Similar presentations:
Понятие предела функции в точке
1. Понятие предела функции в точке
2. Основные вопросы:
• Определение предела функции в точке,бесконечно малой и бесконечно большой
функции в точке. Связь между
б/малыми и б/большими функциями в
точке.
• Основные теоремы о пределах функций
(суммы, произведения и частного).
16.09.2019
2
3. Предел функции
–одно
из
основных
понятий
математического анализа. Понятие предела использовалось
еще Ньютоном во второй половине XVII века и математиками
XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали
предел интуитивно. Первые строгие определения предела дали
Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.
4.
Рассмотрим функции, графикикоторых изображены на следующих
рисунках:
y f (x)
y f (x)
y f (x)
Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, но все
же изображают они три разные функции, отличающиеся друг
от друга своим поведением в точке
x a .
Рассмотрим каждый из этих графиков подробнее:
5.
Случай 1.lim f ( x) A
А
x a
f (a) не существует
6.
Случай 2.lim f ( x) A
А
x a
f (a) А
7.
Случай 3.lim f ( x) A
А
x a
f (a) А
В этом случае говорят, что функция непрерывна в точке а
8.
Для всех трех случаев используется одна ита же запись:
lim f ( x) b,
x а
которую читают: «предел функции y f (x) при
стремлении x к a равен b ».
Содержательный смысл этой фразы следующий: если значения
аргумента выбирать все ближе и ближе к значению
x a, то значения функции все меньше и меньше
отличаются от предельного значения b.
Или можно сказать так: в достаточно малой окрестности
точки a справедливо приближенное равенство:
f ( x) a
При этом сама точка
x a исключается из рассмотрения.
9. Предел функции в точке
Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0,кроме, быть может самой точки x0.
Число А называют пределом функции в точке x0 (или при x x0),
если для любого положительного ε найдется такое положительное
число δ, что для всех х из δ – окрестности точки x0 справедливо
неравенство:
f (x) A
0; 0; x : x x0 f ( x ) A
lim f ( x) A
x x0
10. Предел функции в точке
0; 0; x : x x0 f ( x ) Aε окрестность точки А
y
2
А
0
х0
х
δ окрестность точки x0
Геометрический смысл предела: для всех х из δ –
окрестности точки x0 точки графика функции лежат
внутри полосы, шириной 2ε, ограниченной прямыми: у
=А+ε,у=А-ε.
11.
Прежде чем перейти к разбору решенийпримеров заметим, что если предел функции
y f (x) при стремлении
функции в точке
x a
х
к
a
равен значению
, то в таком случае
функцию называют непрерывной.
График такой функции представляет собой
сплошную линию, без «проколов» и «скачков».
12.
Функцию y f (x)на промежутке
называют непрерывной
X , если она непрерывна в
каждой точке этого промежутка.
Примерами непрерывных функций на всей числовой
2
y
ax
by c,
y
kx
b
,
y
C
,
прямой являются:
y | x |, y x n , n ,
Функция
y x непрерывна на луче [0, ), а
n
y
x
, n непрерывна на промежутках
функция
( , 0) (0, ).
13. Предел функции в точке
Число В называется пределомфункции в точке а, если для всех
значений х , достаточно близких к а
и отличных от а, значение функции
f (x) сколь угодно мало отличается
от В.
lim f ( x ) b
x a
14. Теорема.
1415. Бесконечно малая функция и бесконечно большая функция.
• Функция α (x) называется бесконечномалой при x → a (здесь a – конечное число
или ∞), если
• Функция f(x) называется бесконечно
большой функцией (или бесконечно
большой величиной) при х→а, если
lim f ( x)
x a
15
16. Графическая иллюстрация
• х →0х
1
х
1
у 0
х
Таким образом, величина, обратная
бесконечно малой, есть бесконечно
большая, и наоборот.
16
17.
lim ( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)x x0
x x0
x x0
18.
lim C Cx x0
19.
lim ( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)x x0
x x0
x x0
20.
lim f ( x)f ( x) x x0
lim
, если _ lim g ( x) 0
x x0 g ( x)
x x0
lim g ( x)
x x0
21.
lim (k f ( x)) k lim f ( x)x x0
x x0
22.
lim ( z ) (lim z)n
x a
x a
n
23. Вычисление пределов
Вычислениеlim f ( x ) A
x x0
предела:
начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x).
Если при этом получается конечное число, то предел равен этому
числу.
3x 1 3 1 1 2
lim
2
2
x 1
1
x
Если при подстановки предельного
значения x0 в функцию f(x) получаются
выражения вида:
то предел будет равен:
C
0
C
0
24. Вычислить пределы:
lim ( x 2 7 x 4) 32 7 3 4 8;x 3
x 4
( x 2)( x 2)
x 2
lim 2
lim
lim
2;
x 2 x 2 x
x 2
x 2
x ( x 2)
x
3
2
(
x
2
)(
x
)
2
(0 / 0)
2x 7x 6
2x 3
2
lim
lim
lim
;
2
2
x 2
x 2
x 2 x 2
( x 2)
( x 2)
2
25.
Примеры26. Вычисление пределов
Часто при подстановке предельного значения x0 вфункцию f(x) получаются выражения следующих
видов:
0
;
0
;
Эти выражения называются
а
вычисление пределов в этом случае называется
.
27. Методы вычисления пределов на неопределенность
3x 2 x 0 0 0lim 2
x 0 2 x 5 x
0 0 0
2
0 с с
, ,
0 0
28.
• В большинстве случаев, чтобы раскрыть0
неопределенность вида
,
0
29.
3x 2 x 0lim 2
x 0 2 x 5 x
0
2
Разложим числитель и знаменатель на
множители:
x 3x 2
3x 2 2
lim
lim
x 0 x 2 x 5
x 0 2 x 5
5
30.
lim 4 x4x
4*0
0
x 0
lim 2
2
x 0 3 x 2 x
lim 3x 2 x 3 * 0 2 * 0 0
x 0
4x
4
4
lim
lim
2.
x 0 x 3 x 2
x 0 3 x 2
3* 0 2
31.
• Чтобы раскрыть неопределенностьданного вида, зависящую от
иррациональности,
32. Раскрытие неопределенностей
Раскрытие неопределенности0
0
x 2 14x 32
0
x 2 x 16
lim 2
lim
x 2
x 2
x 6x 8
0
x 2 x 4
x 16 18
lim
9
x 2
x 4
2
Если f(x) – дробно –
рациональная
x 1 1 x 1 1
0
x 1 1 функция,
необходимо разложить
наlim Если f(x) – иррациональная
lim
x 0
0
множители
числитель
иx 0 дробь, x
x
x 1 умножить
1
необходимо
знаменатель дроби
числитель и знаменатель
x 1 1
1дроби на выражение,
1
lim
lim
числителю.
x 0
x 0
сопряженное
x x 1 1
x 1 1 2
33. Раскрытие неопределенности
• При нахождении предела иногда сталкиваются снеопределенностями вида
0
0
0
, , ( ), (1 ), (0 ), (0 )( ).
0
• Отыскание предела в таких случаях называется
раскрытием неопределенности.
Для того, чтобы раскрыть неопределенность ∞/∞ необходимо разделить
числитель и знаменатель на х в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на х2
34.
Разделим числитель и знаменатель на х435.
Разделим числитель и знаменатель на х2подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на
бесконечно малое число.
Таким образом, при раскрытии неопределенности
может получиться конечное число, ноль или
бесконечность.
36. Задание:
37. Упражнения:
x 3 3x 1lim
1
x 0
x 4
lim
x 6
6 x
3 x 3
2 x 2 x 15
lim
x 3 3 x 2 5 x 12
2x 3 2x 2
lim 3
x 0 5 x 4 x 2
x 2 5 x 10
lim
x 5
x 2 25
4 x 3 3x 2
lim
x 0 2 x 2 5
x 3
lim 2
x 3 x 9
lim 2 x 2 3x 4
x 2