Понятие предела функции в точке. Теоремы о пределах

1. Понятие предела функции в точке. Теоремы о пределах

2. Предел функции

–
одно
из
основных
понятий
математического анализа. Понятие предела использовалось
еще Ньютоном во второй половине XVII века и математиками
XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали
предел интуитивно. Первые строгие определения предела дали
Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.
Ньютон
Эйлер
Лагранж
Больцано
Коши

3.

Рассмотрим функции, графики
которых изображены на следующих
рисунках:
y = f (x)
y = f (x)
y = f (x)
Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, но все
же изображают они три разные функции, отличающиеся друг
от друга своим поведением в точке
x= a .
Рассмотрим каждый из этих графиков подробнее:

4.

Для функции
y = f (x) ,
график которой изображен на
y = f (x)
этом рисунке, значение f (a )
не существует, функция
в указанной точке не
определена.

5.

Для функции
y = f (x)
график которой изображен
, на
этом рисунке, значение f (a )
существует, но оно
отличное от, казалось бы,
y = f (x)
естественного значения
точка (a, b) как бы
выколота.
b,

6.

Для функции
y = f (x) ,
график которой изображен на
этом рисунке, значение f (a )
y = f (x)
существует и оно вполне
естественное.

7.

Для всех трех случаев используется одна и
та же запись:
lim f ( x) = b,
x→а
которую читают: «предел функции y = f (x) при
стремлении x к a равен b ».
Опр. Число b называется пределом
функции в точке а, если для всех
значений х, достаточно близких к а и
отличных от а, значение функции
f (x) сколь угодно мало отличается
от b .

8.

lim ( f ( x) ± g ( x)) = lim f ( x) ± lim g ( x)
x→x0
x→x0
x→x0

9.

lim C = C
x → x0

10.

lim ( f ( x) * g ( x)) = lim f ( x) * lim g ( x)
x→ x0
x→ x0
x→ x0

11.

lim f ( x)
f ( x ) x → x0
lim
=
, если lim g ( x) ≠ 0
x → x0 g ( x )
x → x0
lim g ( x)
x → x0

12.

lim (k * f ( x)) = k * lim f ( x)
x → x0
x→ x0

13.

lim ( z ) = (lim z)
n
x →a
x →a
n

14. Вычисление пределов

Вычисление
lim f ( x) = A
x → x0
предела:
начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x).
Если при этом получается конечное число, то предел равен этому
числу.
3x - 1
lim 2
x →1 x
3 *1 - 1
= 2 =2
1
Если при подстановки предельного
значения x0 в функцию f(x) получаются
выражения вида:
то предел будет равен:
C
=∞
0
C
=0
∞

15.

7
3
Домой (4 примера):
1
3
1,4

16.

Часто при подстановке предельного значения x0 в
функцию f(x) получаются выражения следующих
видов:
0 ∞
; ;
0 ∞
Эти выражения называются
а
вычисление пределов в этом случае называется
.

17.

• В большинстве случаев,
чтобы раскрыть
0
неопределенность вида
,
0

18.

2
3x - 2 x
0
lim 2
=
x →0 2 x - 5 x
0
Разложим числитель и знаменатель на
множители:
x(3x - 2)
3x - 2 2
lim
= lim
=
x →0 x(2 x - 5)
x →0 2 x - 5
5

19. Вернемся к примеру

0
-4
Домой (№5,6,7):
-1,5
4x
lim 2
x →0 3 x + 2 x
26.09.2017
19

20. Раскрытие неопределенностей

x +14 x - 32
(
x - 2)(x +16)
lim 2
= lim
x →2 x - 6 x + 8
x →2 (x - 2)(x - 4)
x +16 18
= lim
= = -9
x →2 x - 4
-2
2
Если f(x) – дробно –
рациональная функция,
необходимо разложить на
множители числитель и
знаменатель дроби
(
) (
)
x +1 +1
x +1 - 1 = lim x +1 - 1
lim
x →0
x
x +1 +1
x →0
x
Если f(x) – иррациональная
дробь, необходимо
умножить
x +1 - 1
1
1
= lim
= lim числитель и знаменатель
=
x →0 x
x →0 дроби
на1выражение,
x +1 +1
x +1 +
2
(
)
(
)
сопряженное числителю.

21. Упражнения (13 примеров):

x +1
lim 2
x →-1 x +1
3
x - 3 x +1
lim
+1
x →0
x-4
3
x 2 - 5x +10
lim
x →5
x 2 - 25
4 x 3 - 3x 2
lim
2
x →0 2 x + 5
(
lim
1- x2
lim
2
x →0 1+ 2 x
(
x→4
)
lim 2 x 2 - 3x + 4
x →2
)
x +1
x -1
2 x3 - 2 x 2
lim 3
2
x →0 5 x - 4 x
x -3
lim 2
x →3 x - 9
x - 6x +5
lim
x →5
x 2 - 25
2
6- x
lim
x →6 3 - x + 3
2 x 2 + x - 15
lim 2
x →-3 3x + 5 x - 12
lim [(7 x + 2)(4 x - 3)(5 x +1)]
x →1

22. Домашнее задание (№8-11):

+ знать ответы на следующие
вопросы:
1) С какими математиками связано
понятие «Предел»?
2) Как вычислить предел?
3) Как раскрыть неопределенность
вида 0/0?
4) Как раскрыть неопределенность
вида 0/0, если f(x) –
иррациональная дробь?
5) Уметь формулировать теоремы.

23. Дополнительно

26.09.2017
23