Понятие предела функции

1. 20.09.

Понятие предела
функции

2.

Случай 1.
lim f ( x) A
А
x a
f (a ) не существует

3.

Случай 2.
lim f ( x) A
x a
А
f (a) А

4.

Случай 3.
lim f ( x) A
А
x a
f (a) А
В этом случае говорят, что функция непрерывна в точке а

5. Предел функции в точке

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x0,
кроме, быть может самой точки x0.
Число А называют пределом функции в точке x0 (или при x x0),
если для любого положительного ε найдется такое положительное
число δ, что для всех х из δ – окрестности точки x0 справедливо
неравенство:
f (x) A
0; 0; x : x x0 f ( x ) A
lim f ( x) A
x x0

6. Предел функции при x стремящемся к бесконечности

.;
Пусть функция y = f(x) определена в промежутке
x , если
Число А называют пределом функции при
0; M 0; x : x M f ( x ) A
lim f ( x ) A
x
Геометрический смысл этого
определения таков:
существует такое число М, что при
х > M или при x < - M точки
графика функции лежат внутри
полосы шириной 2ε, ограниченной
прямыми:
у=А+ε,у=А-ε.
y
2
А
0
М
х

7. Вычисление пределов

Вычисление предела:
lim f ( x ) A
x x
0
начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x).
Если при этом получается конечное число, то предел равен этому
числу.
3x 1
3 1 1
lim
2
2
2
x 1
x
1
Если при подстановки предельного
значения x0 в функцию f(x) получаются
выражения вида:
то предел будет равен:
C
0
C
0

8. Вычисление пределов

Часто при подстановке предельного значения x0 в функцию f(x)
получаются выражения следующих видов:
0
;
0
; 0 ; 1 ; 0 0 ; 0 ; 0 ;
Эти выражения называются неопределенности, а вычисление
пределов в этом случае называется раскрытие
неопределенности.

9. Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенности
0
0
x 2 14 x 32
0
x 2 x 16
lim 2
lim
x 2
x 2
x 6x 8
0
x 2 x 4
x 16 18
lim
9
x 2
x 4
2
Если f(x) – дробно –
рациональная
x 1 1 x 1 1
0
x 1 1 функция,
наlim Если f(x) – иррациональная
lim необходимо разложить
x 0
0
множители
числитель
иx 0 дробь, x
x
x 1 умножить
1
необходимо
знаменатель дроби
числитель и знаменатель
x 1 1
1дроби на выражение,
1
lim
lim
числителю.
x 0
x 0
сопряженное
x x 1 1
x 1 1 2

10. Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенности
2x 2 3 x 1
2 2
2
2x 2 3 x 1
x
x
x
lim 2
lim
x
x 4 x 2
2x 5
4 x 2x 5
2 2
2
x
x
x
3 1
2 2
C
2 0 0 1
x
x
lim
f(x) – дробно
0 –
Если
x
2 5рациональная
4 0 0 2
функция
или
4 2
x x иррациональная дробь
необходимо разделить
числитель и знаменатель
дроби на x в старшей степени

11. Раскрытие неопределенностей

Раскрытие неопределенности
lim x 2 1 x 2 1
x
lim
x
lim
x
x 1 x 1
2
2
2
Умножим и разделим
2
1)
функцию
на
сопряженное
lim
2
x
2
выражение.
x 1 x 1
2
2
0
2
x2 1 x2 1
( x 1) ( x
2
x 1 x 1
2
x 1 x 1
2

12. Первый замечательный предел

Функция
sin x
x
не определена при x = 0.
Найдем предел этой функции при
М С
x
О В А
OA 1
x 0
0 x
2
Обозначим:
S1 - площадь треугольника OMA,
S2 - площадь сектора OMА,
S3 - площадь треугольника OСА,
Из рисунка видно, что S1< S2 < S3
1
1
1
S1 OA MB OA 0M sin x sin x
2
2
2

13. Первый замечательный предел

М С
x
О В А
1
1
S 2 OA ОM x
2
2
1
1
S3 OA AC 1 tgx
2
2
1
1
1
sin x x tgx
2
2
2
x tgx
x sin x
sin x x tgx
sin x
cos x x
sin x
1
x
sin x
cos x
1
x

14. Первый замечательный предел

sin x
cos x
1
x
lim cos x cos 0 1
x 0
lim1 1
sin x
lim
1
x 0
x
x 0
Формула справедлива также при x < 0
Следствия:
x
lim
1
x 0
sin x
tgx
lim
1
x 0
x
x
lim
1
x 0
tgx
sin kx
lim
1
x 0
kx

15. Первый замечательный предел

0
1 cos 4 x
2 sin 2x
sin 2 x
lim
lim
2 lim
2
2
x 0
x
0
x
0
0
x
x
x
2
2
sin 2 x 2 lim 2 sin 2 x
x 0
2 lim
2x
x 0 x
2
2
sin 2 x
2
2 2 lim
2 2 1 8
x 0
2x
2