Показательные уравнения, неравенства и их системы

1. Тема: «Решение показательных уравнений неравеств и их систем»

ОБПОУ «Железногорский горно-металлургический колледж»
Тема: «Решение показательных уравнений
неравеств и их систем»
Преподаватель:
Панасенко Наталья Алексееевна

2. Методы решения

Показательных уравнений:
1) приведение к одному
основанию;
2)графический метод;
3)разложение на множители;
4)введения новой переменной
(приведение к квадратному);
5)метод оценки
6) логарифмирование обеих
частей;
7)однородные (деление обеих
частей на наибольшую
степень)
Систем показательных уравнений:
1) подстановка;
2)алгебраическое сложение;
3)введение новой переменной;
4)графический способ;
5) нестандартный метод

3.

4. Проверка усвоения предыдущего материала

К -№1 Уровень «1» - на «3»
1 4 5 x
1
6 4
2
5
4 x
25
К -№2 Уровень «2» - на «4»
3 x 2 4 3 x 1 21
7 5 x 5 x 1 10
К -№3 Уровень «3» - на «5»
3 2 3 3 0
2x
x
4 3 2 40
x
x

5. Ответы: К -1

14 5 x
1
64
2
5 x 14
6
2
2
5 x 14 6
5 x 20
x 4
5
5
4 x
25
4 x
5
2
4 x 2
x 2

6. Ответы: К-2

3 x 2 4 3 x 1 21
3
x 2
4 3
x 1
21
3 x 9 12 3 x 21
3 x 9 12 21
3 x 21 21
3x 1
3 3
x
x 0
0
7 5 x 5 x 1 10
5 x 7 5 10
5 x 10 2
5x 5
x 1

7. Ответы К-3

3 2 3 3 0
4 x 3 2 x 40 0
t 3 ,t 0
2 2 x 3 2 x 40 0
2x
x
x
t2 2 t 3 0
D b 2 4ac 4 12 16
b D 2 4
t1
1
2a
2
b D 2 4
t2
3
2a
2
3 x 1или 3 x 3
x 0
2x t, t 0
t 2 3t 40 0
D b 2 4ac 9 160 169
b D 3 13
t1
8
2a
2
b D
t2
5
2
2 x 8или 2 x 5
2 x 23
x 3

8. Решение простейших показательных неравенств

a 0, a 1
a
f ( x)
a
g ( x)
a 1
0 a 1
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
Знак неравенства
Меняется
Сохраняется

9. Устный счет

• Решить уравнения
• Решить неравенства
3 x = 81
4
3x 1
Х ≥0
2 x = 16
4
5 x 125
Х≤3
3x = 1
0
2 x 32
Х ≤5
5 x = 25
2
2
4
( )x =
3
9
Х ≥2
2
1 x
1
)
3
9
2 x+4 = 16
0
5 x 1 = 125
4
7 x+2 = 1
-2
(

10.

1) 3 x+ 2 3 x
12 x 1
96 x 1 27 4 x 1 + 813 x+1 = 2192
= 72 2) 2x 2x 4 = 15 3)3
3x (32 1) 72;
12 x 1
312 x 2 312 x 3 312 x 4 2192
2 x 4 (24 1) 15; 3
3x 9;
15
2 ;
15
2 x 4 1;
3x 32;
2 x 4 20 ;
x 2
x 4
72
3 ;
8
x
Ответ: 2
x 4
Ответ: 4
Дом.задание

11.

1)
2 3
x 1
3
x 2
=5
x 2
+ 4 5
x 3
3x 2 (2 3 1) 5x 3(5 4);
5 3x 2 5x 3 32;
3x 4 5 x 4 ;
3x 4
x 4 1;
5
3
3
( )x 4 ( )0
5
5
x 4
Ответ: 4
2)
5
2 x 1
+4 = 5 4
x
2x
x+ 1
x 2 1
x2
x 2 1
x 2 +2
2
3
=
3
2
3)
52 x 1(1 5) 22 x ( 22 1);
52 x 1 4 22 x 5;
5
5
( )2 x 1 ;
2
2
2 x 1 1;
x 1
Ответ: 1
Дом.задание

12.

9x 4 3x 3 0
3 4 3
x 2
x
3 0
Çàìåíà :3x = t, t > 0.
t 2 4 t 3 0
t 1, t 3
Ïîäñòàâèì
- t , ïîëó÷èì
3õ 1,3õ 3
õ 0, õ 1
Îòâåò :õ 0, õ 1.
8 4 6 2 1 0(ñàìîñòîÿòå ëüíî ) 1
4
Îòâåò : õ 1, õ 2.
x
x
x
x
1
6 0
2
4 9 x 13 6 x + 9 4 x = 0
4 3 2 x 13 2 x 3 x + 9 22 x = 0 2 2x
3
3
4 ( ) 2 x 13 ( ) x + 9 = 0
2
2
3
Çàìåíà : ( ) x = t, t > 0.
2
9
t 1, t
4
4 t 2 13 t 9 0
3
3
9
( ) x 1, ( ) x
2
2
4
Îòâåò :õ 0, õ 2.
Дом.задание

13.

14. Решите неравенства

25
x 3
5
1
5
3 x 1
1
6
3
x 2
1 3 x 1
x 5; Ответ: 5;
-5
1
3
x 2
4x 2 x 12
1
Î òâåò : ;2 .
1 1 x 1 x 2
1 1
6 ( )
3 3
x 2
1
(2 1) 1
3 x 2
0
1
1
3
3
5
5 2 x 6 5 3 x 1
2x 6 3x 1
2x 3x 1 6
x 5
2 x 3
x 1
x
1
a , çíàê ìåíÿåòñÿ
3
õ 2 0
õ 2
2
Îòâåò : 2; .
х

15.

Системы показательных уравнений
2 x y 1,
x y
5 25;
4 x 2 y 32,
8 x 1
3y
3
3
.
2 x y 1,
x y
2
5 5 ;
Îòâåò : 1;3 .
2 x y 1,
x y 2;
2x 2 x 1,
y 2 x;
x 1,
y 1.
Îòâåò : 1;1 .
2x 2y 6,
x
y
2
2
2.
Дом.задание

16. Работа по группам

Команда 1 «Константа»
Команда 2 «Формула успеха»
Команда 3 «Логарифм»
Команда 4 «Драйвер»

17. Задания Команда «Константа»

Решить уравнения и системы.
Определить метод решения:
16 x 16 y 24
x y
16
256
3 x 2 x 1
x
0,3
1
7 x 7 x 1 6
5 x 7 x 12 x
32 x 2 y 725
y
3 x 2 2 25

18. Задания команда 2 « Формула успеха»

Решить уравнения и системы. Указать
метод решения.
3 x 2 y 4
y x
3 2 9
y 3 x 1
y 2 x 3
27 34 x 9 9 x 1 0
2 22 x 5 6 x 3 32 x 0
5 x 5 x 2 600

19. Задания Команда 3 «Логарифм»

2 x y 16
y
3 27
x
5 6 x
x
x
1
1
4 17 4 0
16
4
84 x 9 94 x 9
2 y 5 x 200
x y 1

20. Задания команда 4 «Драйвер»

11
x
y
3 2 2 3
4
3
x
y
2 3
4
2
x
x
2
x
5 3 2 15 3 5 0
2 x 2
2
x
3
6
5
2 x 3 y 12
y x
2 3 18
4
2

21. Команда 1 «КОНСТАНТА»

16 y 16 x 24
x y
16 256
5 7 12
x
x
0,3
x3 x 2 x 1
7 7
x
x 1
1
6
3 2 725
;
x 2y
3 2 25
2x
y
x
Приведение к одному
основанию
Введение новой
переменной
Метод оценки
Подстановка
Алгебраическое
сложение
Разложение на
множители

22. Команда 2 «Формула успеха»

3x 2 y 4
;
y x
3 2 9
27 34 x 9 9 x 1 0
5 5
x
x 2
600
y 3 x 1
y 2x 3
2 2 2 x 5 6 x 3 32 x 0;
Разложение на
множители
Графический метод
Однородное 2 степени
Нестандартный метод
Приведение к одному
основанию

23. Команда 3 «Логарифм»

x
x
1
1
4 17 4 0
16
4
2 x y 16
y
3 27
x
5
6 x
2 y 5 x 2
x y 1
8
4 x 9
9
4 x 9
Приведение к одному
основанию
Графический метод
Приведение к квадратному
Подстановка
Однородное

24. Команда 4 «Драйвер»

5 32 x 2 15 x 3 52 x 0 Приведение к одному
11
x
y
3 2 2 3 4
;
3
2x 3y
4
2 3 12
y x
2 3 18
x
y
2 x 2
5 6
4
2
2 x 3
основанию
Введение новой
переменной
Алгебраическое сложение
Логарифмирование обеих
частей
Однородное 2 степени
Нестандартный метод

25. Команда 1 «Синие»

16 y 16 x 24 5 x 7 x 12 x
x y
16 256
При x=1,уравнение
a 16 , a 0
x
a b 24
a b 256
обращается в
тождество.5+7=12
b 16 y , b 0
Разделим обе части на .
a 24 b Получим,
(*).Т.к.
b 2 24b 256 0
при основании
D 144 256 400
a 24 8 32 <1,показательная функция
12 20
b1
8
1
убывает на R, то при х<1
12 20
левая часть уравнения (*)
b2
32неудовл.
x
x 1
1
7 7 6 больше 1.
y
16 32
16 x 8
Если х>1, то левая часть
x
x 1
4y
5 7 7
6
x
меньше 1. Поэтому других
24 23 2 2
7
4y 5
корней нет.Ответ:х=1
4x 3
1
x
5
7 1 6
3
y
7
x
4
4
6
7x 6
3 5
Ответ : ;
7
4 4
7x 7
x 1
0,3
x
3
x 3 x 2 x 1
1
x 2 x 1 0
x 2 x 1 x 1 0
x 1 x 2 1 0
x 1 0илиx 2 1 0
x 1
2x
y
y
3 2 y 725
x
2
;a 3 ,b 2
x
2
3 2 25
a 2 b 2 725 25 a b 725
;
;
a
b
25
a b 25
a b 29 2a 54 b 29 27
;
;
a
b
25
a
27
b 2
3 x 27;3 x 33 ; x 3
y
2
y
1; y 2
2
Ответ : 3;2
2 2;

26. Команда 3 «Зеленые»

x
1
1
4 17 4 0
16
4
1
4
4
2x
2 y 5 x 2 x 1 y
; y 1 y
x y 1 2 5 2
x
x
5
6 x
y
1
17 4 0
4
x
1
t ; t 0;4t 2 17t 4 0
4
D 289 64 225
y 5
x
;
x
1 0 1
y
0.2 1 5
Ответ : (0;1)
8 4 x 9 9 4 x 9
x
17 15
1
t1
4; 4; x 1
x
8
4
y 6 x;
17 15 1 1
1
; ; x 1
8
4 4
4
Ответ : x 1
x
y
t2
2 x y 16 2 x y 2 4
; y
y
3
3 27 3 3
x y 4 x 4 3 1
;
y 3 Ответ : (1;3)
y
2
1
2
2 y 5 2;
5
5
5
y 1; x 1 1 0
x
0 4
6 2
8
9
4 x 9
1
4 x 9
8
8
9
9
4x 9 0
Отв ет: х 1
4x 9
x 2,25
0

27. Команда 4 «Желтые»

5 32 x 2 15 x 3 52 x 0
5 32 x 2 5 x 3 x 3 5 2 x 0
5 32 x 2 5 x 3 x 3 5 2 x
0
52 x
2x
x
3
3
5 2 3 0
5
5
x
3
t , t 0;5t 2 2t 3 0
5
D 4 60 64;
11
x
y
x
y
y
x
x
y
2
3
12
2
3
2
3
12 18
3
2
2
3
;
4 ;2 x a;3 y b y x
x
y
3
2
3
18
2
3
12
x
y
2 3
4
6 x y 63 x y 3
11
11
; x y
x 3 y;
x y
3
a
2
b
3
a
2
b
4 ;
4
2 3 12 2 3 12
3
3
y
a b
2a 2b
3
4
2
23 y 3 y 12;23 12;
5
1
3 1
2
;5a ; a ; b 1;
y
y
4
4
4 4
3 12 3
3
1
;
; y 1;
2 x ;2 x 2 2 ; x 2;
8 2
2
2
4
x 3 1 2.Ответ : (2;1)
3 y 1;3 y 30 ; y 0
x
Ответ : ( 2;0)
4
5 6 2 x 3
x 2
2 8 3 3 3
2
t1
; ; x 1
2
10
5 5 5
log 6 5 log 6 6 2 x 3
x 2 0,5
2 8
2
2 2 log 6 5 2 x 3 log 6 6
t2
1
10
log 6 5 2 x 3
2 0 , 5 x 1 21, 5
Ответ : 1
2 x 3 log 6 5
0,5 x 1 1,5
0,5 x 0,5
x 1
x 1,5 log 6 5