Понятие вектора. Равенство вектора. Сложение и вычитание векторов

1.

2.

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных
точек считается началом, а какая – концом, называется
направленным отрезком или вектором
Конец
вектора
В
АВ
Вектор
ВА
Длиной или модулем
вектора называется длина
отрезка АВ
АВ = АВ
Начало
вектора
А
Вектор
a
Вектор
а

3.

Любая точка плоскости также является вектором.
В этом случае вектор называется нулевым
Вектор
MM
Вектор
0
M
Начало нулевого вектора совпадает с его концом, поэтому
нулевой вектор не имеет какого-либо определенного
направления. Иначе говоря, любое направление можно
считать направлением нулевого вектора.
Длина нулевого считается равной нулю
MM = 0

4.

Назовите векторы, изображенные на рисунке.
Укажите начало и конец векторов.
Вектор
ЕF
Вектор
AB
Вектор
CD
Вектор
NN
F
A
E
C
В
N
D
или 0

5.

Многие физические величины, например
сила, перемещение материальной точки, скорость,
характеризуются не только своим числовым значением,
но и направлением в пространстве. Такие физические
величины называются векторными величинами (или
коротко векторами)
A
1Н
8Н
В

6.

При изучении электрических и магнитных явлений
появляются новые примеры векторных величин.
E
+
Электрическое поле,
создаваемое в
пространстве зарядами,
характеризуется в каждой
точке пространства
вектором напряженности
электрического поля.
На рисунке
изображены векторы
напряженности
электрического поля
положительного точечного
заряда.

7.

Направление тока
B
Электрический ток, т.е.
направленное движение
зарядов, создает в
пространстве магнитное
поле, которое
характеризуется в каждой
точке пространства
вектором магнитной
индукции.
На рисунке
изображены векторы
магнитной индукции
магнитного поля прямого
проводника с током.

8.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на параллельных
прямых.
Коллинеарные, сонаправленные векторы
c
b
a
a
b
c
b
c
a
Нулевой вектор считается коллинеарным,
сонаправленным с любым вектором.
o
a
o
c
o
b

9.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на параллельных
прямых.
Коллинеарные,
противоположно направленные векторы
b
a
c
a
b
c
b

10.

Векторы называются равными,
если они сонаправлены и их длины равны.
В
a
2
a
С
О
А
1
b
=
b
D
АВСD – параллелограмм.
ВA = CD;
AВ = DC;
CВ = DA;
Найдите еще пары равных векторов.
О – точка пересечения диагоналей.
AD = BC.

11.

Если точка А – начало вектора
вектор
a
a , то говорят, что
отложен от точки А
От любой точки М можно отложить
вектор, равный данному вектору
и притом только один.
a
ac
А
Вектор
М
a
c
отложен=от точки А
a
c
a,
a=c

12.

Отложить вектор, равный
a
n
1 от точки М
М
a
c
2 от точки D
D

13.

№ 745 В прямоугольнике АВСD АВ=3см, ВС=4см,
точка М – середина стороны АВ. Найдите длины векторов.
АВ = 3
В
4
С
ВC = 4
DС = 3
MА = 1,5
3 M
5
СВ = 4
АС = 5
А
D

14.

№ 747 Укажите пары коллинеарных
(сонаправленных) векторов, которые определяются
сторонами параллелограмма MNPQ.
P
N
M
MN
Q
QP
NM
PQ
QM
PN
MQ
NP

15.

№ 747 Укажите пары коллинеарных
(противоположно направленных) векторов, которые
определяются сторонами параллелограмма MNPQ.
P
N
M
MN
Q
PQ
NM
QP
MQ
PN
QM
NP

16.

№ 747 Укажите пары коллинеарных
(сонаправленных) векторов, которые определяются
сторонами трапеции АВСD с основаниями AD и BC.
В
С
А
СВ
D
DA
ВС
AD
Сонаправленные
векторы
ВС
DA
СВ
AD
Противоположно направленные
векторы

17.

№ 747 Укажите пары коллинеарных
векторов, которые определяются сторонами треугольника
FGH.
G
F
Коллинеарных векторов нет
H

18.

№ 748 В параллелограмме АВСD диагонали
пересекаются в точке О. Равны ли векторы.
Обоснуйте ответ.
С
В
О
А
AВ = DC;
D
ВС = DА;
AО = ОC;
AС = ВD.

19.

АВСD – квадрат, АВ = 4. Заполните пропуски:
В
4
С
1. АВ и CD – …
2. ВС … СD, так как …
4
А
О
3. АО = …
D
4. ВО = АО, так как …
5. СО = СА, так как …
6. DD
… , DD = …

20.

АВСD – параллелограмм.
По данным рисунка найти АВ = 12
С
В
12
300
А
6
К
D

21.

АВС – равнобедренный треугольник.
О – точка пересечения медиан.
По данным рисунка найти DO = 2
В
ВO = 4
10
O 6
А
2
8
D
16
С

22.

23.

Какая запись является верной?
В
450
С
А
AВ > BC;
AВ > BC
AC = BC ;
AC = BC

24.

Назовите
Назовите
коллинеарные
векторы
Назовитеравные
коллинеарные
сонаправленные
противоположнонаправленные
векторы
векторы
A
B
C
D
N
M
R
E
S
F
Q
V
T
Y
U
I
O
P
X
G
H
J
K
L
Z

25.

Сложение векторов. Правило треугольника.
АВ + ВС = АС
С
!
a+b
b
А
a
b
a
В
Для любого нулевого вектора
справедливо равенство
a+0=a
!

26.

Докажем, что если при сложении векторов точку А
заменить другой точкой А1, то полученный вектор
А1С1
будет равен АС. Рассмотрим случай.
АВВ А –
a
b
В
С
А
В1
a
1
параллелограмм
b
a
А1
1
ВСС1В1 –
параллелограмм
АСС1А1 –
параллелограмм
b
С1

27.

Правило треугольника.
АВ + ВС = АС
АS + SС =
АО + ОР = АР
NM + ML = NL
MN + NR = MR
RP + PR = RR = 0
MK + KM = MM = 0
ZK + KZ =
MK + OM = OM + MK
DE + KD = KD + DE =
= OK
АС
ZZ = 0
= KE

28.

Правило
треугольника.
АС = АВ + ВС
из ОВN
ON = OB + ВN
OB = ON + NВ
из ASR
AS = AR + RS
RA = RS + SA
из XKH
XH = XK + KH
KX = KH + HX
из АMD
MD = MA + AD
AD = AM + MD
из FPO
OP = OF + FP
FO = FP + PO

29.

По правилу треугольника складываются и
коллинеарные векторы, хотя при их сложении
треугольника и не получается
b
a+b
a
b
a

30.

b
a+b
a
f
c
c+ f

31.

Законы сложения векторов
Теорема
a, b, c
Для любых векторов
равенства:
1
2
a+b=b+a
справедливы
переместительный
закон
(a + b) + c = a + (b + c)
сочетательный
закон
!
!

32.

Докажем свойство
1
a bи
Рассмотрим случай, когда векторы
коллинеарны.
В
не
b
b
a+b
А
a
a
D
из АВС
из АDС
b +a
АD + DС = a + b
АС = АВ + ВС =
АС =
C

33.

При доказательстве свойства 10 мы обосновали
правило параллелограмма сложения
неколлинеарных векторов.
Чтобы применить
правило
параллелограмма,
надо отложить
векторы от одной
точки, как стрелки
часов.
11
12
1
10
2
3
9
4
8
7
6
5

34.

Сложение векторов. Правило параллелограмма.
11
10
12
a
8
a
b
2
a+b
b
9
1
3
4
7
6
5

35.

Докажем свойство
2
b
a
В
b
C
c
c
a
D
А
(a + b)+c
АC
= (АВ + ВС) + CD = АС + CD = АD
a + (b+c)
BD
= АВ + (ВС + CD) = АB + BD = АD

36.

Сложение векторов.
Правило многоугольника.
АВ + ВС + СD + DO = АO
n
m
a
m
c
c
a
n

37.

Правило многоугольника можно сформулировать
также следующим образом: если А1, А2, …, Аn –
произвольные точки
А1плоскости,
А2 + А2А3 + …то
+ Аn-1An = А1An
А6
А7
А1
А4
А5
А3
А2

38.

!
Если начало первого вектора совпадает с
концом последнего вектора, то сумма данных
1
2
3
4
5
векторов равна нулевому вектору.
a +a +a +a +a
=0
a3
a3
a5
a2
a4
a4
a1
a2
a1
a5

39.

a
Вектор 1 называется противоположным
вектору
, если векторы
и1
имеют
равные
a
a
a
длины и противоположно направлены.
a1
a
-b
Вектор
вектору
А
А
b
-b
a = a1 ; a
a1
, противоположный
b
Вектор ВА, противоположный
вектору АВ
ВА = – АВ
В
В
a + (-a) = 0

40.

a, b, c, d
№ 766 На рисунке изображены векторы
ХУ. Представьте вектор ХУ в виде суммы остальных
или им
противоположных векторов.
–b
–a
c
Х
d
–a–b+c+d=
ХУ
У

41.

a – b = a +(–b)
Вычитание
векторов.
-b
b
-b
a
a
a- b

42.

Вычитание
векторов.
MF - SF = MF + FS = MS
RO - RM = RO + MR = MR + RO = MO
MD - SD =
MD + DS = MS
RO - AO = RO + OA = RA
RO - RO = RO + OR = RR = 0
- OS - ST =
SO + TS = TS + SO = TO

43.

№ 768 Точки М и N – середины сторон АВ и АС
треугольника АВС. Выразите векторы ВМ, NC, MN,
BN
a
через векторы
В
b
= АМ и
М
a
= АN
ВМ =
-a
NC =
b
из AMN
MN = MA + AN =
А
b
N
С
-a + b
из ABN
BN = BA + AN =
-a-a + b

44.

Найдит АВ + AD – DC – OD
е
ABCD - прямоугольник
B
C
5
О
А
(
4
)
3
D
= АС – DC – OD = АС + CD + DO = АО
1
АО 5 2,5
2

45.

АВ + ВС =
АS + SС =
АО + ОР =
NM + ML =
MN + NR =
RP + PR =
MK + KM =
ZK + KZ =
MK + OM =
DE + KD =
из ОВN
из ASR
из XKH
из АMD
из FPO
AS =
из ОВN
из ASR
RA =
XH =
из XKH
KX =
ON =
MD =
OP =
из АMD
из FPO
OB =
AD =
FO =