آزمون فرضیه 1

1.

2.

‫دربحثهای آمار استنباطی میخواهیم نتایج حاصل از‬
‫نمونه را به جامعه تعمیم دهیم ‪ .‬این کاربه دو‬
‫شیوه انجام میشود‪:‬‬
‫• ‪-1‬‬
‫• ‪-2‬‬
‫برآورد‬
‫آزمون فرضیه (آزمون فرض)‬
‫• همانطورکه از طریق برآورد ‪،‬‬
‫میتوان نتایج حاصل ازنمونه را به‬
‫جامعه تعمیم داد‪،‬توسط آزمون‬
‫فرضیه نیز نتایجی از نمونه را‬

3.

‫فرضيه چيست ؟‬
‫فرضيه‬
‫ً‬
‫معموال از‬
‫‪ :‬تفکری است در مورد ارتباط يا تاثير پذيری يک عامل از ديگر عوامل که‬
‫مشاهده پديده هاي ی در طبيعت حاصل می شود‪ .‬فرضيه را می توان‬
‫پيش فرضی در مورد پارامترهای جامعه است‪.‬‬
‫مثال ‪ :‬به نظر می رسد که شيوع بيماريهای غير واگير‬
‫در مقايسه با بيماريهای واگير دار ‪:‬‬
‫کمتر شده است‬
‫بيشتر شده است‬
‫تفاوت ندارد‬

4.

‫فرض صفر چيست ؟‬
‫•در هر آزمون آماری يک فرض اوليه وجود دارد که آنرا فرضيه‬
‫صفر می گويند و معموالً آنرا با‬
‫•‪ H0‬نمايش می دهندو به عنوان فرضيه مورد آزمون در نظر گرفته می شود‪.‬‬
‫•فرض صفر را به يکی از سه حالت‬
‫‪H 0 : 0‬‬
‫‪H 0 : 0‬‬
‫‪Ho : 0‬‬
‫نمايش می دهند‪.‬‬
‫•انتخاب فرض صفر به مسئله مورد بررسی بستگی دارد‪.‬در واقع غالبا ً فرضيه صفر همان فرضيه ای است‬
‫که غلط بودن آنرا می خواهيم به اثبات برسانيم (در آزمون يک طرفه خالف ادعای محقق)‬
‫•حالت تساوی هميشه در فرض صفر قرار دارد ‪.‬‬

5.

‫فرض مقابل چيست ؟‬
‫•در مقابل فرضيه صفر فرض يا گروهی از فرضيه های مخالف وجود دارد به نام فرض‬
‫مقابل که آنرا‬
‫با ‪ H1‬نمايش می دهيم‪.‬‬
‫•فرض مقابل را به يکی از سه حالت‬
‫نمايش می دهند‪.‬‬
‫‪H 1 : 0‬‬
‫‪H 1 : 0‬‬
‫•در عبارت رياضی فرض مقابل هيچ وقت حالت تساوی وجود ندارد‬
‫•نتيجه آزمون تائيد يا عدم تائيد فرض صفر است‪.‬‬
‫‪H1 : 0‬‬

6. آزمون فرضيه

‫آزمون فرضيه‬
‫• آزمون فرضيه ‪ :‬قاعده ای است که به وسيله آن مشخص‬
‫ميشود آيا نمونه مورد مطالعه از نظر منطقی با فرضيه‬
‫مورد نظر مطابقت دارد يا خير ؟‬

7.

‫مراحل انجام آزمون فرضيه‬
‫جامعه‬
‫فرض صفر ‪:‬‬
‫آيا ميانگين سن‬
‫در اين جامعه ‪ 50‬است؟‬
‫ميانگين سن در نمونه‬
‫محاسبه می شود‬
‫نمونه‬
‫آيا می توان پذيرفت که اين‬
‫ميانگين نمونه از جامعه‬
‫ای با ميانگين ‪ 50‬باشد؟‬
‫نتيجه ‪ :‬رد فرض صفر يا‬
‫قبول فرض صفرمی باشد‬

8.

‫انواع خطا در ازمون فرض‬
‫نتيجه ازمون فرض تصميم گيری در مورد رد يا عدم رد فرض صفر می باشد‪.‬‬
‫اين نوع قضاوت ممکن است با دو نوع خطا همراه باشد ‪:‬‬
‫•ممکن است فرض صفر درستی را نادرست بدانيم‬
‫(اشتباه نوع اول که با‬
‫نمايش می دهيم )‪ ‬‬
‫•ممکن است فرض صفر نادرستی را درست بدانيم‬
‫(اشتباه نوع دوم که با‬
‫نمايش می دهيم‪) ‬‬

9.

‫خطا ها در آزمون فرض‬
‫واقعيت‬
‫فرض صفر درست‬
‫نيست‬
‫فرض صفردرست‬
‫است‬
‫تصميم‬
‫خطای نوع دوم‬
‫قضاوت صحيح‬
‫عدم رد فرض صفر‬
‫قضاوت صحيح‬
‫خطای نوع اول‬
‫رد فرض صفر‬

10.

‫سطح معنا داری ‪ ، ‬نقطه بحرانی و ناحيه رد فرض صفر‬
‫آزمون يک دامنه‬
‫‪Ho : 0‬‬
‫‪Ho : 0‬‬
‫‪H1 : 0‬‬
‫‪H 1 : 0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫نقطه بحرانی‬
‫آزمون دو دامنه‬
‫‪Ho : 0‬‬
‫‪H1 : 0‬‬
‫‪ /2‬‬
‫‪ /2‬‬
‫ناحيه رد‬

11.

‫مراحل انجام ازمون فرضيه‬
‫‪ - 1‬بررسی شرايط مسئله از نظر ‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫ايا توزيع جامعه نرمال است يا حجم نمونه به اندازه ای بزرگ است که بتوان از تقريب نرمال استفاده کرد‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫ايا واريانس جامعه معلوم است؟‬
‫‪.‬‬
‫در بررسيهای دو نمونه ای ايا مشاهدات مستقلند يا وابسته ؟‬
‫‪ - 2‬تعيين ‪ H0‬و ‪H1‬‬
‫‪ -3‬تعيين مالک ازمون و توزيع ان و محاسبه مقدار ان بر اساس مشاهدات‬
‫‪-4‬مشخص کردن نقاط بحرانی و ناحيه رد و عدم رد ‪H0‬‬
‫‪-5‬مقايسه مقدار محاسبه شده با نقاط بحرانی و تصميم گيری در مورد رد يا عدم رد فرض صفر‬

12.

‫مالک آماری برای آزمون اختالف ميانگين جامعه با يک عدد مشخص ( ‪) 0‬‬
‫‪ -1‬هنگامی که‬
‫‪ ‬‬
‫معلوم باشد‬
‫مالک آزمون عبارت است از ‪:‬‬
‫‪X 0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ -1‬هنگامی که‬
‫‪ ‬‬
‫نامعلوم باشد‬
‫مالک آزمون عبارت است از ‪:‬‬
‫‪Z ‬‬
‫‪X 0‬‬
‫‪t s‬‬
‫‪n‬‬

13.

‫مثال‬
‫ميانگين وزن نوزادان در جامعه ای ‪ 2800‬گرم است‪.‬محققی معتقد است که با رژيم غذايی‬
‫خاصی می توان ميانگين وزن نوزادان را افزايش داد‪.‬به اين منظور ‪ 64‬نفر از مادران‬
‫باردار را انتخاب کرده و تحت رژيم غذايی خاص قرار داده است‪.‬در پايان تحقيق متوسط‬
‫وزن نوزادان‪ 2860‬گرم با انحراف معيار ‪ 200‬گرم به دست آمده است‪.‬آيا اين تحقيق‬
‫ادعای محقق را تائيد می کند ؟‬

14.

‫شرط توزيع تقريبی نرمال با توجه به خاصيت قضييه حد مرکزی برقرار است ‪.‬‬
‫واريانس جامعه نامعلوم است‬
‫‪Ho : 2800‬‬
‫‪H 1 : 2800‬‬
‫‪X 0 2860 2800‬‬
‫‪t s‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 2.4‬‬
‫‪200/ 64‬‬
‫‪n‬‬
‫‪t(60),(0.95) 1.671 2.4 RH0‬‬

15.

‫مثال ‪:‬‬
‫بر اساس تجربيات گذشته در منطقه ای می دانيم که وزن افراد ‪ 18‬تا ‪ 13‬ساله‬
‫دارای ميانگين ‪ 50‬با انحراف معيار ‪ 5‬کيلو گرم است‪.‬از اين جمعيت ‪ 100‬نفر‬
‫در سنين فوق را به عنوان نمونه انتخاب و ميانگين وزن آنها ‪54‬‬
‫کيلو گرم‬
‫به دست می آيد‪ .‬آيا نتايج به دست آمده تجربيات گذشته را تائيد می کند؟‬

16.

Ho : 50
H 1 : 50
X 0
Z
54
50
8
n 5/ 100
z(0.975) 1.96 8 RH0

17.

‫‪P value‬‬
‫•‬
‫اندازه احتمالی است که با آن در مورد رد فرض صفر‬
‫تصميم می گيريم ‪.‬‬
‫اگر ‪P value < ‬‬
‫آنگاه فرض صفر رد ميشود‬
‫چگونگی محاسبه ‪ :‬در ازمون يک دامنه مقدار مساحت سمت چپ يا سمت راست اماره ازمون می باشد‪.‬‬
‫در ازمون دو دامنه اين مقدار در دو ضرب می شود‪.‬‬

18.

‫‪p Value‬‬
‫‪p Value‬‬
‫‪ = 0.05‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪0‬‬
‫مقدار آماره آزمون‬
‫نتيجه اين آزمون تائيد فرض صفر است‪.‬‬

19. P-value محاسبه

‫محاسبه ‪P-value‬‬
‫‪Ho : 170‬‬
‫اگر درآزمون فرض‬
‫‪H 1 : 170‬‬
‫يک بررسی از ‪ 400‬نمونه مقدارميانگين ‪ 178‬با انحراف معيار ‪ 65‬به دست آمده باشد‬
‫مقدار ‪ P-value‬را به دست آوريد‪.‬‬
‫)‪P( x 178 when 170‬‬
‫‪178 170‬‬
‫‪ P( z ‬‬
‫)‬
‫‪65 400‬‬
‫‪ P( z 2.4615 ) .0069‬‬
‫‪The p-value‬‬
‫‪x 178‬‬
‫‪ x 170‬‬

20.

‫محاسبه ‪ p-value‬برای مثال رژيم غذايی‬
‫‪P(Z 8) 0.001‬‬

21.

‫آزمون اختالف يک نسبت با يک‬
‫مقدارمشخص‬

22.

‫نمادگزاری‬
‫نسبت مورد نظر در جامعه (مجهول و ثابت )‬
‫نسبت برآورد شده از نمونه (معلوم ومتغير)‬
‫نسبت تحت فرض صفر‬
‫‪X‬‬
‫‪ps ‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪p(1 p‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪σ ps‬‬
‫‪μp s p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪Ps‬‬
‫‪p0‬‬

23. شرط استفاده از آزمون

‫شرط استفاده از آزمون‬
‫الزم است‬
‫‪X‬‬
‫و‬
‫‪ n x‬هر دو حداقل ‪ 5‬باشند تا‬
‫شرط توزيع تقريبی نرمال برای ‪ Ps‬برقرار باشد‪.‬‬
‫فرضيات‬
‫‪H0: p = p0‬‬
‫‪H1: p p0‬‬

24. آماره آزمون

‫آماره آزمون‬
Z
p s p0
p0 (1 p0 )
n

25. مثال

‫مثال‬
‫نسبت کم وزنی در منطقه ای ‪ %8‬گزارش شده است‪.‬‬
‫محققی مدعی است تغييرات الگوی مصرف خانوارموجب‬
‫تغيير در اين شاخص شده است‪ .‬در اين رابطه با بررسی‬
‫‪ 500‬زايمان تعداد ‪ 25‬مورد کم وزنی نوزادان مشاهده‬
‫گرديد‪.‬‬
‫ادعای محقق را در سطح خطای ‪ %5‬آزمون و مقدار ‪ p‬را‬
‫محاسبه کنيد‪.‬‬

26.

‫‪H0: p = 0.08‬‬
‫‪H1: p 0.08‬‬
‫آماره آزمون ‪:‬‬
‫‪.05 .08‬‬
‫‪ 2.47‬‬
‫)‪.08(1 .08‬‬
‫‪500‬‬
‫‪ps p 0‬‬
‫‪ ‬‬
‫) ‪p 0 (1 p 0‬‬
‫‪n‬‬
‫ناحيه رد‬
‫ناحيه رد‬
‫‪.025‬‬
‫تصميم گيری ‪:‬رد فرض صفر‬
‫‪z‬‬
‫‪.025‬‬
‫‪1.96‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-1.96‬‬
‫‪-2.47‬‬
‫‪Z ‬‬

27.

‫ محاسبه‬p-value
H0 ‫قبول‬
H0 ‫رد‬
/2 = .025
H0 ‫رد‬
/2 = .025
.0068
.0068
-1.96
Z = -2.47
0
1.96
Z = 2.47
P(Z 2.47) P(Z 2.47)
2(.0068) 0.0136
p-value = .0136 < = .05
p-value = .0136:
‫فرض صفر رد می شود زيرا‬

28.

‫آزمون اختالف نسبت در دوجامعه‬

29.

‫بررسی شرايط مسئله‬
‫نمونه ها مستقل از هم باشند‬
‫توزيع متغيرها دو جمله ای باشد‬
‫حجم نمونه ها آنقدر بزرگ باشد که فرض نرمال بودن برقرار‬
‫شود‪ .‬در عمل بايد ‪:‬‬
‫] ‪[ x1 5 , (n1 x1 ) 5 ] [ x2 5 , (n2 x2 ) 5‬‬

30.

‫آماره آزمون‬
‫) ‪( p s1 p s2 ) ( p1 p2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪p (1 p ) ‬‬
‫‪ n n ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫برآورد ادغام شده نسبتها در جامعه‬
‫‪Z ‬‬
‫‪X1 X 2‬‬
‫‪p ‬‬
‫‪n1 n2‬‬
‫تعداد موفقيت در نمونه اول = ‪X1‬‬
‫تعداد موفقيت در نمونه دوم = ‪X2‬‬

31. فرضيات

‫فرضيات‬
‫سوال تحقيق‬
‫فرضيات‬
‫تفاوت وجود ندارد‬
‫تفاوت وجود دارد‬
H0
p1 - p2 = 0
H1
p1 - p 2 0
Prop 1 Prop 2 Prop 1 Prop 2
Prop 1 < Prop 2 Prop 1 > Prop 2
p1 - p2 0
p1 - p 2 < 0
p 1 - p2 0
p1 - p2 > 0

32. مثال

‫مثال‬
‫در بررسی نظرات دو بخش کارگری و کارمندی يک سازمان در‬
‫مورد يک روش آموزش حين خدمت در بخش کارمندان از‬
‫‪ 78‬کارمند ‪ 63‬نفر با آن روش موافق و در بخش کارگران از‬
‫‪ 82‬نفر ‪ 49‬نفر با آن روش موافق بوده اند‪.‬آيا اختالفی ميان‬
‫نسبت نظر موافق در دو گروه وجود دارد؟ در سطح خطای‬
‫‪ 01/0‬قضاوت کنيد‪.‬‬

33. فرضيات و شرايط آزمون

‫فرضيات و شرايط آزمون‬
‫‪H0: p1 - p2 = 0‬‬
‫‪H1: p1 - p2 0‬‬
‫‪n1 = 78‬‬
‫‪n2 = 82‬‬
‫در هر دو نمونه‬
‫‪63‬‬
‫‪= .808‬‬
‫‪78‬‬
‫‪49‬‬
‫‪= .598‬‬
‫‪82‬‬
‫= ‪p‬‬
‫‪S1‬‬
‫= ‪p‬‬
‫‪S2‬‬
‫‪np 5‬‬
‫‪n (1 - p) 5‬‬

34. مقدارآماره آزمون

‫مقدارآماره آزمون‬
Z
( p s1 p s2 ) ( p1 p2 )
1
1
p (1 p )
n n
2
1
(.808 .598) 0
1
1
(.70)(. 30)
82
78
2.90
X 1 X 2 63 49
p
.70
n1 n2
78 82

35. نقاط بحرانی و ناحيه رد

‫نقاط بحرانی و ناحيه رد‬
Reject H0
P-value/2
Reject H0
P-value/2
-2.90 0 2.90 Z

36. تصميم گيری

‫تصميم گيری‬
‫‪Z 2.90‬‬
‫‪ :‬مقدارآماره‬
‫‪P-value = 0.0037‬‬
‫رد فرض صفر‬
‫‪ :‬تصميم گيری‬
‫نتيجه گيری ‪ :‬اختالف ميان نظر دو گروه کارکنان در مورد‬
‫روش آموزش معنی دار است‪.‬‬