Вычисление пределов функции в точке

1.

IV. Вычисление пределов функции в точке
Для вычисления пределов функции в точке используют те же правила, что и для вычисления
предела на бесконечности.
1. Если функция существует в точке x = a, то ее предел равен f(a) (поэтому просто
подставляем значение а в формулу функции).
Примеры:
1 lim x 3 2x 2 5x 3 13 2 12 5 1 3 7
x 1
2 lim
sin πx
3)
x 5 x 8 x 3
2 1
.
2
2
x x 4
lim ( x x 4) 10 5
x 4
x 2
2
lim
x 3
sin 2π
2 4
0
2 4
lim ( x 2 5 x 8)
x 3
0

2.

IV. Вычисление пределов функции в точке
2. Если функция не существует в точке x = a, то подстановку выполнять нельзя. Для дробнорациональных функций используют следующий прием: сокращение числителя и знаменателя на
(х – а).
При разложении на множители используются формулы сокращенного умножения, вынесение за
скобку, группировка, формула для квадратного трехчлена а(х - х1 )(х - х2 ), домножение на
сопряженный множитель и т.д.
1)
( x 5)
( x 1)( x 5)
x2 4x 5
-3
2) lim 2
lim
lim
x 1 ( x 1)( x 3)
x 1 x 4 x 3
x 1 ( x 3)
4 1
( x 2)
( x 2)( x 2)
x2 4
lim
3) lim 3
lim
2
2
x 2 ( x 2 x 4)
x 2 ( x 2)( x 2 x 4)
12 3
x 2 x 8

3. Следующие пределы вычислите самостоятельно:

x2 5x 6
lim
2
1. x 1 2 x 3x 5
2 x3 2 x 2
lim
3. x 0 6 x 3 4 x 2
x 2 4 x 21
lim 2
5. x 3 3x 8 x 3
2 x2 7 x 4
lim 2
7. x 0,5 6 x 7 x 2
4 x 2 11x 3
2. lim
x 3
x 3
t 2 6t 9
2
4. lim
tx 3 t t 6
2
5
a
9a 2
6.
lim
2
ax 2 3a 5a 2
x 2 8 x 15
8.
lim
x 5
x 2 25

4.

Вычислите пределы функций на бесконечности:
x4 4x 2
2
1. lim
x 5 x 3 x 1
3x
2. lim x 2 3x 7
x
3.
4.
lim
x
x4 4x2 7
x2 4x 3
6 x 3 3x 2 x 1
lim
2 x 3 x 13
x