геометрической прогрессии.
• Как доказать, что геометрическая
прогрессия является бесконечно
убывающей?
• Назовите формулу суммы бесконечно
убывающей геометрической прогрессии.