Векторы

1.

§ 1. Понятие вектора
§ 2. Сложение и
вычитание векторов
§ 3. Умножение вектора на число.
Применение векторов к решению
задач

§1 Понятие вектора
а
ОТРЕЗОК,
ДЛЯ КОТОРОГО УКАЗЫВАЮТ
НАЧАЛО И КОНЕЦ, НАЗЫВАЮТ
b
ВЕКТОРОМ
A
• начало
отрезка
С
АВ – вектор (направленный отрезок)
А – начало вектора
В – конец вектора
B• конец
отрезка
D

3.

АВ АВ
Длиной
или модулем ненулевого вектора АВ
называют длину отрезка АВ
(или расстояние
от точки А до В)
Длина нулевого вектора |0| = 0
а 2
2,5
e
f 4
2 2
p
A
B
а
е
f
р

4.

Коллинеарные векторы
Сонаправленные
векторы
а
а b
b
с
Противоположно
направленные
векторы
ВЕКТОРЫ НАЗЫВАЮТСЯ
КОЛЛИНЕАРНЫМИ,
ЕСЛИ ОНИ ЛЕЖАТ НА ОДНОЙ
ПРЯМОЙ или НА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
ПРЯМЫХ
d
с d

5.

е
а
f
с
а с , так как ...
а е , так как ...
а f , так как ...
a с u а с
а е
a f и векторы а и f
не сонаправлены
ВЕКТОРЫ НАЗЫВАЮТСЯ
РАВНЫМИ,
ЕСЛИ ОНИ
СОНАПРАВЛЕНЫ И
ИХ ДЛИНЫ ОДИНАКОВЫ.

6.

.Е
а
а
.
М
а
.В
а
ОТ ЛЮБОЙ ТОЧКИ
МОЖНО ОТЛОЖИТЬ
ВЕКТОР
РАВНЫЙ ДАННОМУ,
И ПРИТОМ ТОЛЬКО
ОДИН

7.

§2 Сложение и вычитание
векторов
ВЕКТОР АС
а b
–
СУММА ВЕКТОРОВ
а
И
b
A
а
• b
B
С
ПРАВИЛО
ТРЕУГОЛЬНИКА
AС=АВ+ВС

8.

а
b
B
AС=АВ+АД
С
b
A
а Д
ПРАВИЛО
ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
ВЕКТОР АС
СУММА
ВЕКТОРОВ
а b
И
–

9.

ЗАКОНЫ
СЛОЖЕНИЯ
ВЕКТОРОВ
1. a b b a
2.
переместительный закон
a b c a b c сочетательный закон

10.

СУММА НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ
С
а
k
d
b
a b c d k n
а
A
b
n
k
С
d

11.

а
b
ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ
ВЕКТОР СВ –
РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ
а и b
b
А
С
a
c
B
а b c,
b c a

12.

ВЕКТОРЫ а И а
ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ
ВЕКТОРЫ
a
а
а ( a ) 0
a a

13.

b
ДЛЯ ЛЮБЫХ ВЕКТОРОВ
а
И
ВЕКТОР
a b a b
b
А
АС
–
РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ
a
c
b
а
С
а и b
B

14.

§3 Умножение вектора
ПРОИЗВЕДЕНИЕМ
на число
НЕНУЛЕВОГО ВЕКТОРА а
НА ЧИСЛО
ТАКОЙ
k
НАЗЫВАЮТ
ВЕКТОР
b
, ЧТО
b k a
a b , k 0
a b , k 0
0 k 0
п
1,5п
2a
а

15.

Следствия
1) произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор
a 0 0
2) для любого числа k и любого вектора а векторы а и kа коллинеарны
Основные свойства
умножения вектора
на число
1. kl a k la сочетательный закон
ый
2. k l a ka la 1 распределительный закон
3. k a b ka kb 2ой распределительный закон

16.

Применение векторов при решении
задач и доказательстве теорем
Задача 1
Точка С середина отрезка АВ,
а О – произвольная точка
плоскости. Доказать, что
1
ОС ОА ОВ .
2
В
С
Задача 2
Доказать, что прямая,
проведенная через середины
оснований трапеции, проходит
через точку пресечения
продолжений боковых сторон.
О
А
В
М
С
О
А
N
D

17.

Средняя линия трапеции –
это отрезок, соединяющий
середины боковых сторон
В
М
А
С
N
D
Теорема
Средняя линия трапеции
параллельна основаниям
и равна их полусумме
MN AD,
1
MN AD BC
2

18.

.
Самостоятельная работа
Вариант 1.
1.
Перечертить рисунок в тетрадь. Построить
векторы
MP и NQ , такие что
MP a, NQ a
а
N
М
2. Выписать сонаправленные, противоположно направленные и равные векторы
С
D
О
А
В
3. ABCD – параллелограмм. Доказать, что
АВ DC

19.

English Русский Rules