6.17M

Category: $mathematics$ mathematics

Пряма на площині. Різні види рівнянь прямої на площині

1. § 3. ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ

3.1. Різні види рівнянь прямої на площині
r0 OM 0
r OM
M 0 M r r0
M 0 M || s
M 0 M ts
r r0 ts
l
s
M0
r0
O
r
r r0 ts
Рівняння (6) називається векторним параметричним
рівнянням прямої.
M
(6)

2.

3.1. Різні види рівнянь прямої на площині
l
r r0 ts
r0 OM 0 x0 ; y0
r OM x; y
s (m; n )
ts (mt; nt )
s ( m; n )
M 0 x0 ; y0
r0
M ( x; y )
r
O (0;0)
x x0 mt
(7)
y y0 nt
Рівняння (7) називаються параметричними рівняннями прямої.
mt x x0
nt y y0
x x0
t
m
t
y y0
n

3.

3.1. Різні види рівнянь прямої на площині
x x0
y y0
m
n
(8)
Рівняння (8) називається
канонічним рівнянням прямої.
l
M 0 x0 ; y0
r0
O (0;0)
Приклад.
s ( m; n )
M ( x; y )
r
Скласти рівняння прямої, що проходить через точку А(3; 4)
паралельно вектору s = (5; 6).
x 3 y 4
.
5
6

4.

3.1. Різні види рівнянь прямої на площині
s (m; 0)
s (m; 0)
x x0 y y0
m
0
l
M 0 x0 ; y0
r0
M ( x; y )
r
O (0;0)
s (0; n )
x x0 y y0
0
n
O (0;0)
M 0 x0 ; y0 l
r0
r
M ( x; y )
s (0; n )

5.

3.1. Різні види рівнянь прямої на площині
x x0 y y0
m
n
y y0 x x0
n
m
n
y y0 x x0
m
y y0 k x x0
m 0
k
y
y0
(8)
M0
b
m
0
s ( m; n )
x0
(9)
n
tg
m
Рівняння (9) називається рівнянням прямої, яка проходить
через задану точку і має заданий кутовий коефіцієнт.
n
x

6.

3.1. Різні види рівнянь прямої на площині
y y0 k x x0
y kx b
(9)
(10)
Рівняння (10) називається
рівнянням прямої
з кутовим коефіцієнтом.
y
b
0
x
y
y kx
(11)
Рівняння (11) називається
рівнянням прямої
пропорційності.
0
x

7.

3.1. Різні види рівнянь прямої на площині
M 1 ( x1; y1 )
M 2 ( x2 ; y 2 )
s M 1M 2 ( x2 x1; y2 y1 )
x x1
y y1
x2 x1 y2 y1
l
s
M1
r0
(12)
O
r
M2
Рівняння (12) називається рівнянням прямої, яка проходить
через дві задані точки.
Приклад.
Скласти рівняння прямої, що проходить через точки А(3; 4) і
B(5; 7).
x 3 y 4
5 3 7 4
x 3 y 4
.
2
3

8.

3.1. Різні види рівнянь прямої на площині
A(a;0)
x a y 0
0 a b 0
x y
1
a b
B(0; b)
x a y
a
b
x
a y
a a b
(13)
B (0; b)
b
A(a;0)
a
Рівняння (13) називається рівнянням прямої у відрізках на осях.
Приклад.
Скласти рівняння прямої, що проходить через точки А(3; 0) і
B(0; 4).
x y
1.
3 4

9.

3.1. Різні види рівнянь прямої на площині
l n
y
M ( x; y ) l
M 1 ( x1; y1 ) l
n ( A, B )
n
M ( x; y )
M 1M ( x x1; y y1 )
M 1M n
M 1M n 0
A( x x1 ) B ( y y1 ) 0
l
0
x
M 1 ( x1; y1 )
(14)
Рівняння (14) називається рівнянням прямої, яка проходить
через задану точку перпендикулярно до заданого вектора.
n
Вектор ( A, B ) називається нормальним вектором прямої.

10.

3.2. Загальне рівняння прямої та його
дослідження
A( x x1 ) B ( y y1 ) 0
Ax By C 0
(15)
Рівняння (15) називається загальним рівнянням прямої.
Α=0
n (0; B )
l || Ox
B=0
n ( A;0)
l || Oy

11.

3.3. Кут між двома прямими. Умови паралельності
і перпендикулярності двох прямих
x x1 y y1
m1
n1
s1 (m1; n1 )
l1 :
l2 :
s2 ( m2 ; n2 )
l1 ,l2 s1 , s2
s1 s2
m1m2 n1n2
cos
s1 s2
m12 n12 m22 n22
l1 || l2
m1 n1
m2 n2
x x2 y y 2
m2
n2
l1 l2
0
2
(18)
m1m2 n1n2 0

12.

3.3. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих
A2 x B2 y C2 0
n2 ( A2 ; B2 )
l2 :
A1 x B1 y C1 0
n1 ( A1; B1 )
l1 :
0
2
l1 ,l2 n1 , n2
n1 n2
cos
n1 n2
l1 || l2
A1 B1
A2 B2
A1 A2 B1B2
A B A B
2
1
2
1
2
2
l1 l2
2
2
(21)
A1 A2 B1B2 0

13.

3.3. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих
l1 :
l2 :
A1 x B1 y C1 0
A1 x B1 y C1
A12 B12
A2 x B2 y C2 0
A2 x B2 y C2
A22 B22
– бісектриси кутів між прямими.

14.

3.3. Кут між двома прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих
l1 :
l2 :
y k1 x b1
k2 tg 2
k1 tg 1
l1 ,l2
k2 k1
1 k1k2
tg 2 tg 1
tg tg( 1 2 )
1 tg 1 tg 2
tg
l1 || l2
k1 k2
y k2 x b2
l1 l2
0
2
2
(24)
1
k2
2
k1

15.

3.4. Відстань від точки до прямої
l:
Ax By C 0
a b
прb a .
b

16.

3.4. Відстань від точки до прямої
l:
Ax By C 0
n M 1M 0
d прn M 1M 0
n
d
M 0 ( x0 ; y0 )
n
d
l
Ax0 By0 C
A2 B 2
Ax0 By0 C
A2 B 2
M 1 ( x1; y1 )
0
0
M 0 x0 ; y0
M 0 x0 ; y0
O 0; 0
O 0; 0

17. § 4. ПЛОЩИНА В ПРОСТОРІ

4.1. Загальне рівняння площини та його
дослідження
n ( A; B; C )
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
n
M ( x; y ; z )
z
M 0 M ( x x0 ; y y0 ; z z0 )
n M 0M
M
M0
y
x
n M 0M 0
A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0 (28)
Рівняння (28) називається рівнянням площини, яка проходить
через точку M0 перпендикулярно до вектора n .

18.

4.1. Загальне рівняння площини та його дослідження
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
n ( A; B; C )
Ax By Cz D 0
Рівняння (29) називається загальним рівнянням площини.
Α=0
n (0; B; C )
|| Ox
B=0
n ( A;0; C )
|| Oy
С=0
n ( A; B;0)
|| Oz
n (0; 0; C )
Α=B=0
|| Oxy
Α=C=0
n (0; B;0)
|| Oxz
n ( A;0; 0)
|| Oyz
B=C=0
(29)

19.

4.2. Рівняння площини, що проходить через три
точки. Рівняння площини у відрізках на осях
M 1 ( x1; y1; z1 )
M 2 ( x2 ; y 2 ; z 2 )
M 3 ( x3 ; y3 ; z3 )
M ( x; y ; z )
M3
M1
M2
M
M 1M ( x x1; y y1; z z1 )
M 1M 2 ( x2 x1; y2 y1; z2 z1 )
M 1M 3 ( x3 x1; y3 y1; z3 z1 )
вектори компланарні

20.

4.2. Рівняння площини, що проходить через три точки. Рівняння площини у відрізках на осях
ax
ab c bx
ay
by
az
bz
cx
cy
cz
вектори компланарні
M 1M M 1M 2 M 1M 3 0
x x1
x2 x1
x3 x1
y y1
y2 y1
y3 y1
z z1
z2 z1 0
z3 z1
(33)
Рівняння (33) називається рівнянням площини, що проходить
через три точки.
M 1 ( x1; y1; z1 )
M 2 ( x2 ; y 2 ; z 2 )
M 3 ( x3 ; y3 ; z3 )

21.

4.2. Рівняння площини, що проходить через три точки. Рівняння площини у відрізках на осях
M 1 ( x1; y1; z1 )
M 2 ( x2 ; y 2 ; z 2 )
M 3 ( x3 ; y3 ; z3 )
A(a;0;0)
B (0; b;0)
C (0;0; c )
x a
0 a
0 a
y 0 z 0
b 0 0 0 0
0 0 c 0
xbc yac zab abc 0
x y z
1
a b c
(34)
Рівняння (34) називається рівнянням площини у відрізках на осях.

22.

4.3. Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин
2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
n2 ( A2 ; B2 ; C2 )
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0
n1 ( A1; B1; C1 )
0
2
n1 , n2
n1 n2
cos
n1 n2
1 || 2
A1 B1 C1
A2 B2 C2
A1 A2 B1B2 C1C2
A B C A B C
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
(35)
1 2 A1 A2 B1B2 C1C2 0

23.

4.4. Відстань від точки до площини
Ax By Cz D 0
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
M 1 ( x1; y1; z1 )
M0
n M 1M 0
d пр n M 1M 0
n
d
Ax 0 By 0 Cz 0 D
A B C
2
2
2
d
M1
n ( A; B; C )

24. § 5. ПРЯМА ЛІНІЯ В ПРОСТОРІ

5.1. Різні види рівнянь прямої в просторі
r0 OM 0
r OM
M 0 M r r0
M 0 M || s
M 0 M ts
r r0 ts
l
s
M0
r0
O
r
r r0 ts
Це рівняння називається векторним параметричним
рівнянням прямої (як на площині, так і в просторі).
M

25.

5.1. Різні види рівнянь прямої в просторі
r r0 ts
x x0 mt
y y 0 nt
z
l
M 0 x0 ; y0 ; z0
(39)
r0
z z0 pt
Рівняння (39) – параметричні O (0; 0; 0)
рівняння прямої в просторі.
x
mt x x0 nt y y0 pt z z0
t
x x0
m
t
y y0
n
t
s ( m; n; p )
r
M ( x; y ; z )
y
z z0
p
x x0
y y0
z z0
m
n
p
Рівняння (40) – канонічні рівняння прямої в просторі.
(40)

26.

5.1. Різні види рівнянь прямої в просторі
m=0
n=0
p=0
m=n=0
m=p=0
n=p=0
s (0; n; p )
s ( m;0; p )
s ( m; n;0)
s (0;0; p )
s (0; n;0)
s (m;0;0)
s Ox
s Oy
s Oz
s || Oz
s || Oy
s || Ox
l Ox
l Oy
l Oz
l || Oz
l || Oy
l || Ox
Приклад.
Скласти рівняння прямої,
що проходить через точку А(3; 4; –2)
паралельно вектору s = (5; –6; 7).
x 3 y 4 z 2
.
5
6
7

27.

5.1. Різні види рівнянь прямої в просторі
M 1 ( x1; y1; z1 )
M 2 ( x2 ; y 2 ; z 2 )
s M 1M 2 ( x2 x1; y2 y1; z2 z1 )
x x1
y y1
z z1
x2 x1 y2 y1 z2 z1
(41)
Рівняння (41) – рівняння прямої в просторі, яка проходить через
дві задані точки.
Приклад.
Скласти рівняння прямої, що проходить через точки А(3; 4; 1) і
B(5; 7; 0).
x 3 y 4 z 1
5 3 7 4 0 1
x 3 y 4 z 1
.
2
3
1

28.

5.1. Різні види рівнянь прямої в просторі
1 : A1 x B1 y C1 z D1 0
2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
(42)
Рівняння (42) називаються
загальними рівняннями прямої
в просторі.
n1 ( A1; B1; C1 )
n2 ( A2 ; B2 ; C2 )
s n1
s n1 n2
s n2
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
x x0
1
M0
s
n1
2
n2
l
B1 y C1 z D1 A1 x0 ;
B1 C1
0
B
y
C
z
D
A
x
.
B2 C2
2
2
2 0
2
x x0
y y0
z z0
m
n
p
y y0
z z0

29.

5.2. Кут між двома прямими. Умови паралельності
і перпендикулярності прямих
l1 :
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
s1 (m1; n1; p1 )
l1 ,l2 s1 , s2
l2 :
x x2 y y 2 z z 2
m2
n2
p2
s2 (m2 ; n2 ; p2 )
0
2
m1m2 n1n2 p1 p2
s1 s2
cos
s1 s2
m12 n12 p12 m22 n22 p22
l1 || l2
m1 n1 p1
m2 n2 p2 (45)
l1 l2
(44)
m1m2 n1n2 p1 p2 0 (46)

30.

5.3. Кут між прямою і площиною. Умови
паралельності і перпендикулярності
:
l:
Ax By Cz D 0
x x0 y y0 z z0
m
n
p
n s
cos
n s
2
s
2
n s
sin
n s
sin
l ||
n
l
M0
0
2
Am Bn Cp
A B C m n p
2
2
Am Bn Cp 0
2
(48)
2
2
(47)
2
l
A B C
m n p
(49)

31.

5.4. Відстань від точки до прямої
l:
s
x x1 y y1 z z1
m
n
p
s ( m; n; p )
M1
l
M 1 ( x1; y1; z1 )
d
M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )
h
M0
Sпарал
d h
s
d
x1 x0
m
M 0M1 s
.
s
2
y1 y0
x1 x0
n
m
2
z1 z0
y1 y0
p
n
m n p
2
2
2
z1 z0
p
2
.

32.

5.5. Відстань між двома прямими
s1 ( m1; n1; p1 )
s2 ( m2 ; n2 ; p2 )
M 1M 2 ( x2 x1; y2 y1; z2 z1 )
V M 1M 2 s1 s2
M 1M 2 s1 s2
V
d H
.
Sосн
s1 s2
вектори некомпланарні

33.

s1 ( m1; n1; p1 )
s2 ( m2 ; n2 ; p2 )
вектори компланарні
M 1M 2 ( x2 x1; y2 y1; z2 z1 )
V M 1M 2 s1 s2 0
x 1 x2
y 1 y 2
z1 z2
m1
m2
n1
n2
p1
p2
0.
прямі перетинаються
(у просторі)

34. § 6. ЛІНІЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

6.1. Поняття лінії другого порядку
ax 2 by 2 cxy dx ey f 0
Коло
Еліпс
Гіпербола
(50)
Парабола

35.

6.2. Коло
Колом називають множину точок площини, відстані яких від
заданої точки площини (центра кола) дорівнюють сталому
числу (радіусу).
y
M x; y
O1 a; b M x; y
O1M R
O1
b
x a 2 y b 2 R
x a 2 y b 2 R2
(52)
x2 y 2 R2
(53)
O
a
Рівняння (53) називається канонічним рівнянням кола.
x

36.

6.2. Коло
x a 2 y b 2 R2
x 2 2 xa a 2 y 2 2 yb b2 R 2
x 2 y 2 Ax By C 0
(54)
Рівняння (54) називається загальним рівнянням кола.
1°. Коефіцієнти при х2 і у2 рівні між собою.
2°. У рівнянні відсутній член з добутком ху.

37.

6.3. Еліпс
Еліпсом називають множину всіх точок площини, сума
відстаней яких від двох даних точок цієї площини (фокусів) є
величина стала і більша від відстані між фокусами.
F1F2 2c
2a 2c
F1M MF2 2a
y
M ( x; y )
( x c ) 2 ( y 0) 2 ( x c ) 2 ( y 0) 2 2 a
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
x
F1 ( c; 0)
( x c ) 2 y 2 2a ( x c ) 2 y 2
( x c) y
2
2
2 a
2
( x c) y
2
2
2
O
F2 ( c; 0)

38.

39.

( x c) y
2
2
2 a
2
( x c) y
2
2
6.3. Еліпс
2
( x c ) 2 y 2 4 a 2 4a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
x 2 2cx c 2 y 2 4a 2 4a ( x c )2 y 2 x 2 2cx c 2 y 2
2cx 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 2cx
a ( x c ) 2 y 2 a 2 cx
a 2 ( x c ) 2 y 2 a 4 2a 2cx c 2 x 2
a 2 x 2 2a 2cx a 2 c 2 a 2 y 2 a 4 2a 2 cx c 2 x 2
a 2 x 2 a 2c 2 a 2 y 2 a 4 c 2 x 2
a 2 x 2 c 2 x 2 a 2 y 2 a 4 a 2c 2

40.

6.3. Еліпс
a 2 x 2 c 2 x 2 a 2 y 2 a 4 a 2c 2
x2 a 2 c2 a 2 y 2 a 2 a 2 c2
a 2 c2 0
b2 a 2 c 2
(56)
x 2b 2 a 2 y 2 a 2b 2
x2 y2
2 1
2
a
b
(57)
Рівняння (57) називається канонічним рівнянням еліпса.

41.

6.3. Еліпс
x2 y2
2 1
2
a
b
A1 ( a;0)
A2 ( a;0)
B1 (0; b)
B2 (0; b)
A1 A2 2a
B1B2 2b
– велика і
мала вісі
– вершини еліпса
B1
b
A2
F1
a – велика піввісь
b – мала піввісь
0 1
a
O
B2
O – центр еліпса
c
a
a b
y
– ексцентриситет
F2
A1
x

42.

6.3. Еліпс
x2 y2
2 1
2
a
b
a b
a b
y
b2 a 2 c 2
x2 y2 a2
0
c 0
b
a
O
a b
c
a
1
0 1
– ексцентриситет
x

43.

6.3. Еліпс
x2 y2
2 1
2
a
b
r1 F1M
r2 F2 M
a b
y
a
x
x
Відстані r1, r2 називаються
фокальними радіусами.
r1 r2 2a
a
x
Прямі
називаються директрисами.
r1 r2
d1 d 2
M d2
r2
d1
r1
F1
c
a
a
O
F2
x

44.

2
6.3. Еліпс
2
x
y
2 1
2
a
b
a b
F1
F2
F1F2 2c
r1 r2
d1 d 2
F2
r1 r2 2a
F1 , F2 Ox
a b
r1 r2 2b
F1, 2 ( c; 0)
A1 A2 2a
c
1
a
a 2 b2 c 2
a
x
F1 , F2 Oy
– велика вісь –
x x0 2 y y0 2
a
2
b
2
1
F1
F1, 2 (0; c )
B1B2 2b
c
1
b
2
b a 2 c2
b
y

45.

6.4. Гіпербола
Гіперболою називається множина всіх точок площини, модуль
різниці відстаней яких від двох даних точок цієї площини
(фокусів) є величина стала і менша відстані між фокусами.
F1F2 2c
y
F1M MF2 2a
2a 2c
M ( x; y )
( x c ) 2 ( y 0) 2 ( x c ) 2 ( y 0) 2 2a
x2 y2
2 1
2
a
b
(61)
x
F1 ( c; 0)
O
F2 ( c; 0)
Рівняння (61) називається канонічним рівнянням гіперболи.
b2 c 2 a 2
a 2 b2 c 2

46.

2
6.4. Гіпербола
2
x
y
2 1
2
a
b
y
y
b
y x
a
b
x
a
M ( x; y )
r1
b
F1 ( c; 0)
A2
O
r2
a
A1
F2 ( c; 0)
x

47.

A1 (a;0)
A2 ( a;0)
2
– вершини гіперболи
O – центр гіперболи
Ox – дійсна вісь
Oy – уявна вісь
– основний прямокутник
гіперболи 2a 2b
c
1 – ексцентриситет
a
x
y
2 1
2
a
b
y
b
y x
a
b
F1 ( c; 0)
– асимптоти гіперболи
a
x
6.4. Гіпербола
2
– директриси гіперболи
– спряжена гіпербола
A2
x
O
a
y
b
x
a
a
A1
x
F2 ( c; 0)
a
r1 r2
d1 d 2
x2 y2
2 1
2
a
b
x

48.

6.5. Парабола
Параболою називається множина всіх точок площини, кожна
з яких знаходиться на однаковій відстані від даної точки
(фокуса) і від прямої даної (директриси).
B
MF BM
y
M ( x; y )
2
p
p
2
x
y
0
x
2
2
2
2
p
p
x 2 px
y 2 x 2 px
4
4
y 2 2 px
(68)
x
p
2
O
p
F ; 0
2
Рівняння (68) називається канонічним рівнянням параболи.

49.

6.5. Парабола
y 2 2 px
B
y
M ( x; y )
O – вершина параболи
p – параметр
x
p
– директриса
2
r
1 – ексцентриситет
d
p
r d x
2
r MF
d MB
x
p
2
O
p
F ; 0
2

50.

p
x
2
y 2 2 px
y 2 px
p
x
2
2
y y0 2 2 p x x0
p
r d x
2
6.5. Парабола
y 2 2 px
p
x
2
x 2 2 py
x x0
x 2 2 py
p
y
2
2 p y y0
p
r d y
2
2
p
y
2

51. § 7. ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

7.1. Поняття поверхні другого порядку
ax 2 by 2 cz 2 dxy exz fyz gx hy kz l 0
7.2. Циліндричні поверхні
Циліндричною поверхнею
називають поверхню σ,
утворену множиною прямих
(твірних), які перетинають
задану лінію L (напрямну) і
паралельні заданій прямій l
(74)